◆馬正勛

(榆中縣職業(yè)教育中心)

排列組合的解題策略

◆馬正勛

(榆中縣職業(yè)教育中心)

排列組合作為高中代數(shù)課本的一個獨立分支,因為極具抽象性而成為“教”與“學(xué)”難點。有相當(dāng)一部分題目,教者很難用比較清晰簡潔的語言講給學(xué)生聽,有的即使教者覺得講清楚了,但是由于學(xué)生的認知水平,思維能力在一定程度上受到限制,還不太適應(yīng)。從而導(dǎo)致學(xué)生對題目一知半解,甚至覺得“云里霧里”。針對這一現(xiàn)象,筆者在日常教學(xué)過程中經(jīng)過嘗試,總結(jié)出一下方法。

筆者認為,之所以學(xué)生“怕”學(xué)排列組合,主要還是因為排列組合的抽象性。那么,解決問題的關(guān)鍵就是將抽象問題具體化,我們不妨將原題進行一下轉(zhuǎn)換,讓學(xué)生走進題目當(dāng)中,成為“演員”,成為解決問題的決策者。這樣做不僅激發(fā)了學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣,活躍了課堂氣氛,還充分發(fā)揮學(xué)生的主體意識和主觀能動性,能讓學(xué)生從具體問題的分析過程中得到啟發(fā),逐步適應(yīng)排列組合題的解題規(guī)律,從而做到以不變應(yīng)萬變。當(dāng)然,在具體的教學(xué)過程中,教師一定要注意題目轉(zhuǎn)換的等價性,可操作性。

下面,筆者將就教學(xué)過程中的兩個難點通過兩個特例作進一步的說明。

1 .占位子問題

例 1.將編號為 1、2、3、4、5的 5個小球放進編號為 1、2、3、4、5的 5個盒子中,要求只有兩個小球與其所在的盒子編號相同,問有多少種不同的方法?

(1)仔細審題。在轉(zhuǎn)換題目之前,先讓學(xué)生仔細審題,從重點詞語小球和盒子都已“編號”著手,清楚這是一個“排列問題”,然后對題目進行等價轉(zhuǎn)換。

(2)轉(zhuǎn)換題目。在審題的基礎(chǔ)上,為了激發(fā)學(xué)生興趣進入角色,我將題目轉(zhuǎn)換為:讓學(xué)號為 1、2、3、4、5的學(xué)生坐到編號為 1、2、3、4、5的 5張凳子上(已準(zhǔn)備好放在講臺前),要求只有兩個學(xué)生與其所坐的凳子編號相同,問有多少種不同的坐法?

(3)解決問題。這時,我在選另一名學(xué)生來安排這 5位學(xué)生坐位子(學(xué)生爭著上臺,積極性已經(jīng)得到了極大的提高),班上其他同學(xué)也都積極思考(充分發(fā)揮了學(xué)生的主體地位和主觀能動性),努力地“出謀劃策”,不到兩分鐘的時間,同學(xué)們有了統(tǒng)一的看法:先選定符合題目特殊條件“兩個學(xué)生與其所坐的凳子編號相同”的兩位同學(xué),有 C種方法,讓他們坐到與自己編號相同的凳子上,然后剩下的 3位同學(xué)不坐編號相同的凳子有 2種排法,最后根據(jù)乘法原理得到結(jié)果為 2×C=20(種)。這樣,原題也就得到了解決。

(4)學(xué)生小結(jié)。接著,我讓學(xué)生之間互相討論,根據(jù)自己的分析方法,對這一類問題提出一個好的解決方案 (課堂氣氛又一次活躍起來)。

(5)老師總結(jié)。對于這一類占位子問題,關(guān)鍵是抓住題目中的特殊條件,先從特殊對象或者特殊位子入手,再考慮一般對象,從而最終解決問題。

2 .分組問題

例 2.從 1、3、5、7、9和 2、4、6、8兩組數(shù)中分別選出 3個和 2個數(shù)組成 5位數(shù),問這樣的 5位數(shù)有幾個?

(本題我是先讓學(xué)生計算,有很多同學(xué)得出的結(jié)論是 P×P。)

(1)仔細審題。先由學(xué)生審題,明確組成 5位數(shù)是一個排列問題,但是由于這五個數(shù)來自兩個不同的組,因此是一個“分組排列問題”,然后對題目進行等價轉(zhuǎn)換。

(2)轉(zhuǎn)換題目。在學(xué)生充分審題后,我讓學(xué)生自己對題目進行等價轉(zhuǎn)換,有一位同學(xué) A將題目轉(zhuǎn)換如下:從班級的第一組 (12人)和第二組(10人)中分別選 3位和 2位同學(xué)分別去參加蘇州市舉辦的語文、數(shù)學(xué)、英語、物理、化學(xué)競賽,問有多少種不同的選法?

(3)解決問題。接著,我就讓同學(xué)A來提出選人的方案同學(xué)A說:先從第一組的 12個人中選出 3人參加其中的 3科競賽,有 P× P種選法;再從第二組的10人中選出2人參加其中 2科競賽有 P× P種選法;最后由乘法原理得出結(jié)論為 (P×P)×(P×P)(種)(這時同學(xué)B表示反對)。

同學(xué)B說:如果第一組的 3個人先選了 3門科目,那么第二組的 2人就沒有選擇的余地。所以第二步應(yīng)該是 P×P(同學(xué)們都表示同意,但是同學(xué)C說太繁)。

同學(xué) C說:可以先分別從兩組中把 5個人選出來,然后將這 5個人在 5門學(xué)科中排列,他列出的計算式是 C×C×P(種)(再次通過互相討論,都表示贊賞)。

這樣原題的解答結(jié)果就"浮現(xiàn)"出來 C×C×P(種)。

(4)老師總結(jié)。針對這樣的“分組排列”題,我們多采用“先選后排”的方法:先將需要排列的對象選定,再對它們進行排列。

以上是我一節(jié)課兩個例題的分析過程,旨在通過這種方法的嘗試 (教學(xué)效果比較明顯),進一步活躍課堂氣氛,更全面地調(diào)動學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性,發(fā)揮教師的主導(dǎo)作用和學(xué)生的主體作用,讓學(xué)生在互相討論的過程中學(xué)會自己分析轉(zhuǎn)換問題,解決問題。