李 潔1,黃海風,梁甸農(nóng)

(1.海軍裝備研究院，北京 100161;2.國防科技大學 電子科學與工程學院，長沙 410073)

1 引 言

分布式星載干涉合成孔徑雷達(InSAR)測高系統(tǒng)是將衛(wèi)星編隊和星載SAR技術(shù)相結(jié)合形成的新體制雷達系統(tǒng)[1-2]，它利用編隊衛(wèi)星構(gòu)成的空間基線進行干涉測高，具有測高精度高、生存力強、周期短、成本低等優(yōu)點。它的多星編隊模式能夠形成多個干涉通道，是實現(xiàn)多基線定位與測高的重要前提。本文以此為背景，研究了多基線編隊構(gòu)形的優(yōu)化設計問題。

衛(wèi)星的編隊構(gòu)形決定了空間基線的長度和指向角，而基線直接關系到干涉測高中參數(shù)的誤差傳播系數(shù)，因此，編隊構(gòu)形設計是實現(xiàn)高精度測高任務的一個非常重要的環(huán)節(jié)。實現(xiàn)此類任務的編隊構(gòu)形設計，一方面需要符合編隊運動模型，另一方面需要滿足干涉測高的功能要求。目前，國內(nèi)外很多文獻提出若干衛(wèi)星相對運動模型描述編隊構(gòu)形中的運動規(guī)律。理論上講，分布式SAR系統(tǒng)可以根據(jù)需要設計任意形狀的編隊，但在實際中由于很多構(gòu)形需要消耗大量燃料而很難實現(xiàn)[3]。文獻[4]推導了被動穩(wěn)定的編隊軌道飛行要素的解析解，提出了一種適用于分布式SAR特點的編隊構(gòu)形設計方法。干涉車輪、干涉鐘擺等典型構(gòu)形亦是基于Hill方程、消耗燃料少、從傳統(tǒng)正側(cè)視幾何出發(fā)分析基線穩(wěn)定性得到的。文獻[5]基于單基線測高精度模型設計編隊構(gòu)形。文獻[6]設計了干涉基線長度相等的編隊構(gòu)形，解決了空間立體編隊中基線耦合的問題，兼具高程測量和地面運動目標檢測兩種功能。另外，還有一些分布式星載InSAR編隊設計是建立在典型構(gòu)形上，例如Cartwheel、星下點圓形構(gòu)形、空間圓形構(gòu)形等[7～9]。本文采用遺傳算法(GA)對星載InSAR系統(tǒng)的多基線編隊進行優(yōu)化設計，直接以編隊衛(wèi)星的6個軌道根數(shù)為設計變量，同時考慮衛(wèi)星飛行安全因素和去相關因素的影響，以三星編隊的分布式InSAR提供系統(tǒng)的多基線為背景，以提高測高精度為優(yōu)化目標對多基線優(yōu)化問題進行討論。首先從多基線定位方程出發(fā)推導了測高精度公式并建立了多基線測高精度模型，然后分析并推導了編隊構(gòu)形需要考慮的約束條件，最后根據(jù)約束條件利用遺傳算法搜索得到較好的三星編隊構(gòu)形。

2 目標函數(shù)

分布式衛(wèi)星系統(tǒng)具有多種任務功能。優(yōu)化模型的目標函數(shù)應根據(jù)分布式衛(wèi)星系統(tǒng)的任務功能以及系統(tǒng)頂層設計的性能指標要求來選取，用性能指標的加權(quán)和來表示：

(1)

式中,km是性能指標σm的加權(quán)系數(shù)。

分布式星載InSAR系統(tǒng)實現(xiàn)干涉測高任務，頂層設計要求較高的測高精度，因此，本節(jié)以多基線高程誤差σh為性能指標優(yōu)化編隊。構(gòu)造如下目標函數(shù)：

J=khσh-1

(2)

J越大，表示各性能指標越高，而σh越大表示測高誤差越大，因此改為σh-1。

3 多基線測高誤差方程

建立如圖1所示的地心固連坐標系XYZ。其中，O為坐標原點。S為既發(fā)射信號又接收信號的主星，S1和S2為編隊小衛(wèi)星群中兩顆只接收信號的輔星。主圖像成像慢時刻t，主星位置矢量用RS表示；兩幅輔圖像成像慢時刻t1、t2，輔星位置矢量分別用RS1和RS2表示。B1和B2分別表示主星和兩輔星間的基線。T為待求的點目標，它在地球表面的位置用RT表示。

圖1 三星編隊分布式InSAR成像幾何模型Fig.1 The geometrical imaging model of InSAR system

根據(jù)干涉測高基本原理，分別列出點目標的距離方程和多普勒方程：

|RS-RT|=r

(3)

(4)

主圖像和輔圖像1、輔圖像2分別干涉形成兩個干涉通道，Δφ1、Δφ2分別表示目標在兩個干涉通道中的干涉相位。根據(jù)干涉測量的原理，列出干涉相位方程如下：

(5)

(6)

聯(lián)立式(3)、(4)、(5)、(6)，即可求出目標三維坐標。根據(jù)式(7)即可求出目標的絕對高程：

h=|RT|-Re

(7)

式中,Re為當?shù)厮疁拭娴匦木唷?/p>

每個參數(shù)的誤差乘以各自的誤差傳播系數(shù)后成為測高總誤差σh的一部分。將式(3)～式(6)對各參數(shù)求偏導可計算出參數(shù)與定位解之間的誤差傳播系數(shù)，進而推導出高程誤差傳播系數(shù)[15]。

假設各參數(shù)測量誤差之間統(tǒng)計獨立，則測高總誤差表達式為

(8)

4 約束條件

基線的設計必須考慮以下幾個約束[11]：

(1)任意兩顆衛(wèi)星的距離小于臨界基線，保證回波的相干性；

(2)防止衛(wèi)星碰撞，確保編隊飛行安全；

(3)限制垂直基線長度，滿足測高精度的要求。

其中,第二條約束牽涉到衛(wèi)星動力學的諸多理論知識和軌道控制的豐富的實踐經(jīng)驗。文獻[12]在分析了地球扁率、大氣等攝動因素后，指出應當以一定的交軌跡基線保證編隊的安全性。具體辦法是，設計編隊衛(wèi)星的a、i、ω相同，而e、Ω、f略有不同。構(gòu)形在垂直于飛行方向的平面內(nèi)的投影是一個以aΔΩ、aΔe為長短半軸的橢圓，長度至少大于150 m。沿航向基線長度由Δf確定，以2aΔe振幅振蕩。另外，aΔΩ、aΔe的上限還受到垂直基線去相關的限制，主要表現(xiàn)在受垂直于軌道面的基線長度Bc(Cross-track Baseline)和衛(wèi)星到地心連線方向基線長度Bv(Vertical Baseline)的約束。

4.1 軌道根數(shù)與Bc、Bv的關系

在相對運動坐標系中，Bc為伴隨衛(wèi)星位置z方向的分量，Bv為x方向的分量。假設s表示參考衛(wèi)星，c表示伴隨衛(wèi)星，(x,y,z)T為伴隨衛(wèi)星的坐標。令

由相對運動方程可以得到[13]：

(9)

根據(jù)二體運動模型可知[13]：

式中,Δe=es-ec,Δf=fs-fc。將式(10)代入式(9)，不考慮f和i的影響，則有：

(11)

(12)

4.2 距離向相關系數(shù)對Bc、Bv的約束

不考慮配準誤差，那么距離向相關系數(shù)與垂直于軌道面的基線長度Bc和衛(wèi)星到地心連線方向基線長度Bv的關系分別為[14]

(13)

(14)

式中,θ為下視角，r為目標到輔星的距離，Br為發(fā)射信號帶寬，βr為距離向地面坡度。為了得到較好的測高性能，令{ρc,ρr}≥0.9，根據(jù)式(13)、(14),即可得到Bc和Bv的臨界基線Bcc、Bvc。綜合式(11)、(12)，即可計算出aΔΩ、aΔe的上限。

5 遺傳算法與仿真實驗

遺傳算法是一種通過模擬自然進化過程搜索最優(yōu)解的方法，具有解決復雜的全局優(yōu)化問題的能力。結(jié)合目標函數(shù)和優(yōu)化條件，以衛(wèi)星的軌道根數(shù)xi=(ai,ei,ii,Ωi,ωi,fi)為設計變量，X=(x1,x2,…xn)為決策變量，求解帶約束的目標函數(shù)J。

設定參數(shù)進行仿真分析。給定主星的軌道根數(shù)和雷達參數(shù)(如表1所示)。根據(jù)式(13)、(14)，結(jié)合條件{ρc,ρr}≥0.9可以得到Bcc、Bvc約為1 100 m，方位向臨界基線約為800 m。根據(jù)式(11)、(12)計算可得a0Δe、a0ΔΩ的上限為1 500。高程誤差σh根據(jù)式(8)計算得到，各參數(shù)的誤差取為合理的常數(shù)：σr=1.5 m，σfdc=0 Hz，σB=0.01 m，σRs=1 m，σVs=0.01 m/s。由于基線的方向變化使距離向去相關和方位向去相關分別變化，因此,σφ是隨著基線姿態(tài)變化的，并非一個固定值。σφ根據(jù)兩個通道信號相干系數(shù)來計算[10]。

表1 仿真參數(shù)Table1 Simulation parameters

綜合上述約束條件，遺傳算法優(yōu)化模型為

(15)

式中，下標i為輔星的編號，0表示主星。

操作的具體過程如下：

(1)設置遺傳算法參數(shù)。種群規(guī)模設為30，交叉概率為0.4，變異概率為0.05；

(2)初始化種群。在各設計變量約束范圍內(nèi)選取服從均勻分布的隨機變量組成30個決策變量(初始種群)，決策變量即為遺傳算法中的染色體；

(3)對染色體依概率進行交叉和變異操作；

(4)計算所有染色體的目標函數(shù)J，并設定門限值，將目標函數(shù)值大于門限值的染色體保存在次最優(yōu)解的集合中；

(5)計算次最優(yōu)解集合中染色體的目標函數(shù)值；

(6)通過旋轉(zhuǎn)賭輪選擇染色體。將次最優(yōu)解集合中所有染色體的目標函數(shù)值相加求和，然后產(chǎn)生一個在0與總和之間的隨機數(shù)m。從次最優(yōu)解集合中編號為1的染色體開始，將其目標函數(shù)值與后繼染色體的目標函數(shù)值相加，直到累加和大于等于m，最后加進去的即為要選擇的染色體；

(7)重復步驟3～6，直到滿足終止條件；

(8)從最優(yōu)解集合中選取染色體作為最優(yōu)解。

采用遺傳算法求解多基線編隊構(gòu)形優(yōu)化問題的基本流程如圖2所示。

圖2 遺傳算法基本流程Fig.2 The basic flow of GA

設繁殖迭代500次，根據(jù)式(15)搜索得到優(yōu)化編隊，軌道根數(shù)如表2所示。表3列出優(yōu)化后編隊各參數(shù)的誤差傳播系數(shù)。為方便比較，表3亦同時給出經(jīng)簡單優(yōu)化的三星編隊和兩星編隊的誤差傳播系數(shù)[15]。經(jīng)過比較可以看出：多基線的誤差傳播系數(shù)小于單基線的誤差傳播系數(shù)；經(jīng)本文算法優(yōu)化后，多基線的某些較大誤差傳播系數(shù)變小，高程誤差變小?？梢缘贸鲆韵陆Y(jié)論：多基線系統(tǒng)提供的冗余信息可以提高測高精度；本文的算法優(yōu)于文獻[15]中簡單的以基線指向角為優(yōu)化變量的優(yōu)化算法。

表2 優(yōu)化編隊參數(shù)Table 2 Optimization formation parameters

表3 誤差傳播系數(shù)對比Table 3 Error coefficient contrast

6 結(jié)束語

本文采用遺傳算法基于多基線測高精度模型對分布式星載InSAR多基線測高系統(tǒng)的編隊構(gòu)形進行優(yōu)化，將多基線高程誤差的倒數(shù)作為優(yōu)化問題的目標函數(shù)。從相對運動模型出發(fā)綜合衛(wèi)星飛行安全、信號相干性等因素推導了設計變量的約束條件，至此建立了完整的優(yōu)化問題。采用遺傳算法進行求解，并進行了仿真實驗。此種編隊構(gòu)形優(yōu)化方法沒有基于任何編隊構(gòu)形的假設，具有通用性，仿真實驗證明了優(yōu)化方法的正確性。

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