蘇本躍， 盛 敏,

（1. 安慶師范學(xué)院計(jì)算機(jī)與信息學(xué)院，安徽 安慶 246011；2. 合肥工業(yè)大學(xué)計(jì)算機(jī)與信息學(xué)院，安徽 合肥 230009）

代數(shù)三角混合Bézier型插值曲線

蘇本躍1， 盛 敏1,2

（1. 安慶師范學(xué)院計(jì)算機(jī)與信息學(xué)院，安徽 安慶 246011；2. 合肥工業(yè)大學(xué)計(jì)算機(jī)與信息學(xué)院，安徽 合肥 230009）

通過一類代數(shù)三角混合Bézier型基函數(shù)的定義，構(gòu)造了一類C2連續(xù)的代數(shù)三角混合Bézier型插值曲線。該曲線繼承了Bézier曲線的一些優(yōu)良特性，并能充分克服Bézier型基函數(shù)不能精確表示二次曲線曲面以及某些超越曲線曲面的弱點(diǎn)。另外，利用形狀控制參數(shù)可以靈活調(diào)節(jié)曲線形狀，進(jìn)一步增強(qiáng)了曲線曲面的表現(xiàn)能力。最后實(shí)例表明了新的插值曲線應(yīng)用于幾何造型的有效性。

代數(shù)三角混合多項(xiàng)式；Bézier型曲線；曲線插值；形狀參數(shù)

在計(jì)算機(jī)輔助設(shè)計(jì)(CAD)領(lǐng)域，用代數(shù)三角混合多項(xiàng)式來表示參數(shù)曲線曲面是近年來出現(xiàn)的一類比較嶄新的自由曲線曲面造型方法，目前已經(jīng)成為 CAGD領(lǐng)域研究的一個(gè)新熱點(diǎn)。張紀(jì)文[1]在空間Span{1, t, cost, sint}上提出了均勻節(jié)點(diǎn)的C-曲線概念。2001年，Mainar等[2]在代數(shù)三角混合函數(shù)空間中提出了規(guī)范B基的構(gòu)造。汪國昭等[3-5]在擴(kuò)展的代數(shù)三角混合函數(shù)空間中提出了k階代數(shù)三角多項(xiàng)式樣條。Han，吳曉勤，蘇本躍等[6-9]在三角函數(shù)空間定義了一類 Bézier型曲線，使其具有Bézier曲線的類似性質(zhì)，同時(shí)又具有三角函數(shù)的若干優(yōu)點(diǎn)。

上述代數(shù)三角混合樣條曲線的特點(diǎn)是：①樣條基函數(shù)是由代數(shù)多項(xiàng)式函數(shù)與三角多項(xiàng)式函數(shù)混合構(gòu)造而成，故由此構(gòu)造的代數(shù)三角混合樣條曲線一方面繼承了多項(xiàng)式樣條曲線的特點(diǎn)，另一方面可以克服工業(yè)產(chǎn)品外形設(shè)計(jì)中某些曲線不能用多項(xiàng)式基函數(shù)精確表示的缺點(diǎn)；② 樣條基函數(shù)的參數(shù)定義區(qū)間由形狀參數(shù)α控制，是可變的。當(dāng)形狀參數(shù)α發(fā)生變化時(shí)，代數(shù)三角混合樣條曲線形狀也發(fā)生相應(yīng)的改變。然而，形狀參數(shù)α又決定了定義區(qū)間的大小，在產(chǎn)品設(shè)計(jì)過程中往往需要重新參數(shù)化；并且隨著形狀參數(shù)α的改變，曲線只能從單邊逼近同階的 Bézier曲線。

然而，上述曲線造型方法是逼近型的，在構(gòu)造插值型曲線時(shí)顯得較為復(fù)雜，本文通過一類代數(shù)三角混合 Bézier型曲線的定義，構(gòu)造了一類C2連續(xù)的代數(shù)三角混合Bézier型插值曲線。一方面繼承了Bézier插值曲線的特性，另一方面可以充分克服 Bézier基函數(shù)不能精確表示二次曲線及某些超越曲線曲面的弱點(diǎn)，以此進(jìn)一步加強(qiáng)插值型曲線曲面的表現(xiàn)能力。

1 代數(shù)三角混合Bézier型曲線曲面

1.1 代數(shù)三角混合Bernstein型基函數(shù)的定義

若令參數(shù)t的定義區(qū)間為[0, π/2]，在由多項(xiàng)式函數(shù)與三角函數(shù)構(gòu)成的混合函數(shù)空間{1, t, sint,cost, …, sinkt, coskt}以及{1, t, t2, sint, cost, …,sinkt, coskt}中可構(gòu)造與 Bernstein基函數(shù)的性質(zhì)相類似的擬 Bernstein型基函數(shù)。由于現(xiàn)有的造型曲線幾乎均定義在區(qū)間[0, 1]上，故定義擬三次Bernstein型基函數(shù)如下：

1.2 Bernstein型代數(shù)三角混合多項(xiàng)式基函數(shù)的性質(zhì)

以上構(gòu)造的擬三次 Bernstein型基函數(shù)Bi,3(t)具有Bernstein基函數(shù)類似性質(zhì)：

性質(zhì)1 擬三次Bernstein型基函數(shù)具有非負(fù)性，即

性質(zhì)2 擬三次Bernstein型基函數(shù)具有以下端點(diǎn)性質(zhì)

性質(zhì)3 擬三次Bernstein型基函數(shù)具有對稱性，即

性質(zhì) 4 擬三次 Bernstein型基函數(shù)具有權(quán)性，即

注：性質(zhì)1～4可由擬三次Bernstein型基函數(shù)定義直接推出。并且由式(2)及式(5)知，擬三次Bernstein型基函數(shù)同樣具有單位剖分性。

1.3 代數(shù)三角混合Bézier型曲線

定義2 設(shè)給定四個(gè)控制頂點(diǎn) q0, q1, q2,q3，以及任取實(shí)數(shù)α, α ∈ [ 0,1]，則可定義一條帶有形狀控制參數(shù)的代數(shù)三角混合Bézier型曲線

其中 Bi,3(α,t), i =0,1,2,3為擬三次Bernstein型基函數(shù)，如圖1所示。

圖1 代數(shù)三角混合Bézier型曲線

令 k (α) = 2 (1 - α ) + πα , m =π2/4，則由性質(zhì)2容易推得擬三次Bézier型曲線具有以下端點(diǎn)性質(zhì)

同時(shí)擬 Bézier型曲線的形狀與坐標(biāo)軸的選取無關(guān)，而且由擬 Bernstein型基函數(shù)的單位分解性知，整條 Bézier型曲線位于由控制頂點(diǎn)q0, q1,… ,qn張成的控制多邊形的凸包中。

2 代數(shù)三角混合Bézier型插值曲線

定義3 給定[a,b]上連續(xù)函數(shù)f在已知分割

上的值為 f ( ti),i = 0 ,1,… ,n , 若分段代數(shù)三角混合Bézier型曲線p(t)滿足下列條件：

（1） p(t)為定義 2表示的代數(shù)三角混合Bézier型曲線，且在子區(qū)間[ti, ti+1]上表示為pi(t),則稱 p(t)為 C2連續(xù)的分段代數(shù)三角混合 Bézier型插值曲線。

由定義3分段代數(shù)三角混合Bézier型插值曲線p(t)可改寫為

由分段代數(shù)三角混合Bézier型插值曲線的定義，在區(qū)間[a, b]上n-1個(gè)內(nèi)節(jié)點(diǎn) t1, t2, … ,tn-1處應(yīng)滿足則插值該5個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn)的代數(shù)三角混合Bézier型插值曲線如圖2所示。并且由圖2可知，不改變曲線的 C2連續(xù)性，調(diào)節(jié)控制參數(shù)α可以提高插值曲線逼近階。

圖2 給定型值點(diǎn)的代數(shù)三角混合Bézier型插值曲線

3 結(jié) 論

本文通過一類代數(shù)三角混合 Bézier型曲線的定義提出了相應(yīng)的插值算法。具有下列優(yōu)點(diǎn)：首先，它繼承了相應(yīng)的Bézier曲線的基本性質(zhì)，如端點(diǎn)性質(zhì)、對稱性、幾何不變性、凸包性等以及三次樣條的 C2連續(xù)性等。其次，提供了一個(gè)形狀控制參數(shù)，用戶除了利用控制頂點(diǎn)調(diào)節(jié)曲線曲面形狀外，還可以通過形狀控制參數(shù)調(diào)整曲線曲面形狀，增強(qiáng)了曲線曲面形狀調(diào)整的靈活性。而且在幾何連續(xù)性的意義下，曲線曲面形狀的調(diào)整既可以局部調(diào)整又可以全局調(diào)整。第三，利用局部控制參數(shù)調(diào)節(jié)曲線形狀使得曲線變化的范圍更大，選取合適的控制參數(shù)可以使曲線從兩邊逼近同階的Bézier曲線及B樣條曲線。最后，選取合適的形狀控制參數(shù)以及合適的控制頂點(diǎn)，本文提出的 Bézier型代數(shù)三角混合多項(xiàng)式曲線可精確表示一些常用的圓錐曲線和心臟線、擺線、螺旋線等超越曲線。 這使得工程師在CAD造型設(shè)計(jì)以及數(shù)控加工中，可以只需要選取很少的曲面片就可以精確表示用戶所需要的某些特殊曲面造型，而不需要像傳統(tǒng)多項(xiàng)式方法一樣需要多片曲面片的拼接以達(dá)到用戶滿意的精度。由此可大大提高曲線曲面的生成效率和表示精度。

[1]ZHANG J W, KRAUSE F L. Extending cubic uniform B-splines by unified trigonometric and hyperbolic basis [J]. Graphic Models, 2005, 67：100-119.

[2]MAINAR E, PE?A J M. A basis of C-Bézier splines with optimal properties [J]. Computer Aided Geometric Design, 2002, 19：291-295.

[3]WANG G Z, LI Y J. Optimal properties of the uniform algebraic trigonometric B-splines [J]. Computer Aided Geometric Design, 2006, 23：226-238.

[4]HOFFMANN M, LI Y J, WANG G Z. Paths of C-Bézier and C-B-spline curves [J]. Computer Aided Geometric Design, 2006, 23：463-475.

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[6]HAN X L. Cubic trigonometric polynomial curves with a shape parameter [J]. Computer Aided Geometric Design, 2004, 21：535-548.

[7]蘇本躍, 黃有度. 一類Bézier型的三角多項(xiàng)式曲線[J].高等學(xué)校計(jì)算數(shù)學(xué)學(xué)報(bào), 2005, 27(3)：202-208.

[8]SU B Y, TAN J Q. A family of quasi-cubic blended splines and applications [J]. J. Zhejiang Univ.SCIENCE A, 2006, 7(9)：1550-1560.

[9]吳曉勤, 韓旭里, 羅善明. 帶形狀參數(shù)的二次三角Bézier曲線[J]. 工程圖學(xué)學(xué)報(bào), 2008, 29(1)：82-87.

Algebraic Trigonometric Blending Bézier-type Interpolation Curves

SU Ben-yue1, SHENG Min1,2
( 1. School of Computer and Information, Anqing Teachers College, Anqing Anhui 246011, China;2. School of Computer and Information, Hefei University of Technology, Hefei Anhui 230009, China)

A class of C2continuous algebraic trigonometric blending Bézier-type interpolation curves is constructed based on the definition of free form algebraic trigonometric blending Bézier-type curves. The introduced curves inherit some characteristics which the Bézier interpolation curves have. Meanwhile, the new curves can accurately represent some conic and transcendental curves, which are more powerful than the Bézier interpolation curves. Moreover,the shapes of curves can be adjusted freely by an introduced control parameter in the base functions. At last, the illustrations show that the new interpolating curves are effective in practice on geometric modeling.

algebraic trigonometric blending polynomial; Bézier-type curve; curve interpolation; shape parameter

TP 391.72; O 241.3

A

1003-0158(2010)06-0039-06

2009-02-24

國家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目（60773128）；安徽省教育廳自然科學(xué)研究資助項(xiàng)目（KJ2009A123）；安徽省高等學(xué)校優(yōu)秀青年人才基金資助項(xiàng)目（2009SQRZ156）

蘇本躍（1971-），男，安徽蕪湖人，副教授，博士，主要研究方向?yàn)橛?jì)算機(jī)圖形學(xué)，數(shù)字圖像處理，科學(xué)與工程計(jì)算。

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