周小平 方 勇,2 汪 敏

(1.上海大學通信與信息工程學院,特種光纖與光接入網重點實驗室,上海 200072;2.新型顯示技術與應用集成教育部重點實驗室,上海 200072)

1.引 言

正交頻分復用(OFDM)具有高速的數據傳輸能力、高效的頻譜利用率和抗多徑干擾能力,因而在無線通信領域引起了廣泛關注。為了進一步提高系統容量,將OFDM 與多輸入多輸出(MIMO)相結合實現多天線分集[1-2]。但是,在快衰落環(huán)境中,MIMOOFDM系統容量常常與理想狀況相差甚遠。為獲得較好的系統性能,一般都要求收發(fā)端有效地完成信道估計。

傳統導頻輔助的信道估計方法[3-6],首先估計導頻子載波點上的頻域沖擊響應,然后通過插值的方法得到對應數據子載波上的頻域沖擊響應。采用這種方法,導頻的插入比例需要滿足奈奎斯特采樣頻率條件,也即受信道衰落程度的影響。然而該條件是建立在無線信道傳播于豐富地散射環(huán)境的基礎上,并沒有考慮快衰落MIMO-OFDM信道具有可稀疏性。

最近Cand'es和 Donoho提出一種新穎的理論—壓縮感知(Compressed Sensing,CS)[7-8],該理論與傳統的奈奎斯特采樣定理不同,它指出,只要信號在某個變換域具有可稀疏性,那么信號的投影測量數據量將遠遠小于傳統采樣方法所獲的數據量,并且可從這些少量的測量數據中以高概率重構出原信號。對于單輸入單輸出(SISO)OFDM系統,文獻[9-10]把感知理論應用于慢衰落信道估計中,為提高系統頻譜利用率提供了一個方向。而對于MIMO-OFDM系統,文獻[11]提出了基于導頻輔助的慢衰落信道估計方法。然而在快衰落環(huán)境下,由于上述信道估計算法只考慮了時延域信道的稀疏性,并沒有考慮空間域和多普勒域信道的稀疏性,所以在空間和頻率的測量位置與實際信道變化的范圍存在偏差,容易引起功率混疊與泄漏,致使信道稀疏性不強,性能不好。同時在進行信道測量時,使用了計算量大的信道測量矩陣。因此,推導稀疏性更強、頻譜利用率高、計算復雜度低和估計性能好的MIMOOFDM系統快衰落信道估計方法就顯得十分必要,該文將解決這個問題。

該文所提出的MIMO-OFDM系統快衰落信道估計方法,其主要包括三個方面研究:在角時延多普勒域快衰落MIMO-OFDM信道的稀疏表示;通過一種少量導頻結構隨機測量矩陣在角時延多普勒域對信道進行測量;最后以高概率重構出快衰落信道。

2.系統模型

考慮一個有 Nt根發(fā)送天線,Nr根接收天線和K個子載波的MIMO-OFDM系統,其基本模型如圖1所示。

圖1 MIMO-OFDM系統模型

假設n時刻第t根發(fā)射天線發(fā)送的OFDM符號用K×1向量 Xt(n)表示。發(fā)送之前該向量經過IDFT處理。為了有效對抗多徑時延擴展,還需要在OFDM符號間加入循環(huán)前綴(CP)作為保護間隔,循環(huán)前綴需要大于信道沖擊響應的最大抽頭數。接收端去除循環(huán)前綴后,接收天線r上的信號可表示為

式中,假如在慢衰落信道環(huán)境下,Hr,t為一個循環(huán)矩陣[1],其第一列為 [hr,tT,01×(K-L)]T,其中符號(·)T表示矩陣轉置,并且大小為L×1的向量,hr,t用來表示從第t根發(fā)射天線到第r根接收天線之間長度為L的信道沖激響應。F表示功率歸一化的K點DFT矩陣。將Hr,t進行特征值分解,容易得到Hr,t。進一步可以推得

式中,Ξr(n)為均值為零方差為σ2n的加性高斯白噪聲ηr(n)的傅立葉變換。然而在移動臺高速運行的時候,快速移動在頻域上產生多普勒效應而引起頻率擴散,多普勒效應引起了時間選擇性衰落;同時,在不同的地點、不同的傳輸路徑衰落特性不一樣,多徑效應引起了空間選擇性衰落。即,在多徑效應和多普勒效應引起的快衰落環(huán)境下,由于此時所有的信道抽頭是隨時間而快速變化的,所以KL(Q+1)×1維信道函數Hr,t將不在是一個循環(huán)矩陣,其中,Q為信道多普勒擴展階數,L為從第t根發(fā)送天線到第r根接收天線的最大抽頭數。若使用傳統最優(yōu)信道估計方法,則所需最少導頻數為KL(Q+1)。因此,為提高數據傳輸效率,該文推導了基于壓縮感知的MIMO-OFDM系統快衰落信道估計方法。

3.壓縮感知信道估計

3.1 MIMO-OFDM信道稀疏變換

為了能在壓縮感知理論框架下研究MIMOOFDM系統信道估計,需要對式(2)中 MIMOOFDM無線信道進行稀疏變換。文獻[9-11]在時延域研究了慢衰落信道的稀疏性,而在快衰落環(huán)境下,需要同時考慮空間域、時間域和多普勒域信道的稀疏性,目的是使在空間、時間和頻率的測量位置與實際信道變化的范圍相符合,減少了功率混疊與泄漏,提高信道的稀疏性。信道稀疏性越強,性能改善越好。首先考慮信道在空間域的稀疏性,結合文獻[12-13],一個發(fā)送天線和一個接收天線形成一個角域區(qū)域,而每個角域區(qū)域內的信道系數是有限的,因此,可在角域考慮信道沖激響應的稀疏特性,將發(fā)送信號和接收信號進行角域正交變換:

式中:Lt=NtΔt和L r=NrΔr,分別表示發(fā)送天線和接收天線均勻線陣的歸一化長度和分別為發(fā)射單位空間特征圖和接收單位空間特征圖。讓at和ar是整體天線矩陣,其列向量分別是式(3)和式(4)。這樣,便根據角域正交變換得到了信道沖激響應角域稀疏向量Hr,t(n)a r aHt。而Hr,t(n)在高速無線OFDM系統的時延多普勒域同樣具有稀疏的特性。設Hr,t(n,k)第t發(fā)送天線和第r接收天線在n時刻第k子載波的多徑信道頻率沖激響,可表示為

并且第l條徑可表示為

定義hr,tl(n)=[hq,rl(n,0),…,hq,rl(n,K-1)],這樣hr,tl(n)可表示為

式中 , Ψr,tl,v(n)=[e-j2π(v-Q/2)GK,…,e-j2π(v-Q/2)(K-1)/GK] 。第i個時刻第L條路徑信道脈沖響應可以表示為T,則hr,t(n)可表示為

同時

現在,把hr,t(n)信道估計問題轉化為估計βr,t(n)的問題,βr,t(n)的功率為

式中:符號(·)H表示矩陣的Hermitian;E[βr,t(n)2]轉化為 δr,t(n)=[E βr0,t(n)2,…,E βrL,-t1(n)2];βr,t(n)非零能量表示為.因此,假如=S ＜ Nt Nr KL(Q+1),那么快衰落信道就是稀疏的,其稀疏度為S,其中‖·‖?0計算向量的非零數。因此,在角時延多普勒域可將 NtNrKL(Q+1)維MIMO-OFDM信道變換為S維稀疏矩陣h(n)=[(I Nt?aHr)(aTt ?INr)]Ψ(n)(β(n))T,其中[(I Nt? aHr)(aTt?I Nr)]是 Nt N r?Nt N r維角域矩陣,Ψ(n)時延多普勒域矩陣,β(n)是需要估計的稀疏信道沖激響應系數。這樣,Nt N r KL(Q+1)維信道h(n)轉化為S稀疏信道沖激響應系數β(n),而S遠小于N tN rKL(Q+1).

3.2 隨機導頻測量矩陣設計

通過上一節(jié)分析,可將無線信道沖激響應h(n)在角時延多普勒域 A(n)進行稀疏變換 h(n)=A(n)β(n),得到稀疏系數為β(n)。要想能準確地重構此稀疏系數,Candˋes和Tao給出并證明了傳感矩陣必須滿足受限等距特性(RIP)[7,14]。若令 Φ為M×Nt N r KL(Q+1)(M＜＜Nt N r KL(Q+1))維傳感矩陣,則可得該傳感矩陣的 T列子矩陣為 M ×T維ΦT。那么對于任意S稀疏信號(其S個非零值的位置是未知的)h(n),能夠從Y(n)=ΦA(n)β(n)精確重構出β(n)的充分條件是傳感矩陣 Φ對于S稀疏信號h(n)和常數δS∈(0,1)有S階約束等距性,即

式中:· ?2表示?2范數;對所有子集T滿足T ≤S,S稀疏向量h(n)∈RT.

為了使傳感矩陣 Φ滿足受限等距特性RIP,需要從導頻輸入輸出關系著手研究。文獻[9]給出了Toeplitz測量矩陣,然而該測量矩陣具有較高的計算復雜度,在接收端存在大規(guī)模矩陣求逆運算,其復雜度隨著天線數和子載波的增加呈指數倍增加,同時對導頻的輸入輸出也比較困難,而且只能局限于時域信號處理。為了減少計算復雜度,同時又可在角時延多普勒域進行稀疏系數重構,該文給出一種滿足約束等距性條件RIP隨機結構導頻測量矩陣。設此隨機結構導頻測量矩陣為三個矩陣的乘積,即D(n)R(n)～F,其中,～F為由 K倍標準DFT矩陣對應的M行和前L列組成的矩陣。

R(n):為 Nt根發(fā)送天線隨機導頻發(fā)生矩陣R(n)=[R1(n),…,RNt(n)]T,當第n時刻隨機性導頻發(fā)生器隨機選擇第t根天線用于發(fā)送導頻,而該天線再隨機選擇Mt(n)個子載波{k 1,…,kMt(n)}用于承載導頻數據+1或-1(等概率分布),其余K-Mt(n)個子載波用于承載用戶數據,則可用Rt(n)表示第n時刻第t根天線隨機性導頻發(fā)生矩陣,而Rt(n)為 K×K維對角矩陣,即Rt(n)=diag{Rt(n,0),…,Rt(n,K-1)}.第n時刻所有發(fā)送導頻數為需要滿足 S階 RIP:M≥CS log(Nt N r KL(Q+1)/S),那么重構稀疏系數β(n)的概率為1-e-CM,其中C≥1為過采樣因子[7]。

D(n):為 Nt根發(fā)送天線下采樣矩陣D(n)=[D1(n),…,DNt(n)]T,矩陣D(n)的取值是根據矩陣Rt(n)來決定的,令Dt(n)為K×K維對角矩陣,當Rt(n)用于發(fā)送導頻,則Dt(n)根據導頻子載波位置{k1,…,kMt(n)}在對角矩陣相應位置放數據其余的數據0。那么Dt(n)取值的概率為

3.3 稀疏信道重構

將式(8)和角域矩陣代入式(13),可推導

進一步,根據3.2小節(jié)導頻發(fā)生矩陣Rt(n),可以得到n時刻各發(fā)射天線與第r個接收天線之間上的接收信號

再利用下采樣矩陣D(n)對接收信號進行下采樣,可以得到n時刻各發(fā)射天線與第r根接收天線之間導頻點上的接收信號Yrp(n),可表示為

式中:Ξrp(n)為Dr(n)Ξr(n)。將式(16)表示成矩陣形式

進一步可得到n時刻N t根發(fā)射天線與N r第r根接收天線之間導頻點上的接收信號Nr×N t維接收信號(n)=[Y1P(n),…r(n)]T,可表示為

式中:A(n)=[(I Nt?)(?I Nr)]Ψ(n)為Nt N r KL(Q+1)×Nt N r KL(Q+1)維角時延多普勒域矩陣 ;β(n)=[β1(n),…,βNr(n)] 為 S 稀疏信道沖激響應系數;Φ=INr? Φ(n)為 M ×Nr N tKL(Q+1)導頻測量矩陣。

利用Dantzig Selector[15]重構S稀疏信道沖激響應系數β(n)。令 δ2S＜-1,對于任何b ≥0,可使得λ=(2σ2(1+b)log(NrNtKL(Q+1)))1/2,則估計(n)的方程為

式中,·∞表示?∞范數,估計^h(n)滿足式中,

3.4 性能分析

對結構隨機導頻矩陣的 RIP進行分析。由式(15),可得第t根發(fā)射天線和第r根接收天線接收信號

由于Rt(n)具有正交歸一性,有

σ2h為信道功率,而由式(16),可得

式(25)右邊等于零均值獨立隨機變量的和,即E{‖Φt(n)hr,t(n)‖2?2-σ2h-σ2n}=0,方差為

再利用伯思斯坦不等式[16],概率為

然后,分析系統計算復雜度。與傳統導頻輔助的信道估計方法[3-6]不同的是:該方法并不需要先估計導頻子載波點上的頻域沖擊響應,然后通過復雜的插值方法得到對應數據子載波上的頻域沖擊響應,而是先通過少量的導頻測量信號估計出少量的非零信道系數(n),然后把得到的少量非零信道系數(n)與角時延多普勒域A(n)=[(INt?aHr)(?I Nr)]Ψ(n)相乘就可以得到所有子載波上的頻域沖擊響應,因此,大大減少了計算復雜度。

最后,分析系統的傳輸效率。讓SD={(v,l,ar,at):β(v,l,ar,at)＞0}為信道沖激響應非零系數集合,若S=SD?NrNtKL(Q+1),對于該文所采用方法,只要導頻滿足M ≥CS log(Nt Nr KL(Q+1)/S),就可以準確重構s稀疏信道沖激響應系數β(n)。而傳統方法基于均方誤差最小的準則,推導了最優(yōu)導頻序列數為Nr NtKL(Q+1)。由此可見,該文所采用方法能提高數據傳輸效率。

4.實驗結果分析

這一節(jié)給出了一些仿真結果來證實該文所提出算法的有效性與理論分析的正確性。分別考慮了收發(fā)天線皆為2和收發(fā)天線皆為4的MIMO-OFDM無線通信系統,載波頻率5 GHz,基帶采樣頻率5 MHz,子載波個數為1028,采用的調制方式為16-QAM(正交幅度調制)。采樣間隔 Ts為204.8μs。

圖2,3比較了各信道估計算法在不同信噪比下的MSE和BER性能比較分析曲線?？紤]收發(fā)天線皆為2,且信道抽頭數L=15,當移動臺的最大速率取150 km/hr時,最大多普勒頻移為506.25 Hz。從圖中可以明顯看出,在導頻數量分別為所有傳輸符號數量的25%和12.5%時,LS和LMMSE算法MSE性能隨著導頻的減少下降很快,但該文所采用算法性能變化不大。原因是在導頻數量為所有傳輸符號數量的25%時,最優(yōu)導頻序列數滿足傳統方法的均方誤差最小準則;而在導頻數量為所有傳輸符號數量的12.5%時,這個準則就無法成立,信道估計誤差呈急劇下降趨勢。該文所采用算法卻不受這個準則限制,因此,性能變化不大。表明了壓縮感知理論用于快衰落信道估計可以減少導頻數量,提高數據傳輸效率。

同樣,圖4,5比較了各信道估計算法在不同信噪比下的MSE和BER性能比較分析曲線。但這時考慮收發(fā)天線皆為4,且信道抽頭數L=20,當移動臺的最大速率取200 km/hr時,最大多普勒頻移為675 Hz。從圖2～5分析曲線可以明顯看出,快衰落信道對傳統信道估計算法有一定的影響,而對該文利用了快衰落MIMO-OFDM信道在角時延多普勒域的強稀疏性,所以影響很小。

5.結 論

針對快衰落MIMO-OFDM系統中導頻過多導致的低數據傳輸效率,估計性能差以及計算復雜度高的弊端,提出了基于壓縮感知理論的 MIMOOFDM系統快衰落信道估計算法。該算法同時考慮空間域、時間域和多普勒域信道的稀疏性,減少了功率混疊與泄漏,提高信道的稀疏性?；趬嚎s感知的RIP準則,推導了一種少量導頻隨機結構測量矩陣,用于測量快衰落信道在角時延多普勒域稀疏系數。該算法降低了系統對導頻的需求,提高了系統的數據傳輸效率;減少了計算復雜度,提高了估計性能。

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