宋偉杰， 崔俊芝， 葉正麟

（1. 西北工業(yè)大學(xué)理學(xué)院應(yīng)用數(shù)學(xué)系，陜西 西安 710072；2. 中國(guó)科學(xué)院數(shù)學(xué)與系統(tǒng)科學(xué)研究院, 北京 100080）

基于面圖標(biāo)的三維對(duì)稱張量場(chǎng)可視化研究

宋偉杰1， 崔俊芝2， 葉正麟1

（1. 西北工業(yè)大學(xué)理學(xué)院應(yīng)用數(shù)學(xué)系，陜西 西安 710072；2. 中國(guó)科學(xué)院數(shù)學(xué)與系統(tǒng)科學(xué)研究院, 北京 100080）

現(xiàn)有的三維對(duì)稱張量場(chǎng)可視化的面圖標(biāo)方法，僅表現(xiàn)了張量場(chǎng)的某一特征向量場(chǎng)在面圖標(biāo)上的方向信息，而沒有表現(xiàn)出特征向量場(chǎng)的大小，基于此，提出了在面圖標(biāo)上通過繪制三維等值線及利用顏色屬性來表現(xiàn)特征向量場(chǎng)的大小信息，這樣，面圖標(biāo)就將特征向量場(chǎng)的方向和大小信息同時(shí)表現(xiàn)出來，從而進(jìn)一步完善了三維對(duì)稱張量場(chǎng)的面圖標(biāo)方法，更全面地揭示了張量場(chǎng)位于空間曲面上的信息。

工程圖學(xué)；可視化；面圖標(biāo)；等值線；對(duì)稱；張量場(chǎng)

張量場(chǎng)可視化是科學(xué)計(jì)算可視化的一個(gè)極其重要的研究領(lǐng)域，這是因?yàn)閺埩繄?chǎng)在物理學(xué)、力學(xué)和醫(yī)學(xué)等諸多領(lǐng)域中有著非常廣泛的應(yīng)用。例如，固體力學(xué)中的應(yīng)力和應(yīng)變，流體力學(xué)中的應(yīng)力、粘性應(yīng)力、雷諾應(yīng)力、應(yīng)變率等等都是二階張量。在醫(yī)學(xué)領(lǐng)域，由核磁共振圖像重構(gòu)得到的擴(kuò)散張量(DT-MRI)也為二階張量。因此，深入研究張量場(chǎng)的可視化對(duì)于幫助人們理解復(fù)雜的物理和醫(yī)學(xué)現(xiàn)象以及揭示其中的科學(xué)規(guī)律具有非常重要的科學(xué)意義。同時(shí)，與標(biāo)量場(chǎng)和向量場(chǎng)相比，張量場(chǎng)更為復(fù)雜、抽象，且難以利用已有成熟的計(jì)算機(jī)圖形學(xué)技術(shù)進(jìn)行可視化。因此，張量場(chǎng)的可視化一直是科學(xué)計(jì)算可視化中最具挑戰(zhàn)的研究領(lǐng)域，目前研究剛剛起步。二階張量場(chǎng)中應(yīng)用最為廣泛的一類是二階對(duì)稱張量場(chǎng)，而非對(duì)稱張量場(chǎng)往往可以通過分解轉(zhuǎn)化為對(duì)稱張量場(chǎng)，因此二階對(duì)稱張量場(chǎng)的可視化是目前張量場(chǎng)可視化的研究熱點(diǎn)。

目前二階對(duì)稱張量場(chǎng)的可視化方法可以劃分為兩類。一類是采用標(biāo)量場(chǎng)的可視化方法來實(shí)現(xiàn)張量場(chǎng)的可視化，如描繪出張量場(chǎng)的每個(gè)分量場(chǎng)的等高線或等值面。這類方法存在的一個(gè)致命的缺點(diǎn)是，可視化的結(jié)果嚴(yán)重依賴于坐標(biāo)系的選擇，即隨著坐標(biāo)軸的旋轉(zhuǎn)顯示的圖形也隨之發(fā)生改變。第二類方法是通過對(duì)與之等價(jià)的特征向量場(chǎng)進(jìn)行可視化來實(shí)現(xiàn)張量場(chǎng)的可視化。由于特征向量場(chǎng)關(guān)于坐標(biāo)軸的旋轉(zhuǎn)具有不變性，因此可視化的結(jié)果不依賴于坐標(biāo)系的選擇。這類方法自提出之后受到了人們的普遍關(guān)注，出現(xiàn)了許多經(jīng)典的可視化方法。這些方法包括基本圖標(biāo)方法[1-7]、基于紋理的方法[8-9]、基于拓?fù)涞姆椒╗10-15]和基于變形的方法[16-17]等。其中，基本圖標(biāo)方法包括點(diǎn)圖標(biāo)方法[1-2,6]、線圖標(biāo)方法[3,5]和面圖標(biāo)方法[4,7]，這3種方法分別在“點(diǎn)”、“線”和“面”的層面上來表現(xiàn)張量場(chǎng)的信息。相對(duì)于點(diǎn)圖標(biāo)和線圖標(biāo)，面圖標(biāo)可以在更大的程度上體現(xiàn)張量場(chǎng)的信息和張量場(chǎng)自身的連續(xù)性，因而是目前三維對(duì)稱張量場(chǎng)的一種很有前景的可視化方法。Zhang Song[4]和宋偉杰[7]提出的面圖標(biāo)方法通過構(gòu)造空間曲面來展現(xiàn)張量場(chǎng)，其中，張量場(chǎng)在空間曲面上的某一特征向量場(chǎng)垂直于該曲面。這樣，面圖標(biāo)方法通過空間曲面表現(xiàn)了位于曲面上的某一特征向量場(chǎng)的方向（即垂直于曲面）。由于特征向量場(chǎng)不僅有方向，而且有大小，上述面圖標(biāo)方法僅僅在空間曲面上表現(xiàn)了特征向量場(chǎng)的方向，而沒有表現(xiàn)其大?。涣硪环矫?，等值線作為科學(xué)計(jì)算可視化中一種重要的可視化方法，可以直觀地反映標(biāo)量場(chǎng)的分布情況及變化趨勢(shì)，同時(shí)，顏色屬性也是一種非常有效的表征標(biāo)量場(chǎng)大小的手段。因此，本文提出在原有面圖標(biāo)即空間曲面上通過繪制等值線和利用顏色屬性來表現(xiàn)特征向量場(chǎng)的大小，這樣，在利用面圖標(biāo)表現(xiàn)特征向量場(chǎng)的方向的同時(shí)，其大小信息也表現(xiàn)了出來。本文的工作進(jìn)一步完善了對(duì)稱張量場(chǎng)的面圖標(biāo)方法，表現(xiàn)了張量場(chǎng)位于空間曲面上的更多的信息。

1 面圖標(biāo)上等值線的生成及顏色屬性的設(shè)置

面圖標(biāo)方法[4,7]構(gòu)造的面圖標(biāo)即空間曲面均是采用三角網(wǎng)格來近似表示的，因此，在空間曲面上生成等值線及設(shè)置顏色屬性的問題就歸結(jié)為在空間三角網(wǎng)格上的相應(yīng)問題。

1.1 空間三角網(wǎng)格上等值線的生成

當(dāng)三角網(wǎng)格頂點(diǎn)的密度較高，即當(dāng)每個(gè)三角片都很小時(shí)，可以假定場(chǎng)量函數(shù)沿三角片的邊呈線性變化。基于這樣的假設(shè)，在每個(gè)三角片內(nèi)，可以通過對(duì)它每條邊的兩端點(diǎn)處的場(chǎng)量值進(jìn)行線性插值求出等值線與該邊的交點(diǎn)，并將這些交點(diǎn)用直線段連接起來，形成等值線的一部分。遍歷所有的三角片，最終生成整條等值線。下面具體給出等值線的生成過程。

1.1.1 判斷等值線與三角片的邊是否相交

即，當(dāng)且僅當(dāng)邊 )(IJ的其中一個(gè)頂點(diǎn)的場(chǎng)量值大于等于0f，而另一個(gè)頂點(diǎn)的場(chǎng)量值小于等于0f時(shí)，場(chǎng)量值為0f的等值線與該邊相交。當(dāng)公式（1）中的“=”成立時(shí)，等值線通過該邊的某個(gè)頂點(diǎn)（一個(gè)或兩個(gè)），為統(tǒng)一處理等值線與邊相交的各種情況和便于編程實(shí)現(xiàn)，將該頂點(diǎn)的場(chǎng)量值暫時(shí)增加一個(gè)微小的增量ε，這樣，等值線通過頂點(diǎn)的情況就可視為與邊（內(nèi)部）相交的情況來處理，同時(shí)這種處理方式對(duì)生成的等值線的精度影響不大。由于三角片 )(IJKT= 的每個(gè)頂點(diǎn)的場(chǎng)量值現(xiàn)在只有大于0f和小于0f兩種可能的情況，因此，等值線與三角片的位置關(guān)系只有圖1所示的八種情況。

圖1 等值線與三角片的八種位置關(guān)系。其中，頂點(diǎn)處的“+”和“-”分別表示該頂點(diǎn)的場(chǎng)量值大于f0和小于f0

如果將等值線的值和三個(gè)頂點(diǎn)的場(chǎng)量值的大小關(guān)系顛倒過來，那么等值線與三角片三個(gè)頂點(diǎn)之間的拓?fù)潢P(guān)系不會(huì)改變，生成的等值線是相同的，這樣上面的八種情況就可以視為四種情況；再利用三角片的三個(gè)頂點(diǎn)存在的旋轉(zhuǎn)對(duì)稱性，可以進(jìn)一步將四種情況視為兩種情況，即等值線與三角片的兩條邊相交和等值線不與三角片任何一條邊相交。

1.1.2 計(jì)算等值線與三角片邊的交點(diǎn)

1.1.3 生成等值線

在場(chǎng)量函數(shù)沿三角片的邊呈線性變化的假設(shè)下，公式(2)可以精確地計(jì)算出等值線在三角形兩條邊上的等值點(diǎn)。對(duì)于等值線在兩個(gè)等值點(diǎn)之間的部分，如果三角網(wǎng)格的每個(gè)三角片都很小，則可以近似地用直線段連接起來。遍歷三角網(wǎng)格的每一個(gè)三角片，求出所有的等值線段，這樣就生成了整條等值線。

1.2 空間三角網(wǎng)格上顏色屬性的設(shè)置

等值線可以反映出場(chǎng)量值的分布情況，且等值線之間的疏密程度還反映出場(chǎng)量變化的梯度。如果輔以顏色屬性，則可以連續(xù)的表現(xiàn)出場(chǎng)量值的大小及分布規(guī)律。本文采用通常的藍(lán)色紅色顏色變化，藍(lán)色表示較小的場(chǎng)量值，紅色表示較大的場(chǎng)量值。將三角網(wǎng)格的每個(gè)頂點(diǎn)根據(jù)其場(chǎng)量值的大小賦予相應(yīng)的顏色，每個(gè)三角片內(nèi)各處的顏色則通過對(duì)其頂點(diǎn)處已設(shè)置的顏色作線性插值得到。

2 實(shí)例結(jié)果

本例中的三維對(duì)稱張量場(chǎng)為兩豎直向下的外力作用在一正立方體的上表面所形成的應(yīng)力場(chǎng)。其中，立方體棱長(zhǎng)為30mm，材料為鋼，彈性模量E=1.93e11Pa，泊松比V=0.29，邊界條件為下表面固定，承受載荷為兩外力豎直向下作用于上表面中心的兩點(diǎn)上，均為600N。

本例采用宋偉杰[7]的面圖標(biāo)方法構(gòu)造出上述應(yīng)力場(chǎng)的最小主應(yīng)力的一個(gè)面圖標(biāo)（見圖2），然后在該面圖標(biāo)上繪制最小主應(yīng)力的等值線（見圖3）和設(shè)置顏色屬性（見圖4）。為表現(xiàn)最小主應(yīng)力的實(shí)際大小，這里取最小主應(yīng)力的模的絕對(duì)值。

圖2 應(yīng)力場(chǎng)的最小主應(yīng)力的一個(gè)面圖標(biāo)

圖3 在面圖標(biāo)上繪制場(chǎng)量值分別為1.1、2.1和3.1的三條等值線

圖4 在面圖標(biāo)上設(shè)置顏色屬性

圖5 在面圖標(biāo)上同時(shí)采用等值線和顏色屬性表現(xiàn)最小主應(yīng)力的大小

由圖3～圖5看出，面圖標(biāo)作為空間的一個(gè)曲面，在表現(xiàn)應(yīng)力場(chǎng)位于其上的最小主應(yīng)力的方向（垂直于曲面）的同時(shí)，其上的等值線和顏色屬性則可以表現(xiàn)最小主應(yīng)力在面圖標(biāo)上的大小信息。

3 結(jié) 論

已有的三維對(duì)稱張量場(chǎng)的面圖標(biāo)方法采用空間曲面來表現(xiàn)某一特征向量場(chǎng)，與點(diǎn)圖標(biāo)和線圖標(biāo)相比，面圖標(biāo)可以在更大的程度上揭示張量場(chǎng)的內(nèi)在結(jié)構(gòu)和連續(xù)性，但是，現(xiàn)有面圖標(biāo)方法僅僅表現(xiàn)出了特征向量場(chǎng)的方向信息，而特征向量場(chǎng)除了具有方向?qū)傩灾猓浯笮∫彩且粋€(gè)很重要的信息，因此現(xiàn)有面圖標(biāo)方法所揭示的特征向量場(chǎng)的信息是不完整的。本文提出在已構(gòu)造的面圖標(biāo)上通過繪制等值線以及設(shè)置顏色屬性來表現(xiàn)特征向量場(chǎng)的大小，這樣，在用面圖標(biāo)表現(xiàn)特征向量場(chǎng)的方向的同時(shí)，大小信息也表達(dá)了出來。本文工作完善了三維對(duì)稱張量場(chǎng)的面圖標(biāo)方法，更為全面的揭示了張量場(chǎng)位于空間曲面上的信息。

盡管本文工作完善了面圖標(biāo)方法，使得面圖標(biāo)可以同時(shí)表現(xiàn)特征向量場(chǎng)的方向和大小，但是卻只能表現(xiàn)其中的一個(gè)特征向量場(chǎng)，而對(duì)于三維對(duì)稱張量場(chǎng)來說，有三個(gè)特征向量場(chǎng)，因此，研究如何利用面圖標(biāo)同時(shí)表現(xiàn)與之相切的另外兩個(gè)特征向量場(chǎng)是一件非常有意義的工作，這可能需要采用van Wijk的IBFVS方法[19]，至于如何利用該方法來實(shí)現(xiàn)將是作者今后研究工作的一個(gè)目標(biāo)。

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Research on the Visualization of 3D Symmetric Tensor Fields Based on Surface Icons

SONG Wei-jie1, CUI Jun-zhi2, YE Zheng-lin1
( 1. Department of Applied Mathematics , School of Science, Northwestern Polytechnical University, Xi’an Shaanxi 710072, China;2. Academy of Mathematics and System Sciences, Chinese Academy of Sciences, Beijing 100080, China )

The current surface icon method to visualize a 3D symmetric tensor field just displays the direction of certain eigenvector field of the tensor field, but not its magnitude. The paper presents that rendering 3D isolines and setting color on the surface icons can display the magnitude of the eigenvector field, thus the direction and magnitude of the eigenvector field are displayed simultaneously on the surface icons, which improves the surface icon method of 3D symmetric tensor fields and reveals more completely the information of tensor fields on surfaces.

engineering graphics; visualization; surface icon; isoline; symmetric; tensor field

TP 391

A

1003-0158(2010)06-0146-05

2010-07-13

國(guó)家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目（10802068）；西北工業(yè)大學(xué)基礎(chǔ)研究基金資助項(xiàng)目（JC200949）

宋偉杰（1977-），男，山西長(zhǎng)治人，講師，在讀博士，主要研究方向?yàn)榭茖W(xué)與工程計(jì)算、計(jì)算機(jī)圖形學(xué)。

book=150,ebook=151