王友峰

以網(wǎng)格為背景的相似三角形問(wèn)題是中考的熱點(diǎn). 解決這類問(wèn)題，需要依據(jù)網(wǎng)格的特征，并結(jié)合相似三角形的相關(guān)知識(shí)來(lái)分析和思考. 下面結(jié)合近兩年中考題舉例介紹此類問(wèn)題的特點(diǎn)和解題思路.

一、考查相似三角形的判定

例1 （2022·浙江·麗水）如圖1，在6 × 6的方格紙中，點(diǎn)A，B，C均在格點(diǎn)上，作一個(gè)與△ABC相似的格點(diǎn)三角形，相似比不等于1.

解析：要作一個(gè)與△ABC相似的格點(diǎn)三角形，可以把這個(gè)三角形放大到原來(lái)的2倍，如圖2，延長(zhǎng)CB到D，使CD = 2CB，延長(zhǎng)CA到E，使CE = 2CA，易知點(diǎn)E在格點(diǎn)上，得所求作的△EDC，其三邊長(zhǎng)為[22]，4，[210]. 是不是滿足條件的相似三角形只有這一種呢？顯然不是，原△ABC的三邊長(zhǎng)為[2]，2，[10]，三邊之比為1∶[2]∶[5]，在這個(gè)6 × 6的網(wǎng)格圖中，滿足條件的最小三角形的三邊長(zhǎng)為1，[2]，[5]；另外，與最小三角形相似比為[2]的三角形的三邊長(zhǎng)為[2]，[22]，2[5]；與最小三角形相似比為[5]的三角形的三邊長(zhǎng)為[5]，[10]，[5]；與最小三角形相似比為[3]的三角形的三邊長(zhǎng)為[3]，[32]，[35]；與最小三角形相似比為[10]的三角形的三邊長(zhǎng)為[10]，[20] = 2[5]，[50=52]. 這些三角形均滿足要求，同學(xué)們可以自己嘗試畫一下.

點(diǎn)評(píng)：網(wǎng)格圖中判定相似三角形，一般是運(yùn)用“三邊成比例的兩個(gè)三角形相似”這一判定方法. 當(dāng)然，本題中的△ABC中含有一個(gè)135°的特殊角，也可以考慮“兩邊成比例且?jiàn)A角相等的兩個(gè)三角形相似”這一判定方法.

二、考查三角形的位似

例2 （2023·四川·遂寧）在方格圖中，以格點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形叫做格點(diǎn)三角形. 在圖3所示的平面直角坐標(biāo)系中，格點(diǎn)△ABC，△DEF成位似關(guān)系，則位似中心的坐標(biāo)為（）.

解析：根據(jù)位似的性質(zhì)，可知對(duì)應(yīng)點(diǎn)所在直線的交點(diǎn)就是位似中心. 如圖4，直線AD，CF，BE的交點(diǎn)為（- 1，0），則位似中心為（- 1，0）. 在實(shí)際解題中只要找出兩組對(duì)應(yīng)點(diǎn)所在直線即可，比如直線AD和BE.

點(diǎn)評(píng)：根據(jù)網(wǎng)格圖的特性，直線AD是網(wǎng)格圖中小正方形對(duì)角線所在的直線，直線BE就是x軸，準(zhǔn)確畫出這兩條直線，就可以得出位似中心. 當(dāng)然，本題也可以直接求出兩條直線的表達(dá)式，再求交點(diǎn)坐標(biāo).

三、考查相似三角形的性質(zhì)

例3 （2022·江蘇·鎮(zhèn)江）如圖5，點(diǎn)A，B，C，D在網(wǎng)格中小正方形的頂點(diǎn)處，AD與BC相交于點(diǎn)O，小正方形的邊長(zhǎng)為1，則AO的長(zhǎng)等于（）.

A. 2 B. [73] C. [625] D. [925]

解析：由AB[?]CD可得△AOB ∽ △DOC，則[AODO=ABCD=23]，所以[AOAD=25]. 又因?yàn)锳D = 5，所以AO = 2，故可得答案為A.

點(diǎn)評(píng)：利用網(wǎng)格圖中具有天然的平行線的條件，很容易發(fā)現(xiàn)相似三角形，再利用相似性質(zhì)解題就很容易了. 當(dāng)然，本題也可以使用等腰三角形的知識(shí)解決問(wèn)題，這里提供解題思路供同學(xué)們思考，如圖6，將BC向左平移兩個(gè)單位長(zhǎng)度得AE，可得AE[?]BC，AD = DE = 5，可得∠DAE = ∠DEA，易得∠DAE = ∠DOC，∠DEA = ∠DCO，所以∠DOC = ∠DCO，DO = DC = 3，故AO = 2.

四、考查相似三角形的綜合運(yùn)用

例4 （2022·江蘇·宿遷）如圖7，在網(wǎng)格中，每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)均為1，每個(gè)小正方形的頂點(diǎn)稱為格點(diǎn)，點(diǎn)A，B，M均為格點(diǎn). 圖中是以格點(diǎn)O為圓心的圓，請(qǐng)你只用無(wú)刻度的直尺，在弦AB上找出一點(diǎn)P，使AM2 = AP·AB，寫出作法，不用證明.

解析：要使AM2 = AP·AB，容易想到“母子型”相似三角形，即△AMP ∽ △ABM，故只要有∠AMP = ∠ABM即可. 考慮構(gòu)造等弧所對(duì)的圓周角相等，如圖8，連接OA，BM，利用勾股定理或矩形的旋轉(zhuǎn)作格點(diǎn)線段MC⊥OA，延長(zhǎng)MC交☉O于點(diǎn)D，根據(jù)垂徑定理可得[AD]= [AM]，得圓周角∠AMD = ∠ABM，MC與AB的交點(diǎn)即為點(diǎn)P，再由∠MAP = ∠BAM，得△AMP ∽ △ABM，易得AM2 = AP·AB.

點(diǎn)評(píng)：基本圖形的積累意識(shí)，對(duì)于綜合題的解決很有幫助. 上面的解法利用網(wǎng)格圖畫出垂線，從而利用垂徑定理解決了角相等的問(wèn)題，為構(gòu)造“母子型”相似三角形創(chuàng)造了條件. 本題還可以這樣思考，因?yàn)樾≌叫蔚倪呴L(zhǎng)為1，所以AM = 2，AB = 4[2]，這樣由AM2 = AP·AB，直接可得AP = [22]，即P就是線段AB上以A為頂點(diǎn)的小方格的對(duì)角線的交點(diǎn).