鄭 植 李廣軍 滕云龍

(1.電子科技大學(xué)電子科學(xué)技術(shù)研究院,四川成都611731;2.電子科技大學(xué)通信與信息工程學(xué)院,四川成都611731)

1.引 言

分布式信源波達(dá)方向(DOA)估計(jì)是現(xiàn)代通信信號(hào)處理領(lǐng)域中的一個(gè)研究熱點(diǎn)。無(wú)線通信系統(tǒng)的電波傳播有直達(dá)波傳播和非直達(dá)波傳播[1]兩種方式。在直達(dá)波傳播情形下,移動(dòng)臺(tái)和接收陣列之間存在直線路徑,因此,一般將目標(biāo)信號(hào)假設(shè)為點(diǎn)源。而在非直達(dá)波傳播情形下,由于本地多徑散射將導(dǎo)致信號(hào)在到達(dá)接收陣列時(shí)發(fā)生一定程度的角度擴(kuò)展。此時(shí),傳統(tǒng)的點(diǎn)源假設(shè)及其對(duì)應(yīng)的參數(shù)估計(jì)算法將不再適用,必須采用分布源模型及其相應(yīng)的參數(shù)估計(jì)算法。

分布源一般可分為相干和非相干兩種類(lèi)型。迄今為止,針對(duì)上述兩種分布源模型已發(fā)展了多種DOA估計(jì)算法[2-10]。其中,較為著名的有DSPE[2]、DISPARE[3]、最大似然[4]、協(xié)方差匹配[5]和廣義Capon波束形成法[6]。但以上方法均針對(duì)的是一維分布源。對(duì)于二維分布源,對(duì)應(yīng)的DOA估計(jì)算法相對(duì)較少。其中,文獻(xiàn)[11-14]利用L型線陣或均勻圓陣,提出了幾種相干分布源二維DOA估計(jì)算法。這些算法均把四維參數(shù)估計(jì)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為兩個(gè)二維參數(shù)估計(jì)問(wèn)題來(lái)處理,在一定程度上降低了算法的復(fù)雜度,但仍需二維搜索。文獻(xiàn)[15]利用雙均勻圓陣提出了一種估計(jì)相干分布源二維中心DOA的一維交替搜索(SOS)算法,該算法把二維搜索問(wèn)題簡(jiǎn)化為一維搜索問(wèn)題,進(jìn)一步降低了復(fù)雜度。文獻(xiàn)[16]提出了一種無(wú)需搜索的算法,但仍需對(duì)樣本協(xié)方差矩陣做特征分解,計(jì)算復(fù)雜度依然較高。文獻(xiàn)[17]給出的算法不需要譜搜索和對(duì)樣本協(xié)方差矩陣特征分解,但沒(méi)有解決參數(shù)配對(duì)問(wèn)題,不能用于多源場(chǎng)合。

本文研究相干分布源的二維DOA估計(jì)問(wèn)題?；陔p平行均勻線陣,提出了一種低復(fù)雜度的估計(jì)算法。該算法充分利用了雙平行線陣的結(jié)構(gòu)特點(diǎn),通過(guò)將平移子陣的廣義方向矢量化為分布源中心DOA的解耦形式獲得陣列間的旋轉(zhuǎn)不變矩陣,并利用一種改進(jìn)的傳播算子法求解旋轉(zhuǎn)不變矩陣,進(jìn)而最終估計(jì)出分布源的二維中心DOA。本文算法不需要譜搜索和對(duì)樣本協(xié)方差矩陣特征分解。和常規(guī)算法相比,計(jì)算復(fù)雜度更低。而且算法給出了詳細(xì)的參數(shù)配對(duì)流程,能夠處理多個(gè)分布源。本文算法估計(jì)性能良好,在小角度擴(kuò)展下其估計(jì)性能和SOS算法很接近。此外,算法與分布源的角分布形式無(wú)關(guān),穩(wěn)健性好。

2.信號(hào)模型

考慮圖1所示的陣列結(jié)構(gòu),它由兩個(gè)平行的均勻線陣X和Y組成。其中陣列X有M+1個(gè)陣元,陣列Y有M個(gè)陣元且與X的距離為d。各陣列的陣元間距也為d。假設(shè)遠(yuǎn)場(chǎng)空間中有D個(gè)窄帶相干分布源以不同的二維中心波達(dá)方向(θi,φi)(i=1,…,D)入射到陣列,其中θi和φi分別表示第i個(gè)分布源的中心方位角和中心俯仰角(θi∈[-π/2,π/2], φi∈[0,π/2],σθi和 σφi為對(duì)應(yīng)的角度擴(kuò)展參數(shù) 。設(shè)各陣元的噪聲為加性高斯白噪聲,且與信號(hào)不相關(guān)。

圖1 雙平行均勻線陣結(jié)構(gòu)

在t時(shí)刻,陣列X和Y的觀測(cè)數(shù)據(jù)可表示為

式中 :a(θ,φ)=[1,ejlsinφcosθ,…,ejlMsinφcosθ]T為點(diǎn)源方向矢量;l=2πd/λ(λ為信號(hào)波長(zhǎng));U=[I M×M|0M×1]為數(shù)據(jù)選擇矩陣;si(θ,φ,t)為第 i個(gè)分布源的角信號(hào)密度函數(shù)。

對(duì)于相干分布源,角信號(hào)密度函數(shù)可寫(xiě)為

式中:gi(θ,φ;μi)為確定性角信號(hào)分布函數(shù);μi=[,σθi,φi,σφi]為角度參數(shù)向量 。

定義陣列X和Y的廣義方向矢量如下

則式(1)可寫(xiě)成矢量形式

式中:B X(μ)是(M+1)×D維廣義方向矩陣;B Y(μ)是M×D維廣義方向矩陣。

如圖1所示,將X劃分成子陣X1和X2,則X1和X2的廣義方向矢量可定義為

對(duì)任意的二維方向(θ,φ),定義 θ=θi+～θ和 φ=φi+～φ。在小角度擴(kuò)展下,將a(θ,φ)的第k個(gè)元素在中心方向(θi,φi)處做一階泰勒近似

將式(8)代入式(6),可得中心DOA的解耦形式

式中

將式(8)代入式(7),可得

由于ejl(～φcosφicosθi-～θsinφi sinθi)≈1,則式(11)可重寫(xiě)為

由式(9)和式(12),可得如下關(guān)系

用矩陣表示

式中:B X1(μ)均為M×D維的廣義方向矩陣;ΦX=diag[ejlsinφ1cosθ1,…,ejlsinφDcosθD].

同理,將式(8)代入式(4),可得

用矩陣形式表示

式中:B Y(μ)為M×D維廣義方向矩陣;旋轉(zhuǎn)矩陣ΦY=diag[ejlsinφ1sinθ1,…,ejlsinφDsinθD].

將陣列X和Y的觀測(cè)數(shù)據(jù)合并為

式中:B=[BTX,BTY]T為總陣列的廣義方向矩陣;n(t)=[nTX(t),nTY(t)]T,為總陣列的噪聲矢量。

3.算法描述

傳播算子法在點(diǎn)源的DOA估計(jì)中已有不少應(yīng)用。其中,文獻(xiàn)[18]的方法利用傳播算子法構(gòu)建譜搜索函數(shù)估計(jì)DOA參數(shù),復(fù)雜度較高。文獻(xiàn)[19][20]的方法雖不需要進(jìn)行譜搜索,但存在較大的陣列孔徑損失,估計(jì)精度不高。此部分針對(duì)相干分布源,充分利用雙平行線陣的結(jié)構(gòu)特點(diǎn),提出了一種基于傳播算子的二維中心DOA估計(jì)算法,該算法無(wú)需譜搜索,也無(wú)任何陣列孔徑損失,估計(jì)精度較高。

3.1 傳播算子的估計(jì)

假設(shè)總陣列的廣義方向矩陣B是列滿秩的,則B中有D行是線性獨(dú)立的,其它行可由這D行線性表示。假設(shè)B的前D行線性獨(dú)立,則B可分為

式中,B1和B2分別為D×D 維和(2M+1-D)×D維矩陣。

傳播算子定義為由2M+1-D維復(fù)空間C2M+1-D到D維復(fù)空間CD的唯一線性算子P,且P滿足

由于傳播算子P的估計(jì)需要用到分布源的方位信息,故可由總陣列接收數(shù)據(jù)的數(shù)據(jù)協(xié)方差矩陣Rzz=E[z(t)zH(t)]求解,具體步驟如下

①估計(jì)協(xié)方差矩陣R zz

式中,N為陣列接收的快拍數(shù)。

式中,G和H分別為(2M+1)×D和(2M+1)×(2M+1-D)維矩陣。

③最小化下面的代價(jià)函數(shù)

式中,‖·‖2F表示Frobenius范數(shù)。其解為

3.2 基于傳播算子的分布源二維DOA估計(jì)方法

也即由～P張成信號(hào)子空間。將 ～P按行劃分成三個(gè)矩陣,其中第1到第M行記為～P1,第2到第M+1行記為～P2,第 M+2到第2M+1行記為 ～P3,如下所示

由式(24)和式(25),可得

由式(26),可得

進(jìn)而有

式中,[·]+表示求廣義逆矩陣,且～P1+=(～P1H～P1)-1～P1H。令 ～P1+～P2=ΨX,～P1+～P3=ΨY,分別對(duì) ΨX和 ΨY進(jìn)行特征分解,即可求出 ΦX和 ΦY。對(duì)于單一分布源情形,由 ΨX和 ΨY的唯一特征值 ξxi和 ξyi通過(guò)式(29)和(30)即可估計(jì)出分布源的中心方位角和中心俯仰角。

式(29)中,angle(·)表示取相位運(yùn)算。

對(duì)于多個(gè)分布源的情況,首先需要對(duì)特征值進(jìn)行配對(duì),否則不能得到正確的估計(jì)結(jié)果。根據(jù)陣列的結(jié)構(gòu)特點(diǎn),這里用文獻(xiàn)[21]中的方法來(lái)完成特征值的配對(duì)。

若對(duì) ΨX進(jìn)行特征分解得到的特征值和對(duì)應(yīng)的特征向量分別為ξxi和U i.因?yàn)?ΨX和 ΨY有相同的特征向量,所以U i也是 ΨY的特征向量。假設(shè) ΨY與特征向量U i對(duì)應(yīng)的特征值為ξyi,則由矩陣、特征值和對(duì)應(yīng)特征向量之間的關(guān)系,可得

令

根據(jù)式(31)～(33),可得

為了提高估計(jì)精度,可對(duì)式(34)進(jìn)行如下修正

至此,即求出一一對(duì)應(yīng)的ξyi和ξxi。然后利用式(29)和(30)即可正確估計(jì)出每個(gè)分布源的二維中心DOA。

3.3 計(jì)算復(fù)雜度分析

SOS算法是一種典型的一維搜索算法。其計(jì)算量主要集中在估計(jì)樣本協(xié)方差矩陣,對(duì)樣本協(xié)方差矩陣進(jìn)行特征分解和一維譜搜索上。估計(jì)樣本協(xié)方差矩陣并對(duì)其進(jìn)行特征分解所需的計(jì)算量約為o(4M2N+8M3),而譜搜索的計(jì)算花費(fèi)跟搜索的精度有關(guān),做精細(xì)搜索時(shí)一般都在o(M6)以上。文獻(xiàn)[16]是一種典型的無(wú)需譜搜索的算法,它的計(jì)算量主要體現(xiàn)在估計(jì)兩個(gè)樣本協(xié)方差矩并對(duì)其做特征分解上,所需的總計(jì)算量約為o(5M2N+9M3)。而本文算法的計(jì)算量主要體現(xiàn)在估計(jì)一個(gè)2M+1階的樣本協(xié)方差矩陣和對(duì)兩個(gè)D階矩陣 ΨX和ΨY的特征分解上,需要的總計(jì)算量約為o((2M+1)2N+2D3)。顯然,本文算法的計(jì)算量比SOS算法和文獻(xiàn)[16]算法都低。

4.仿真實(shí)驗(yàn)與分析

此部分通過(guò)3個(gè)統(tǒng)計(jì)實(shí)驗(yàn)來(lái)考察算法的性能。實(shí)驗(yàn)基于圖1所示的陣列結(jié)構(gòu)。其中,M=8,d=0.5λ。

實(shí)驗(yàn)1:比較本文算法和SOS算法(其中,每個(gè)圓陣的陣元數(shù)為8,兩圓陣間距0.1倍波長(zhǎng))的性能。考慮一個(gè)相干分布源入射到陣列,其角分布為高斯分布 ,μi=[-30°,2°,60°,2°] 。圖 2 表示在快拍數(shù)為 400的條件下,在不同的信噪比處分別做200次Monte-Carlo實(shí)驗(yàn)得到的二維DOA估計(jì)的均方根誤差(RMSE)隨信噪比(SNR)變化的曲線。從圖2可以看出,本文算法在不同信噪比處的估計(jì)性能非常接近于SOS算法。圖3表示在SNR=10 dB的條件下,以不同的快拍數(shù)分別進(jìn)行 400次Monte-Carlo實(shí)驗(yàn)得到的二維DOA估計(jì)的均方根誤差隨快拍數(shù)變化的曲線。從圖3可以看出,本文算法在相同快拍數(shù)時(shí)的估計(jì)精度略高于SOS算法。這里,二維DOA估計(jì)的均方根誤差定義為

實(shí)驗(yàn)2:考察角度擴(kuò)展大小對(duì)算法估計(jì)性能的影響。分布源的角分布情況與中心DOA參數(shù)與實(shí)驗(yàn) 1 相同 。當(dāng) σφi=2°,在 SNR=10 d B,快拍數(shù)為200的條件下,以不同的方位角擴(kuò)展進(jìn)行500次Monte-Carlo實(shí)驗(yàn),得到圖4所示的方位角估計(jì)的均方根誤差隨方位角擴(kuò)展變化的曲線。同樣,當(dāng)σθi=2°,做類(lèi)似的實(shí)驗(yàn),得到圖5所示的仰角估計(jì)的均方根誤差隨仰角擴(kuò)展變化的曲線。從圖4可以看出,方位角擴(kuò)展越小,方位角估計(jì)的均方根誤差變化越小。而隨著方位角擴(kuò)展增加,方位角估計(jì)的均方根誤差急劇增加。類(lèi)似的情況也可從圖5中看到。以上說(shuō)明算法在小角度擴(kuò)展情形下估計(jì)性能更好。

實(shí)驗(yàn)3:考察算法估計(jì)多個(gè)不同角分布信號(hào)的能力?？紤]兩個(gè)相干分布源入射的情況。其中一個(gè)分布源是高斯分布源(GCD Source),其角度參數(shù)為μ1=[-50°,2°,10°,2°]。另一個(gè)分布源是均勻分布源(UCDSource),其角度參數(shù)為μ2=[40°,2°,75°,1°] 。在快拍數(shù)為800的條件下,以不同的信噪比分別進(jìn)行500次Monte-Carlo實(shí)驗(yàn),得到圖6所示分布源二維DOA估計(jì)的均方根誤差隨信噪比變化的曲線。從圖6可以看出,本文算法能夠有效估計(jì)多個(gè)分布源,且無(wú)需知道分布源的角分布函數(shù)形式。

圖6 二維DOA估計(jì)的均方根誤差隨信噪比變化情況

5.結(jié) 論

利用兩個(gè)平行線陣,本文提出了一種低復(fù)雜度的相干分布源二維DOA估計(jì)算法。本文算法無(wú)需譜搜索和對(duì)樣本協(xié)方差矩陣做特征分解,計(jì)算復(fù)雜度很低,易于實(shí)時(shí)處理和工程實(shí)現(xiàn)。仿真結(jié)果表明:在小角度擴(kuò)展條件下,本文算法估計(jì)性能良好,接近于SOS算法。而且算法無(wú)需知道分布源角分布函數(shù)的先驗(yàn)信息,具有一定的穩(wěn)健性。

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