張 金

(宿遷高等師范學(xué)校 數(shù)學(xué)系，江蘇 宿遷 223800)

0 引言

凸函數(shù)是一重要的概念。 已有的文獻(xiàn)中，在給定的區(qū)間I上，給出了凸函數(shù)多種不同形式的定義，并對(duì)定義之間等價(jià)性作了分析與證明，見(jiàn)文獻(xiàn)[1]～[5]。 下文擬對(duì)一般區(qū)間I上的凸函數(shù)最基本的定義作一概述，進(jìn)一步探討與證明它們之間的等價(jià)性。

1 凸函數(shù)的基本定義

下面給出凸函數(shù)幾種定義：

定義1 ：設(shè)函數(shù)f(x)在區(qū)間I上有定義，f(x)稱為I上的凸函數(shù)，當(dāng)且僅當(dāng)：?x1,x2∈I，有

(1)

定義2 ：設(shè)函數(shù)f(x)在區(qū)間I上有定義，f(x)稱為I上的凸函數(shù)，當(dāng)且僅當(dāng)：?x1,x2,…,xn∈I，有

(2)

定義3[6]：設(shè)函數(shù)f(x)在區(qū)間I上有定義，f(x)稱為I上的凸函數(shù)，當(dāng)且僅當(dāng)：?x1,x2∈I，?λ∈(0,1)，有

f(λx1+(1-λ)x2)≤λf(x1)+(1-λ)f(x2)

(3)

(4)

定義5 ：設(shè)函數(shù)f(x)在區(qū)間I上有定義，f(x)稱為I上的凸函數(shù)，當(dāng)且僅當(dāng)：

?pi≥(i=1,2,…n)不全為零，?x1,x2,…xn∈I，有

(5)

定義6 ：設(shè)函數(shù)f(x)在區(qū)間I上有定義，f(x)稱為I上的凸函數(shù)，當(dāng)且僅當(dāng)：?x1,x2,…xn∈I，且x1

(6)

定義7 ：設(shè)函數(shù)f(x)在區(qū)間I上有定義，f(x)稱為I上的凸函數(shù)，當(dāng)且僅當(dāng)：?x1,x2,…xn∈I，且x1

(7)

上述定義中的“≤”若改為“<”，則得f(x)為I上的嚴(yán)格凸函數(shù)。 區(qū)間I上可導(dǎo)或二階可導(dǎo)的凸函數(shù)還可借助導(dǎo)數(shù)f′(x)的單調(diào)遞增或f″(x)來(lái)判定或定義(見(jiàn)文獻(xiàn)[1][2][3])，這一點(diǎn)本文不再贅述。

2 定義之間等價(jià)性的證明與探討

首先給出幾個(gè)定理：

定理1 ：定義1與定義2等價(jià)。

證明 ：“定義2?定義1”顯然成立，在(2)式中令n=2即得(1)式。 只要證明：“定義1?定義2”。采用反向歸納法。

1)由(1)式知：當(dāng)n=2時(shí)(2)式成立。 現(xiàn)證n=4時(shí)(2)式成立。 事實(shí)上，?x1,x2,x3,x4,∈I，由(1)式有

此即(2)式當(dāng)n=4時(shí)成立。 一般地，對(duì)任一正整數(shù)k，重復(fù)上面方法，應(yīng)用(1)式k次，可知

這表明(2)式對(duì)一切n=2k皆成立。

此即(2)式對(duì)n=k也成立。 證畢。

下面給出關(guān)于凸函數(shù)的一個(gè)論斷，以引理1命名：

引理1：若函數(shù)f(x)為區(qū)間I上的凸函數(shù)，則f(x)在I內(nèi)部任意一點(diǎn)都連續(xù)。

定理2 ：定義3與定義1，2等價(jià)。

對(duì)于有理數(shù)λn∈(0,1)，利用上面證明有

f(λnx1+(1-λn)x2)≤λnf(x1)+(1-λn)f(x2)

此式中令n→∞取極限并聯(lián)系上式，有

f(λx1+(1-λ)x2)≤λf(x1)+(1-λ)f(x2)

此即(3)式對(duì)任意無(wú)理數(shù)λ∈(0,1)也成立。 故定義1，2也蘊(yùn)含定義3，證畢。

定理3 ：定義3與定義4，5等價(jià)。

證明 “定義4?定義3”只要在(4)式中令n=2即得?！岸x3?定義4”采用數(shù)學(xué)歸納法可證(定義4即為“Jensen不等式”，證明見(jiàn)文獻(xiàn)[6])?！岸x4?定義5”明顯，故定理3得證。

定理4：定義3與定義6，7等價(jià)。

f(λx3+(1-λ)x1)≤λf(x3)+(1-λ)f(x1)

即

此式化簡(jiǎn)變得(6)式，故“定義3?定義6”成立。 反之?λ∈(0,1)，?x1,x2∈I，，不妨設(shè)x1

3 結(jié)束語(yǔ)

由上述定理可知上文所給的凸函數(shù)幾個(gè)基本定義是等價(jià)的， 區(qū)別僅是呈現(xiàn)的形式或各自的幾何意義有所不同，但均是對(duì)凸函數(shù)本質(zhì)的概述。 定義或概念是對(duì)事物本質(zhì)屬性的精確概括。 具體教學(xué)中，強(qiáng)調(diào)學(xué)生對(duì)概念的理解，目的就在于希望學(xué)生能夠抓住事物的本質(zhì)屬性。 定義3更能體現(xiàn)凸函數(shù)的本質(zhì)屬性，其幾何意義對(duì)凸函數(shù)描述很直觀，現(xiàn)代數(shù)學(xué)中多采用這種定義。 值得一提的是，區(qū)間I上的凸函數(shù)的“凸”性僅由區(qū)間I內(nèi)部函數(shù)的屬性來(lái)體現(xiàn)，而與函數(shù)在區(qū)間端點(diǎn)的取值無(wú)關(guān)。 文中引理表明，在區(qū)間I內(nèi)部凸函數(shù)是連續(xù)的，對(duì)應(yīng)的曲線是連續(xù)曲線且呈“下凸”趨勢(shì)。 同時(shí)也表明，凸函數(shù)的間斷點(diǎn)只可能出現(xiàn)在區(qū)間的端點(diǎn)上。

[參考文獻(xiàn)]

[1] 王飛.凸函數(shù)等價(jià)性討論[J].廣西師范學(xué)院學(xué)報(bào)：自然科學(xué)版，2003，20(1)：31-34.

[2] 趙丹.凸函數(shù)等義的等價(jià)性證明[J].樂(lè)山師范學(xué)院學(xué)報(bào)，2008，23(12)：18-21.

[3] 古小敏.對(duì)凸函數(shù)定義之間等價(jià)性的進(jìn)一步研究[J].重慶工商大學(xué)學(xué)報(bào)：自然科學(xué)版，2009，26(2)：171-173.

[4] 郭素霞.關(guān)于凸函數(shù)定義的討論[J].衡水師專學(xué)報(bào)，2000，2(4)：49-52.

[5] 黃世團(tuán).幾個(gè)凸函數(shù)定義的差異性及等價(jià)性[J].廣西師院學(xué)報(bào)：自然科學(xué)版，1997，14(1)：54-56.

[6] 華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系. 數(shù)學(xué)分析：上冊(cè) [M].2版.北京：高等教育出版社，1991：197-203.