李光博,黃德才,2

(1.浙江工業(yè)大學(xué)理學(xué)院,浙江 杭州 310032;2.浙江工業(yè)大學(xué)信息工程學(xué)院,浙江杭州 310032)

權(quán)重信息未知的區(qū)間直覺(jué)模糊多屬性決策方法

李光博1,黃德才1,2

(1.浙江工業(yè)大學(xué)理學(xué)院,浙江 杭州 310032;2.浙江工業(yè)大學(xué)信息工程學(xué)院,浙江杭州 310032)

針對(duì)權(quán)重信息完全未知且屬性值為區(qū)間直覺(jué)模糊數(shù)的多屬性決策問(wèn)題,提出了一種基于線性規(guī)劃和投影模型的決策方法.該方法首先引入?yún)^(qū)間直覺(jué)模糊數(shù)相離度的概念,然后,給出了一種基于加權(quán)屬性值離差最大化的線性規(guī)劃模型,通過(guò)求解此模型得到相應(yīng)的屬性權(quán)重.進(jìn)而利用各個(gè)方案的加權(quán)屬性值在加權(quán)模糊正理想點(diǎn)上的投影對(duì)方案進(jìn)行排序.最后用實(shí)例說(shuō)明了該方法的可行性和有效性.

區(qū)間直覺(jué)模糊數(shù);多屬性決策;屬性權(quán)重;相離度

自Zadeh[1]建立了模糊集理論,數(shù)學(xué)的理論與應(yīng)用研究范圍便從精確問(wèn)題拓展到了模糊現(xiàn)象的領(lǐng)域.并在模式識(shí)別、決策分析等諸多領(lǐng)域得到了廣泛的應(yīng)用.但隨著社會(huì)問(wèn)題的日益復(fù)雜化以及科學(xué)研究的不斷深入,傳統(tǒng)的模糊集理論因其不能完整地表達(dá)所研究問(wèn)題的全部信息而在實(shí)際應(yīng)用中受到越來(lái)越多的制約和挑戰(zhàn).故 1986年保加利亞學(xué)者A tanassov[2-3]拓展了傳統(tǒng)的模糊集,提出了直覺(jué)模糊集的概念.由于直覺(jué)模糊集同時(shí)考慮了隸屬度、非隸屬度和猶豫度三方面的信息.因此,它能夠更加細(xì)膩的描述和刻畫客觀世界的模糊性本質(zhì),使得在處理不確定信息時(shí)具有更強(qiáng)的表現(xiàn)能力,更具靈活性,故直覺(jué)模糊集引起了學(xué)術(shù)界的關(guān)注.A tanassov[4]等進(jìn)一步拓展了直覺(jué)模糊集,提出了區(qū)間直覺(jué)模糊集的概念.文獻(xiàn)[5]定義了區(qū)間直覺(jué)模糊集的一些基本運(yùn)算法則.文獻(xiàn)[6-7]則把傳統(tǒng)的理想點(diǎn)決策法拓展到區(qū)間直覺(jué)模糊集決策領(lǐng)域.文獻(xiàn)[8]對(duì)區(qū)間直覺(jué)模糊信息的集成方法進(jìn)行了研究,提出了區(qū)間直覺(jué)模糊數(shù)算術(shù)平均(IIAA)算子、區(qū)間直覺(jué)模糊數(shù)加權(quán)算術(shù)平均(IIWAA)算子、區(qū)間直覺(jué)模糊數(shù)幾何平均(IIGA)算子和區(qū)間直覺(jué)模糊數(shù)加權(quán)幾何平均(IIWGA)算子,并將其應(yīng)用于決策中.文獻(xiàn)[9]利用每個(gè)方案的得分向量和區(qū)間直覺(jué)模糊理想點(diǎn)之間的余弦函數(shù)等建立了兩種投影模型來(lái)分別度量每個(gè)方案和區(qū)間直覺(jué)模糊理想點(diǎn)之間的相似度,并以此給出排序.筆者則對(duì)權(quán)重完全未知,且屬性值為區(qū)間直覺(jué)模糊數(shù)的情況進(jìn)行了研究.給出了一種基于離差概念的客觀賦權(quán)方法,并進(jìn)一步進(jìn)行決策.

1 預(yù)備知識(shí)

定義1[2]設(shè)X是一個(gè)非空集合,則稱A={＜x,μA(x),μA(x)＞|x ∈ X}為直覺(jué)模糊集,其中,μA(x)和μA(x)分別表示為X中元素x屬于X的隸屬度μA：X→[0,1]和非隸屬度vA：X→[0,1],且滿足條件 0≤μA(x)+vA(x)≤1,?x∈X.πA(x)=1-μA(x)-vA(x)表示為x中元素屬于X的猶豫度.

由于客觀事物的復(fù)雜性和不確定性,隸屬度和非隸屬度有時(shí)難以用確定的實(shí)數(shù)來(lái)表示,而用區(qū)間數(shù)表示比較合適.因此,A tanassov對(duì)直覺(jué)模糊集進(jìn)行了拓展,提出了區(qū)間直覺(jué)模糊集的概念.

X中元素x屬于X的隸屬度區(qū)間μA(x)和非隸屬度區(qū)間υA(x)所組成的有序區(qū)間對(duì)＜μA(x),υA(x)＞稱為區(qū)間直覺(jué)模糊數(shù),并把區(qū)間直覺(jué)模糊數(shù)一般形式記為([a,b],[c,d]),其中[a,b]?[0,1]?[c,d]?[0,1],b+d≤1.

定義3 設(shè)γ1=([a1,b1],[c1,d1])和γ2=([a2,b2],[c2,d2])為任意兩個(gè)區(qū)間直覺(jué)模糊數(shù),則稱：為區(qū)間直覺(jué)模糊數(shù)γ1和γ2之間的相離度.

易證 d(γ1,γ2)具有如下性質(zhì)：

定理 1 設(shè)γ1,γ2,γ3為任意三個(gè)區(qū)間直覺(jué)模糊數(shù),則

(1)0≤d(γ1,γ2)≤1,特別地,d(γ1,γ1)=0.

(2)d(γ1,γ2)=d(γ2,γ1).

(3)d(γ1,γ2)≤d(γ1,γ3)+d(γ2,γ3).

2 決策原理與方法

由于屬性權(quán)重未知,而屬性權(quán)重的不確定性會(huì)引起決策方案排序的不確定性.一般地,若所有決策方案在屬性下的屬性值差異越小,則說(shuō)明該屬性權(quán)重對(duì)方案決策的作用越小;反之,若屬性能使所有決策方案的屬性值有較大的差異,則說(shuō)明該屬性對(duì)方案決策將起重要作用.因此,從對(duì)決策方案進(jìn)行排序或擇優(yōu)的角度考慮,無(wú)論方案屬性值本身重要程度如何,方案屬性值離差越大應(yīng)該賦予越大的權(quán)重,離差越小就應(yīng)該賦予越小的權(quán)重.特別地,若所有決策方案在屬性下的屬性值無(wú)差異,則此屬性對(duì)方案的決策將不起作用,可令其權(quán)重為零[10].

解此模型,構(gòu)造Lagrange乘子函數(shù)：

顯然式(3)就是式(2)的最優(yōu)解,詳細(xì)證明過(guò)程請(qǐng)參閱文獻(xiàn)[10].

由上可得屬性權(quán)重向量集 ω=(ω1,ω2,…,ωM)T,至此,我們可以用已有的方法進(jìn)行排序或擇優(yōu).根據(jù)以上分析,給出如下具體決策步驟：

步驟1 根據(jù)所給信息,建立區(qū)間直覺(jué)模糊決策矩陣A=(aij)M×N.

步驟2 如權(quán)重向量完全未知,則求解線性規(guī)劃式(2),得到最優(yōu)權(quán)重集ω.

步驟3 求得權(quán)重向量積 ω后,可按照不同的參照基準(zhǔn)進(jìn)行擇優(yōu)或排序.如理想點(diǎn)法,投影模型法等.

3 實(shí)例分析

假設(shè)某軍方欲采購(gòu)火炮裝配部隊(duì),主要考慮五項(xiàng)指標(biāo)(屬性)：(1)火力突擊能力(C1);(2)反應(yīng)能力(C2);(3)機(jī)動(dòng)能力(C3);(4)環(huán)境適應(yīng)能力(C4);(5)成本(C5).現(xiàn)有4種系列火炮Ai(i=1-4)(方案)可供采購(gòu),每種系統(tǒng)在各屬性下的評(píng)估信息經(jīng)過(guò)統(tǒng)計(jì)和處理后,可表示為區(qū)間直覺(jué)模糊數(shù).如表1所示,采購(gòu)部門應(yīng)如何采購(gòu)火炮.

表1 決策矩陣Table1 Decisionmatrix

為了確定最優(yōu)方案,下面利用筆者方法給出具體決策步驟.

步驟 1 建立區(qū)間直覺(jué)模糊決策矩陣為A=(aij)5×4.

步驟2 因?yàn)閷傩詸?quán)重信息未知,由式(1-4)建立線性規(guī)劃模型求得最優(yōu)權(quán)重向量：

ω=(0.20,0.21,0.19,0.18,0.22)T步驟3 當(dāng)屬性值和屬性權(quán)重向量都已知,我們可以用已有的決策方法進(jìn)行決策,如用文獻(xiàn)[9]中的投影模型法,首先求各個(gè)方案的加權(quán)得分向量和區(qū)間直覺(jué)模糊理想點(diǎn)A+的加權(quán)得分向量如下：

然后利用投影公式確定每個(gè)方案在理想點(diǎn)A+上的投影

最后按照 Pr j′ω(Ai)的值的大小對(duì)方案 Ai進(jìn)行排序：

所以最理想的方案是 A2,既第二個(gè)配系方案最佳.

4 結(jié) 論

針對(duì)屬性權(quán)重完全未知,且屬性值為區(qū)間直覺(jué)模糊數(shù)的不確定型多屬性決策問(wèn)題,給出了一種基于線性規(guī)劃和模糊投影的決策方法,該方法基于加權(quán)屬性值離差最大化建立一個(gè)線性規(guī)劃模型獲得了相應(yīng)的屬性權(quán)重.進(jìn)而用模糊投影法進(jìn)行排序或擇優(yōu).通過(guò)實(shí)例分析,證明了該方法的有效性和實(shí)用性,因而該方法在屬性權(quán)重完全未知的區(qū)間直覺(jué)模糊多屬性決策中值得推廣.

[1]ZADEH L A.Fuzzy sets[J].Information and Control,1965,8(3)：338-356.

[2]ATANASSOV K.Intuitionistic fuzzy sets[J].Fuzzy Sets and Systems,1986,20(1)：87-96.

[3]ATANASSOV K.More on intuitionistic fuzzy sets[J].Fuzzy Setsand Systems,1989,33(1)：37-46.

[4]ATANASSOV K,GARGOV G.in terval-valued intuitionistic fuzzy sets[J].Fuzzy Sets and Sy stem s,1989,31(3)：343-349.

[5]ATANASSOV K.Operatorsover in terval-valued intuitionistic fuzzy sets[J].Fuzzy Sets and Sy stem s,1994,64(2)：159-174.

[6]胡輝,徐澤水.基于TOPSIS的區(qū)間直覺(jué)模糊多屬性決策法[J].模糊系統(tǒng)與數(shù)學(xué),2007,21(5)：108-112.

[7]衛(wèi)貴武.一種區(qū)間直覺(jué)模糊數(shù)多屬性的TOPSIS方法[J].統(tǒng)計(jì)與決策,2008,253(1)：149-150.

[8]徐澤水.區(qū)間直覺(jué)模糊信息的集成方法及其在決策中的應(yīng)用[J].控制與決策,2007,22(2)：215-219.

[9]徐澤水.直覺(jué)模糊信息集成理論及應(yīng)用[M].北京：科學(xué)出版社,2008：179-183.

[10]WANG Ying-m ing.On fuzzy multiattribute decision-making models and m ethods with incom plete p reference information[J].Fuzzy Sets and System s,2005,151(2)：285-301.

A decisionmakingmethod of interval-valued intuitionistic fuzzymultip le attributesw ith unknown attributeweight information

LIGuang-bo1,HUANG De-cai1,2
(1.College of Science,Zhejiang University of Technology,H angzhou 310032,China;2.College of Information Engineering,Zhejiang University of Technology,H angzhou 310032,China)

with regard to decision m aking p rob lem of the interval-valued intuitionistic fuzzy multip le attributesw ith com plete unknown attributeweights,a decision making method based on the linear p rogramming and p rojection model is proposed in this paper.Firstly,the concep t of deviation degree between two interval-valued intuitionistic fuzzy numbers is introduced.Then,a linear programming model based on the maximizing deviation of weighted attribute values is presented.The attribute weights are obtained through solving the m odel.Furtherm ore,the programs are ranked by using the projectionsof theweighted attribute values in each program on the weighted fuzzy positive ideal point.Finally,a case study is given and the result show s this method is feasib le and effective.

inter-valued intuitionistic fuzzy numbers;multiple attributes decision making;attribute values;deviation degree

O159

A

1006-4303(2010)04-0411-04

2009-02-27

浙江省自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(Y107596)

李光博(1982—),男,陜西定邊人,碩士研究生,研究方向?yàn)槟：龥Q策.通訊聯(lián)系人：黃德才教授,E-mail：hdc@zjut.edu.cn.

(

陳石平)