劉潔，胡艷霞，張洪光

（1.華北電力大學(xué)數(shù)理學(xué)院，北京102206；2.赤峰學(xué)院數(shù)學(xué)學(xué)院，內(nèi)蒙古赤峰024000）

一類彈簧復(fù)合振子系統(tǒng)行波解的運動復(fù)雜性

劉潔1，胡艷霞1，張洪光2

（1.華北電力大學(xué)數(shù)理學(xué)院，北京102206；2.赤峰學(xué)院數(shù)學(xué)學(xué)院，內(nèi)蒙古赤峰024000）

本文研究了一類彈簧復(fù)合振子系統(tǒng)行波解的運動復(fù)雜性，借助Melnikov函數(shù)方法討論了該系統(tǒng)產(chǎn)生smale馬蹄意義下混沌的可能性及成因，并結(jié)合順行平面Hamilton周期-能量關(guān)系和KAM理論，給出受擾系統(tǒng)固有周期運動的理論解釋.文中結(jié)論可為研究彈簧復(fù)合振子在機(jī)械裝置中的應(yīng)用提供一定的理論依據(jù).

彈簧復(fù)合振子；混沌；Melnikov函數(shù)；KAM理論

近些年來迅速發(fā)展起來的混沌理論[1，2]等非線性系統(tǒng)理論，為解決復(fù)雜的非線性問題帶來了希望.文獻(xiàn)[3]研究了具有兩種不同阻尼的線性彈簧振子運動情況，通過分析和數(shù)值計算方法求解其運動規(guī)律，得到了傳統(tǒng)的采取空氣阻力與速度的關(guān)系是線性關(guān)系在某些情況下是不符合實際的.文獻(xiàn)[4]研究了一類非線性系統(tǒng)——彈簧擺耦合振蕩器系統(tǒng)的動態(tài)，得到了該系統(tǒng)會發(fā)生分叉運動.

本文對一個典型的非線性系統(tǒng)——彈簧復(fù)合振子系統(tǒng)做了一定的理論分析，展示了彈簧復(fù)合振子系統(tǒng)行波解的運動復(fù)雜特性.首先建立了這類彈簧復(fù)合振子的運動微分方程，然后運用Melnikov函數(shù)方法[5]對該系統(tǒng)行波解發(fā)生混沌現(xiàn)象進(jìn)行解析.也嘗試結(jié)合KAM理論[6，7]和順行平面Hamilton系統(tǒng)的周期-能量關(guān)系[8]對該系統(tǒng)的準(zhǔn)周期運動狀態(tài)及穩(wěn)定性進(jìn)行了理論證明.

1 數(shù)學(xué)模型和運動微分方程

我們考慮只作扭曲運動的水平彈簧上個吊著N振子的運動，振子在垂直于彈簧的水平面內(nèi)轉(zhuǎn)動，由角動量定理，則第i個振子的運動方程[9]，I，其中I為振子的轉(zhuǎn)動慣量，φ為振子偏離平衡位置的夾角，K為彈簧的扭曲常數(shù)，F(xiàn)是重力產(chǎn)生的恢復(fù)力.設(shè)第i個振子受到一個很小的外力作用，致使方程右端還有一項-εcoswt，其中w為外力振動頻率.則第i個振子的運動方程為

圖1 水平彈簧上吊著N個振子

圖2 時系統(tǒng)（6）的相圖

假設(shè)相鄰兩振子的距離是△x，則（1）可以寫成

當(dāng)λ>0，在(u,v)相平面上，系統(tǒng)（6）有平衡點(2kπ,0)，(±π+2kπ,0)，這里k為整數(shù).由于平衡點的分布具有周期性，我們可以在一個周期內(nèi)考慮，-π≤u≤π.該系統(tǒng)有三個平衡點A-(-π,0)O(0,0)，A+(π,0)，由微分方程定性理論[10]可以判斷判定，A-和A+是鞍點，而O是中心，系統(tǒng)在平衡位置附近的相圖如圖2所示.當(dāng)h=0時，系統(tǒng)退化為中心O，當(dāng)0

3 受擾系統(tǒng)的動力特性分析

考慮c2>1，即λ>0（6）的動力特性.由前面知道，在ε=0時，系統(tǒng)有異宿軌線，其附近的結(jié)構(gòu)不穩(wěn)定，受擾后在系統(tǒng)的鞍點附近容易發(fā)生Smale意義下的混沌現(xiàn)象.下面用Melnikov函數(shù)方法討論異宿軌附近結(jié)構(gòu)的受擾特性.

定理1當(dāng)c2>1時，系統(tǒng)（5）在鞍點附近的Poincare映射有一系列的橫截異宿點，因此也就具有Smale意義下的馬蹄混沌.

下面我們借助非線性KAM理論，對中心閉軌線的受擾特性及穩(wěn)定狀態(tài)進(jìn)行理論界定和分析.

應(yīng)用KAM理論需滿足：未擾系統(tǒng)閉軌線的周期解析依賴于軌道；中心奇點附近Poincare映射為扭轉(zhuǎn)映射兩個必要條件.引入文[8]的相關(guān)結(jié)論記為引理1.

引理1假設(shè)一個Hamilton系統(tǒng)的Hamilton函數(shù)滿足下面四個條件：（i）H(u,v)在(u,v)某區(qū)域內(nèi)解析;（ii）(u0,v0)為系統(tǒng)的中心奇點；（iii）堝某正數(shù)h*，對任何h∈(0,h*)，對應(yīng)軌道Γh:H(u,v)=h均為包含在區(qū)域內(nèi)圍繞中心奇點(u0,v0)的閉軌；(iv)(u,v)≠ (u0,v0)時，成立，則區(qū)間h∈(0,h*)的閉軌周期Th關(guān)于h解析依賴.

引理2當(dāng)c2>1時，系統(tǒng)（6）的閉軌Γh的周期Th關(guān)于h解析依賴.

證明對系統(tǒng)（6），顯然在區(qū)間h∈(0,2λ)內(nèi)，閉軌Γh滿足引理1的（i）～（iii），下面證明滿足(iv).因

從而閉軌的周期Th關(guān)于h∈(0,2λ)解析依賴.

在c2>1的情況下，為研究系統(tǒng)（6）的中心(0,0)附近的映射Poincare映射.引入作用量-角動量坐標(biāo)(I,φ),令軌道h=H(I)，則軌道沿閉軌Γh的運動頻率表達(dá)為∧(I)=dH/dI=2π/T(h)，

從而得到頻率的變化率為

定理2當(dāng)c2>1時,有∧'(I)≠0.

證明由文[8]閉軌周期對能量導(dǎo)數(shù)的顯式關(guān)系

令f(u)=sinu-ucosu，u∈(-π,0)U(π,0)，有f'(u) =usinu，故f(u)在定義域內(nèi)為增函數(shù)，且f(0)=0，所以當(dāng)u∈(-π,0)，f(u)0，所以T'(h)≠0，從而由（7）式得∧'(I)≠0.

定理3對任意小的ε>0，若∧'(I)≠0，即Poincare映射為扭轉(zhuǎn)映射，則擾動系統(tǒng)（6）的Poincare映射有一族具有正Lebesgue測度μ(ε)的不變軌線，并且當(dāng)ε→0有.這些不變閉曲線周圍充滿稠密的無理軌道.

4 結(jié)論

本文考慮了一類彈性復(fù)合振子系統(tǒng)行波解的運動復(fù)雜性.通過上面分析，得到在c2>1的情況下系統(tǒng)在鞍點附近會發(fā)生Smale意義下的馬蹄混沌現(xiàn)象，即此時系統(tǒng)的行波解的運動是無序的；系統(tǒng)在中心附近發(fā)生準(zhǔn)周期運動，即非擾動系統(tǒng)的大量閉軌幾乎都保留了下來，此時系統(tǒng)的行波解幾乎做周期運動.文中結(jié)論可以為研究一類彈簧復(fù)合振子在機(jī)械裝置中的應(yīng)用提供一定的理論依據(jù).

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