余秋蘭 張 鍵

作者通聯(lián)：武漢工程職業(yè)技術(shù)學(xué)院汽車工程系 武漢市 430080

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三圓幅值法是現(xiàn)場找動(dòng)平衡的方法之一，與影響系數(shù)法相比，三圓法的優(yōu)勢在于不需要精確地測量不平衡矢量的相位角，對(duì)測量儀表的配置要求低。不測相位角，只測最大振動(dòng)幅值，適合很多缺乏精密儀器需要找動(dòng)平衡的場合。但三圓幅值法只適用于剛性轉(zhuǎn)子的單面動(dòng)平衡，即單盤、中低速轉(zhuǎn)子。這類轉(zhuǎn)子工業(yè)現(xiàn)場應(yīng)用最多，幾乎占所有工業(yè)轉(zhuǎn)子的90%，所以三圓幅值法仍有廣泛的應(yīng)用范圍。

在一些論及現(xiàn)場動(dòng)平衡技術(shù)的書籍中，只有三圓幅值法現(xiàn)場操作步驟的講述，缺乏對(duì)這個(gè)方法的理論證明。從而導(dǎo)致一些專門講述現(xiàn)場動(dòng)平衡技術(shù)的書（如國防工業(yè)出版社出版的《轉(zhuǎn)子現(xiàn)場動(dòng)平衡技術(shù)》2007年版）避而不講三圓幅值法，只講影響系數(shù)法。本文的目的是簡述三圓幅值法的運(yùn)用原理。

一、三圓幅值法現(xiàn)場動(dòng)平衡操作步驟

（1）將待平衡的剛性轉(zhuǎn)子配重槽圓周三等分，等分點(diǎn)用A、B和C表示，圓心用O表示，夾角都為120°（圖1）。

（2）加試重，取試重p單位克（g）。

（3）將試重分別放在 A、B、C三點(diǎn)上，三次開機(jī)運(yùn)轉(zhuǎn)測得振幅分別為：A點(diǎn)振幅Ra；B點(diǎn)振幅Rb；C點(diǎn)振幅Rc單位均為微米（μm）。

（4）用相同的比例，作振動(dòng)向量圖：以初始機(jī)器運(yùn)轉(zhuǎn)時(shí)的振幅Ro為半徑畫圓。在Ro圓上等分三點(diǎn)，夾角為120°，編號(hào)也用A、B、C表示，參照?qǐng)D1；以A為圓心，以Ra為半徑畫圓；以B為圓心，以Rb為半徑畫圓；以C為圓心，以Rc為半徑畫圓；在圖2中，圓Ra和圓Rb交于a點(diǎn)，圓Ra和圓Rc交于b點(diǎn)，圓Ra與圓Rc交于c點(diǎn)；連接abc三點(diǎn)，并作△abc的外接圓，圓心為O1，如圖3所示；連接圓心O、O1；測量OB和O、O1的夾角，用α來表示。

（5）平衡質(zhì)量的計(jì)算和平衡位置的確定。平衡質(zhì)量m=pR0/OO1，單位（g）。平衡位置在剛性轉(zhuǎn)子上，從B點(diǎn)向A點(diǎn)移動(dòng)角度α。

圖1

二、三圓幅值法的運(yùn)用原理

三圓幅值法是現(xiàn)場尋找轉(zhuǎn)子動(dòng)平衡的一種經(jīng)驗(yàn)法，書本上很少有介紹，在此簡單證明其可行性。

若轉(zhuǎn)子在未加任何試重的情況下，測得的原始不平衡矢量的振矢大小為Ro，該矢量方向未知。由于該矢量的方向未知，分別討論若該矢量位于以下三種情況下的三圓幅值法的運(yùn)用原理。①若原始不平衡矢量R0的方向與圖1中OA、OB、OC某一方向重合。②若原始不平衡矢量R0的方向與圖1中線段AB、AC、BC的三條垂直平分線中某一條平分線重合。③一般情況。原始不平衡矢量除以上兩種情況以外的方向。由于一般情況更具普遍性，因此主要證明一般情況。

1.一般情況

（1）在A點(diǎn)添加試重。理想狀態(tài)下，若轉(zhuǎn)子處于理想平衡狀態(tài)時(shí)，在A點(diǎn)添加質(zhì)量為為W（g）的試重，若此試重產(chǎn)生的振矢為Rw，則此方向必沿OA方向。但Rw大小無法測量。

圖2

圖3

實(shí)際狀態(tài)下，若原始不平衡矢量的R0方向如圖4中OC所示，A點(diǎn)添加質(zhì)量為W（g）試重后，可測得轉(zhuǎn)子此時(shí)的合成不平衡量振矢，大小為Ra，矢量方向無法測量。但矢量Rw、Ro、Ra必滿足圖4中平行四邊形OABC，其中矢量圖中OB，OC的長度已知，OA的方向已知。

（2）在B點(diǎn)添加試重。去掉A點(diǎn)所加試重W，在圖1中圓盤B點(diǎn)添加同樣的試重，則三個(gè)振矢Ro，Rw，Rb同樣有如圖5所示平行四邊形其中 OD、OC的長度已知，DE的方向已知，如圖5所示與OA的夾角為120°。

圖4

圖5

由于試重W所產(chǎn)生的矢量長度為OA（該長度未知），原始不平衡質(zhì)量m（方向未知）所產(chǎn)生的矢量長度為OC（已知），故要求解試重W產(chǎn)生的振矢大小也就轉(zhuǎn)化成了求OA的長度。

（3）利用幾何作圖法確定線段OA的長度

將所有矢量轉(zhuǎn)化到矢量三角形中，如圖6所示，圖中∠AOE=120

將矢量三角形ODE逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)120°，則有圖7，圖中OA=Rw，BE=ED=Ro，OD=Rb，OB=Ra。則圖 7 中為原始不平衡量長度等于原始不平衡量振矢大小，圖7中矢量三角形BAO與三角形DAO有了公共矢量此變換是為了便于幾何求解。

作圖。以O(shè)為圓心以Ro為半徑畫圓，將圓3等分，∠AOB=∠BOC=∠COA=120°，由圖7可知分別在轉(zhuǎn)子A點(diǎn)、B點(diǎn)添加試重后兩個(gè)試重產(chǎn)生的不平衡矢量角度為120°。故可令圖8中的等同于圖7中的矢量圖8中的等同于圖7中的矢量

圖6

圖7

以A點(diǎn)為圓心，以Ra為半徑畫圓，則圓A的圓周上必存在一點(diǎn)M，使得三角形OAM全等于圖7中的三角形EBO。其中合成振矢 Ra，而且使

再以B點(diǎn)為圓心，以Rb為半徑畫圓，則圓B的圓周上同樣必有一點(diǎn)N，使得三角形OBN全等于圖7中的三角形EDO。由圖7可知是兩個(gè)三角形的公共邊，具有唯一性，故在圖8、9中一樣具有唯一性，即矢量，即M、N是同一個(gè)點(diǎn)，也就是說該點(diǎn)即在圓A上也在圓B上，即該點(diǎn)為圓A與圓B的交點(diǎn)。由于兩圓的交點(diǎn)一般為兩個(gè)，但是試重的矢量長度肯定只有一個(gè)數(shù)值，要確定哪一個(gè)，就需要補(bǔ)畫圓C（以C為圓心，以Rc為半徑畫圓）。同理可得該點(diǎn)也必在圓C上。故從理論上講，A、B、C三圓必有一個(gè)共同的交點(diǎn)，該交點(diǎn)滿足所有的全等三角形限定條件。但是因?yàn)榇嬖跍y量誤差、作圖誤差，導(dǎo)致這三個(gè)圓不能交于一點(diǎn)，這樣就構(gòu)成了誤差三角形△abc。誤差三角形△abc是三圓交點(diǎn)所構(gòu)成的所有三角形中面積最小的那個(gè)三角形。

圖8

圖9

2.特殊情況一

原始不平衡矢量與某個(gè)試重加載位（A、B、C中任一點(diǎn)，假定為C點(diǎn)）重合。在這種情況下，試點(diǎn)C因?yàn)樵囍嘏c原始不平衡質(zhì)量同在一條線上，振矢大于Ro，因此所畫圓弧越過O點(diǎn)，畫在OC線段的反方向上；因A、B點(diǎn)的位置對(duì)稱于OC線，且在反方向，所以試重加在這兩點(diǎn)的合成振矢小而且相同，即A圓、B圓形成對(duì)稱的狀態(tài)。如圖10所示。三圓相交于K點(diǎn)，OK線段即為試重所產(chǎn)生的振矢，OC為原始不平衡質(zhì)量所產(chǎn)生的振矢Ro。平衡質(zhì)量m=W×OC/OK，單位克（g），平衡位置在OK的延長線上，A點(diǎn)、B點(diǎn)中間，C點(diǎn)的相對(duì)位置。

圖10

3.特殊情況二

原始不平衡矢量恰好位于兩個(gè)試重加載位（A、B、C中任一點(diǎn)）的中間，即原始不平衡矢量Ro的方向與圖 1中線段 AB、AC、BC的三條垂直平分線中某一條平分線重合。假定該矢量位于B、C中間。在這種情況下，C圓與B圓大小相等且對(duì)稱于OA線。因?yàn)锳點(diǎn)恰在原始不平衡質(zhì)量的相反位置，因此振矢最小，所繪圖形如圖11所示。三圓相交于K點(diǎn)，OK線段即為試重W所產(chǎn)生的振矢，OC為原始不平衡質(zhì)量所產(chǎn)生的振矢Ro。平衡質(zhì)量m=W×OC/OK，平衡位置在OA的延長線上。

圖11

三、小結(jié)

由于三圓幅值法在現(xiàn)場找動(dòng)平衡時(shí)，受到測量誤差、作圖誤差的影響，特別是手工作圖誤差難以減小，所以現(xiàn)場動(dòng)平衡的精度低于其他使用高精度儀器的動(dòng)平衡方法。但是在大多數(shù)情況上平衡精度足夠，平衡誤差可以降到許可范圍內(nèi)。