孫 萍,尤秉信

(北京師范大學(xué)物理系,北京100875)

光學(xué)雙穩(wěn)與混沌實(shí)驗(yàn)

孫 萍,尤秉信

(北京師范大學(xué)物理系,北京100875)

借助自主研制的“液晶光電混合型光學(xué)雙穩(wěn)與混沌系統(tǒng)”研究了光學(xué)雙穩(wěn)態(tài)與混沌運(yùn)動(dòng)的一般規(guī)律.在有反饋的條件下,對(duì)于1個(gè)入射光強(qiáng),存在著2個(gè)不同的透射光強(qiáng),并以滯后迴線形式為特征,即系統(tǒng)呈現(xiàn)雙穩(wěn)態(tài).依然在有反饋的條件下,系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)隨著延遲時(shí)間的增加,由周期振蕩、倍周期分岔演化到混沌,而且,混沌對(duì)于初始值具有高度敏感性.

雙穩(wěn)態(tài);混沌;液晶;光電混合型;初值敏感性

1 引 言

光學(xué)雙穩(wěn)態(tài)自1969年被Seidel[1]和Sz?ke[2]理論預(yù)言至今,理論已經(jīng)比較完善,應(yīng)用也得到了迅速的發(fā)展.雙穩(wěn)態(tài)光學(xué)器件具有雙穩(wěn)態(tài)電子器件類似的功能,可以用作存儲(chǔ)器、放大器、振蕩器、限幅器和開(kāi)關(guān)元件,在實(shí)際應(yīng)用中具有十分重要的意義.自從Ikeda[3]在理論上指出一個(gè)光學(xué)雙穩(wěn)系統(tǒng)在失穩(wěn)的情況下將出現(xiàn)分岔和混沌,光學(xué)雙穩(wěn)系統(tǒng)的混沌行為便引起人們極大的興趣[4-6].混沌是一種普遍的自然現(xiàn)象,大至宇宙,小至基本粒子,無(wú)不受混沌理論的支配.隨著對(duì)混沌理論的深入研究,近年來(lái),混沌在科學(xué)和工程技術(shù)領(lǐng)域中的應(yīng)用研究也迅速發(fā)展起來(lái),如氣象預(yù)測(cè)、保密通信、神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)和醫(yī)學(xué)、化學(xué)、經(jīng)濟(jì)學(xué)等眾多領(lǐng)域[7].物理學(xué)研究的是事物發(fā)展的規(guī)律,從而預(yù)言事物的發(fā)展趨勢(shì)并進(jìn)而加以控制,以滿足人們的特定需求.通常,我們認(rèn)為規(guī)律是確定的,事物只有按照確定的軌道發(fā)展,才能夠在掌握規(guī)律之后,對(duì)事物發(fā)展的趨勢(shì)進(jìn)行預(yù)測(cè).自然界中的各種現(xiàn)象的這種確定性和可預(yù)測(cè)性,對(duì)于學(xué)過(guò)經(jīng)典力學(xué)的人來(lái)說(shuō)深信不疑.多年來(lái),人們一直固守著這樣一種傳統(tǒng)的思維習(xí)慣.但是,混沌現(xiàn)象的出現(xiàn)使得傳統(tǒng)的思想觀念面臨嚴(yán)重的挑戰(zhàn).混沌揭示了在確定性和隨機(jī)性之間存在著由此及彼的橋梁,有助于將物理學(xué)中確定論和概率論2套描述體系聯(lián)系起來(lái),這在科學(xué)觀念上有著深遠(yuǎn)的意義.目前,許多高校都已將概率論的物理思想融入大學(xué)的理論課和實(shí)驗(yàn)課的教學(xué)當(dāng)中[8-14].

目前,在國(guó)內(nèi)研制“光學(xué)雙穩(wěn)與混沌實(shí)驗(yàn)”教學(xué)儀器的主要高校有吉林大學(xué)[9]、北京師范大學(xué)[11-12]、北京大學(xué)[10]和南京理工大學(xué)[14],其中后2所高校僅開(kāi)發(fā)了光學(xué)雙穩(wěn)裝置.吉林大學(xué)和北京大學(xué)以LiNbO3晶體為非線性介質(zhì):其工作電壓約1 000 V,需要加強(qiáng)高壓屏蔽的防護(hù),才能確保學(xué)生的安全.南京理工大學(xué)和我校都是以液晶為非線性介質(zhì),液晶材料比起LiNbO3晶體,有工作電壓低、受光面積大、易制作、易控制和易實(shí)現(xiàn)器件集成化等優(yōu)點(diǎn).我校研制的“液晶光電混合型光學(xué)雙穩(wěn)與混沌系統(tǒng)”,既可以用來(lái)研究雙穩(wěn)態(tài),又可以研究混沌運(yùn)動(dòng).本文利用該系統(tǒng)研究了光學(xué)雙穩(wěn)態(tài)與混沌運(yùn)動(dòng)的一般規(guī)律.

2 實(shí)驗(yàn)原理

2.1 雙穩(wěn)態(tài)

所謂光學(xué)雙穩(wěn)態(tài)是指光在通過(guò)某一光學(xué)系統(tǒng)時(shí)其光強(qiáng)發(fā)生非線性變化的一種現(xiàn)象,即對(duì)于入射光強(qiáng)Ii,存在2個(gè)不同的透射光強(qiáng)Io,并以滯后迴線形式為特征,如圖1所示.

液晶光電混合型光學(xué)雙穩(wěn)裝置由電光調(diào)制系統(tǒng)與輸出反饋系統(tǒng)2部分組成.圖2是光電混合型光學(xué)雙穩(wěn)裝置原理圖.Ii為輸入光強(qiáng),Io為輸出光強(qiáng).為了使透射光強(qiáng)最大,液晶分子軸在起偏器P上的投影與P的透光軸成45°角.P,A和液晶構(gòu)成正交光路.液晶上加直流偏壓Vb,以便使液晶處在適當(dāng)?shù)墓ぷ鳡顟B(tài).Io經(jīng)光電探測(cè)器實(shí)現(xiàn)光電變換,得到的電信號(hào)經(jīng)過(guò)放大器放大后加到液晶上,從而構(gòu)成了光電混合反饋回路,控制輸出光強(qiáng),促成Ii-Io之間的雙穩(wěn)關(guān)系.定義透過(guò)率T=Io/Ii,Ii和Io滿足下列平行偏振光干涉方程[15]

圖1 光學(xué)雙穩(wěn)曲線

圖2 光電混合型光學(xué)雙穩(wěn)系統(tǒng)原理圖

式中,δ是平行和垂直于液晶分子軸的2個(gè)振動(dòng)分量產(chǎn)生的相位差,與加在液晶兩端的電壓U成正比,與液晶的半波電壓Vπ成反比,即δ=πU.

Vπ在液晶光電混合系統(tǒng)中,加在液晶兩端的電壓U是初始偏壓Vb、反饋電壓V、附加電壓Vs(液晶剩余應(yīng)力引起)的總和.故(1)式可以寫成:

如果將輸出光強(qiáng)Io通過(guò)光電轉(zhuǎn)換器件線性地轉(zhuǎn)換成電信號(hào)V,反饋加在液晶的控制電極上,則反饋電壓V正比于輸出光強(qiáng),即V=kIo,其中k為包括光電探測(cè)器和放大器在內(nèi)的光電轉(zhuǎn)換系數(shù).將該式變換為

方程(2)是正弦平方曲線,方程(3)是直線.聯(lián)立求解方程(2)和(3)可得到表征器件工作狀態(tài)的解.分別作出方程(2)的調(diào)制曲線和方程(3)的反饋直線,它們的交點(diǎn)即為兩方程的共同解.由圖3可見(jiàn),當(dāng)入射光強(qiáng)由小到大按照變化時(shí),工作點(diǎn)則依次按照A→B→C→D→ E變化,在C和D點(diǎn)透過(guò)率產(chǎn)生由低到高的突變;反之,若減小入射光強(qiáng),使其按照變化時(shí),工作點(diǎn)則沿E→D→F→B→A變化,在F和B點(diǎn)產(chǎn)生由大到小的突變.因此,系統(tǒng)的Ii-Io關(guān)系成為如圖1所示的滯后迴線.如果方程組的解是單值的,則無(wú)雙穩(wěn)態(tài).因此,要求整個(gè)系統(tǒng)必須工作在雙穩(wěn)態(tài)臨界范圍之內(nèi).所謂臨界范圍是指方程組具有雙解的范圍,圖3中B, C,D,F所包圍的區(qū)域即為臨界范圍,對(duì)應(yīng)1個(gè)初始偏壓Vb有1個(gè)臨界范圍.

圖3 當(dāng)入射光強(qiáng)變化時(shí)系統(tǒng)的狀態(tài)點(diǎn)

2.2 混沌態(tài)

混沌是指在確定性的動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)中的無(wú)規(guī)行為或內(nèi)在隨機(jī)性.對(duì)相空間的一定區(qū)域進(jìn)行長(zhǎng)時(shí)間觀察會(huì)發(fā)現(xiàn)系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)軌跡的各態(tài)遍歷性.一個(gè)系統(tǒng)可以導(dǎo)致混沌運(yùn)動(dòng)出現(xiàn)的基本思想是實(shí)現(xiàn)這樣的數(shù)學(xué)反饋回路:系統(tǒng)的輸出能夠不斷地反饋到它自身作為新的輸入.這種回路無(wú)論簡(jiǎn)單還是復(fù)雜,都可以出現(xiàn)穩(wěn)定的行為和混亂的行為.它們的差別僅僅在于系統(tǒng)的某一參量取值不同.這個(gè)參量只要有極小的變化,就會(huì)造成回路系統(tǒng)的行為從有序狀態(tài)平滑地轉(zhuǎn)化為表面上看來(lái)似乎是雜亂無(wú)章?tīng)顟B(tài),即逐步地演化為混沌.系統(tǒng)的混沌運(yùn)動(dòng)可由確定的方程來(lái)描述.一般來(lái)說(shuō),當(dāng)描述系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)的常微分方程組不小于3個(gè)時(shí),在適當(dāng)?shù)臈l件下,系統(tǒng)會(huì)出現(xiàn)混沌運(yùn)動(dòng).一個(gè)延時(shí)方程在數(shù)學(xué)上可化成無(wú)窮階的自治方程組,所以用延時(shí)方程描寫的動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)一定會(huì)出現(xiàn)混沌運(yùn)動(dòng).液晶光電混合光學(xué)雙穩(wěn)系統(tǒng)可用如下的延時(shí)耦合方程來(lái)描述:

(4)式中第一個(gè)方程是描述系統(tǒng)的調(diào)制方程,第二個(gè)方程是描述反饋系統(tǒng)的弛豫方程.這里V(t)是考慮了時(shí)間變量的反饋電壓,tR表示系統(tǒng)的延遲時(shí)間,τ是反饋系統(tǒng)的弛豫時(shí)間.在雙穩(wěn)態(tài)的討論中事實(shí)上只考慮了系統(tǒng)的定態(tài)[即dV(t)/dt= 0的情況],而沒(méi)有考慮其動(dòng)態(tài)效應(yīng).若令y(t)=

則(4)式可以合并為一個(gè)有延時(shí)tR的無(wú)量綱自治微分方程:

對(duì)方程(5)的數(shù)值計(jì)算表明:若入射光強(qiáng)一定,系統(tǒng)的輸出隨著延遲時(shí)間的增加,由周期振蕩,經(jīng)倍周期分岔演化到混沌(如圖4所示);若延遲時(shí)間一定(長(zhǎng)延遲),系統(tǒng)的輸出隨著入射光強(qiáng)的增加,也會(huì)出現(xiàn)與圖4類似的結(jié)果;在短延遲情況下,系統(tǒng)的輸出隨著入射光強(qiáng)的增加,由周期振蕩直接進(jìn)入到混沌;精確計(jì)算還表明,系統(tǒng)在混沌狀態(tài)下存在著穩(wěn)定的周期窗口.

3 實(shí)驗(yàn)結(jié)果及分析

液晶光電混合型光學(xué)雙穩(wěn)與混沌系統(tǒng)的工作原理如圖5所示.當(dāng)測(cè)試雙穩(wěn)迴線時(shí),半導(dǎo)體激光器(波長(zhǎng)650 nm,功率4 mW)發(fā)出的單色光,經(jīng)過(guò)旋轉(zhuǎn)的半波片H(波長(zhǎng)為650 nm)和偏振器P1后,強(qiáng)度由小→大→小連續(xù)變化.2個(gè)正交的線偏振器P1和A及液晶LC組成了電光調(diào)制器,輸出光強(qiáng)由光電池D2接收.將D2輸出的信號(hào)經(jīng)放大器AMP2放大后,分成1和1′兩路,1路加在液晶上作為反饋電壓,1′路接在示波器上,實(shí)時(shí)觀察輸出信號(hào)的變化.旋轉(zhuǎn)偏振片P2可以改變光電池D2接收到的光強(qiáng),即改變液晶的反饋電壓.為了監(jiān)測(cè)輸入光強(qiáng),在光路中加了分束鏡BS,通過(guò)光電池D1接收,信號(hào)經(jīng)放大器AMP1放大后作為液晶上的入射光的參考信號(hào).

當(dāng)測(cè)試混沌振蕩曲線時(shí),首先將D2輸出的模擬信號(hào)經(jīng)放大器AMP2放大,再由模數(shù)轉(zhuǎn)換卡A/D將模擬信號(hào)轉(zhuǎn)換成數(shù)字信號(hào)輸入到計(jì)算機(jī)中.通過(guò)軟件對(duì)數(shù)字信號(hào)進(jìn)行延時(shí)處理,最后經(jīng)由計(jì)算機(jī)輸出.輸出的延時(shí)信號(hào)經(jīng)放大器AMP3后,分成2和2′兩路,2路加在液晶上作為反饋控制信號(hào),2′路接在示波器上.

圖6是實(shí)驗(yàn)光路圖,所有光學(xué)元件放置在導(dǎo)軌上.其中白屏在混沌實(shí)驗(yàn)中用來(lái)遮擋光.電子儀器有示波器、信號(hào)源和自制的控制箱,其內(nèi)有提供液晶電壓的電源、光電信號(hào)放大器、數(shù)模轉(zhuǎn)換卡,通過(guò)控制箱面板上的端口進(jìn)行通信.

首先,測(cè)試液晶的調(diào)制曲線,即在無(wú)反饋、無(wú)偏壓狀態(tài)下測(cè)試Io-Ii關(guān)系曲線.選擇信號(hào)源輸出鋸齒波信號(hào),取頻率為0.5 Hz,振幅為8 V,直接加在液晶的2個(gè)電極上,此時(shí)的Ii即為鋸齒波信號(hào).圖7為示波器上顯示的調(diào)制曲線,其中橫坐標(biāo)為Ii,縱坐標(biāo)為Io.曲線形狀為正弦平方形式,與方程(2)的理論結(jié)果相吻合.

圖5 光電混合型光學(xué)雙穩(wěn)與混沌系統(tǒng)工作原理圖

圖6 實(shí)驗(yàn)光路圖

圖7 調(diào)制曲線

然后,觀察雙穩(wěn)態(tài).使入射光強(qiáng)連續(xù)變化,在有Io反饋的條件下測(cè)試雙穩(wěn)曲線.分別調(diào)節(jié)初始偏壓Vb、反饋電壓Io和液晶轉(zhuǎn)角φ(入射線偏振光的透過(guò)方向與液晶分子的夾角),觀察雙穩(wěn)迴線的形狀、面積的變化.圖8是當(dāng)固定反饋電壓和液晶轉(zhuǎn)角時(shí)示波器上顯示的1組雙穩(wěn)迴線,即Io-Ii關(guān)系曲線,但此時(shí)的Ii是連續(xù)變化的入射到液晶前表面的光強(qiáng).可見(jiàn),當(dāng)初始偏壓Vb增加時(shí),雙穩(wěn)迴線的面積也增加,但當(dāng)Vb大于5.50 V時(shí),雙穩(wěn)態(tài)消失,雙穩(wěn)迴線變成1條直線.在方程(4)中,當(dāng)du(t)/dt=0,且t→∞時(shí),可以得到對(duì)應(yīng)雙穩(wěn)態(tài)的解.數(shù)值計(jì)算表明,當(dāng)θ增加時(shí),雙穩(wěn)迴線的面積也增加,這種現(xiàn)象在實(shí)驗(yàn)中正好體現(xiàn)了Vb與雙穩(wěn)迴線面積的關(guān)系.分別改變反饋電壓和液晶轉(zhuǎn)角也會(huì)出現(xiàn)類似圖8的結(jié)果.

圖8 雙穩(wěn)滯后迴線所圍成的面積隨液晶的初始偏壓Vb的變化情況

最后,依然在有反饋的條件下觀察混沌態(tài).固定入射光強(qiáng)、反饋電壓和液晶轉(zhuǎn)角,改變延遲時(shí)間tR,觀察實(shí)驗(yàn)現(xiàn)象.圖9是在固定反饋電壓和液晶轉(zhuǎn)角時(shí)示波器上顯示的1組混沌曲線,即Iot關(guān)系,其中橫坐標(biāo)為時(shí)間,縱坐標(biāo)為輸出光強(qiáng),所有的曲線均為長(zhǎng)時(shí)間觀察后截取的其中一段.可見(jiàn),系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)隨著延遲時(shí)間tR的增加,由周期振蕩、倍周期分岔發(fā)展到混沌.在圖9(d)中可以觀察到陣發(fā)混沌現(xiàn)象,即在穩(wěn)定的倍周期中夾雜著不穩(wěn)定的混沌運(yùn)動(dòng),這種陣發(fā)混沌只是由穩(wěn)態(tài)到不穩(wěn)態(tài)的臨界狀態(tài).只要tR再增加一小量(10 ms),系統(tǒng)便完全進(jìn)入混沌[見(jiàn)圖9(e)],并且一直延續(xù)下去[見(jiàn)圖9(f)],而且混沌運(yùn)動(dòng)的狀態(tài)是隨機(jī)的.當(dāng)分別改變?nèi)肷涔鈴?qiáng)和液晶轉(zhuǎn)角時(shí),系統(tǒng)也會(huì)出現(xiàn)類似圖9的結(jié)果,但曲線的振幅、周期、形狀都不同,運(yùn)動(dòng)形式多種多樣,十分豐富.對(duì)初值的敏感性是混沌的一個(gè)典型特征,在實(shí)驗(yàn)中每當(dāng)變化延遲時(shí)間、入射光強(qiáng)和液晶轉(zhuǎn)角參量中的任何1個(gè),且僅變化一小量,都會(huì)導(dǎo)致系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)發(fā)生巨大的變化,充分驗(yàn)證了混沌這一基本特征.

圖9 系統(tǒng)隨延遲時(shí)間的增加由周期振蕩、倍周期分岔、陣發(fā)混沌過(guò)渡到混沌狀態(tài)

除上述實(shí)驗(yàn)內(nèi)容,還可以測(cè)試系統(tǒng)的弛豫時(shí)間和光學(xué)雙穩(wěn)態(tài)的另一種方式Vb-Io曲線.還可利用本系統(tǒng)研究液晶的電光效應(yīng)和雙折射效應(yīng).

4 結(jié)束語(yǔ)

借助自主研制的“液晶光電混合型光學(xué)雙穩(wěn)與混沌系統(tǒng)”研究了光學(xué)雙穩(wěn)態(tài)與混沌運(yùn)動(dòng)的一般規(guī)律.在有反饋的條件下,對(duì)于1個(gè)入射光強(qiáng),存在著2個(gè)不同的透射光強(qiáng),并以滯后迴線形式為特征,即系統(tǒng)呈現(xiàn)雙穩(wěn)態(tài).依然在有反饋的條件下,改變延遲時(shí)間tR,系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)隨著延遲時(shí)間tR的增加,由周期振蕩、倍周期分岔演化到混沌,而且,混沌對(duì)于初始值具有高度敏感性.該系統(tǒng)還可以擴(kuò)展其他實(shí)驗(yàn)內(nèi)容,如測(cè)試系統(tǒng)的弛豫時(shí)間、測(cè)試液晶的雙折射率、研究液晶的電光效應(yīng)等.研究結(jié)果表明,該實(shí)驗(yàn)可以使學(xué)生通過(guò)對(duì)非線性一般規(guī)律的觀察,充分認(rèn)識(shí)到對(duì)于一個(gè)確定性的系統(tǒng)在某一條件下可以發(fā)生隨機(jī)性行為,從而意識(shí)到客觀世界是確定性和隨機(jī)性的對(duì)立統(tǒng)一.多年的教學(xué)實(shí)踐表明,對(duì)于培養(yǎng)大學(xué)生對(duì)客觀規(guī)律的認(rèn)知和提升他們的科學(xué)素質(zhì),光學(xué)雙穩(wěn)與混沌實(shí)驗(yàn)起到了積極的作用.

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Experiment of optical bistability and chaos

SUN Ping,YOU Bing-xin
(Department of Physics,Beijing Normal University,Beijing 100875,China)

The general law of optical bistability and chaos of liquid crystal is studied by means of photoelectric system.Under the condition of feedback,the system has two output corresponding to an input and shows the characteristic of lag loop-line namely bistability.Further more,the system evolves from period and multi-period into chaos as delay increases.The chaos also shows the initialization sensitivity.Teaching practice demonstrates that the experiment of optical bistability and chaos is important to cultivate cognization and improve scientific quality of students.

bistability;chaos;liquid crystal;photoelectric hybrid;initialization sensitivity

O415

A

1005-4642(2010)09-0001-06

[責(zé)任編輯:任德香]

“第6屆全國(guó)高等學(xué)校物理實(shí)驗(yàn)教學(xué)研討會(huì)”論文

2010-05-30

孫 萍(1963-),女,吉林長(zhǎng)春人,北京師范大學(xué)物理系高級(jí)工程師,博士,從事信息光學(xué)和近代物理實(shí)驗(yàn)研究.