王超，任偉新，黃天立

(中南大學(xué) 土木建筑學(xué)院，湖南 長(zhǎng)沙，410075)

時(shí)不變模型可以用來描述許多結(jié)構(gòu)系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)特性，目前，許多研究主要針對(duì)于線性時(shí)不變結(jié)構(gòu)系統(tǒng)的正問題和反問題。然而，許多實(shí)際的土木工程結(jié)構(gòu)在其運(yùn)營(yíng)過程中表現(xiàn)出時(shí)變特性，例如列車過橋時(shí)橋梁的振動(dòng)、結(jié)構(gòu)發(fā)生損傷導(dǎo)致剛度退化等，結(jié)構(gòu)參數(shù)(剛度、阻尼和質(zhì)量等)會(huì)隨時(shí)間發(fā)生變化。因此，識(shí)別這類結(jié)構(gòu)的時(shí)變特征參數(shù)對(duì)監(jiān)測(cè)結(jié)構(gòu)運(yùn)營(yíng)狀況和診斷結(jié)構(gòu)損傷情況具有實(shí)際意義。對(duì)于時(shí)變結(jié)構(gòu)模態(tài)參數(shù)識(shí)別，近年來許多研究人員提出了多種方法，如：續(xù)秀忠等[1-2]提出了用時(shí)頻分析和非平穩(wěn)時(shí)間序列的時(shí)變自回歸建模的方法進(jìn)行時(shí)變結(jié)構(gòu)模態(tài)參數(shù)的識(shí)別；Liu等[3-4]提出了子空間識(shí)別方法，并建立了一個(gè)軸向移動(dòng)懸臂梁試驗(yàn)來驗(yàn)證所提出的方法；龐世偉等[5]提出了基于整體數(shù)據(jù)子空間方法的改進(jìn)算法，增強(qiáng)子空間算法的抗噪性；吳日強(qiáng)等[6]提出了一種適于在線跟蹤的改進(jìn)子空間算法；Hou等[7-8]提出基于連續(xù)小波變換的方法識(shí)別結(jié)構(gòu)瞬時(shí)模態(tài)參數(shù)；Tsatsanis等[9]用ARMAX模型來描述時(shí)變系統(tǒng)，將時(shí)變系數(shù)用小波基函數(shù)展開，通過最小二乘法識(shí)別時(shí)變系統(tǒng)。因此，模態(tài)參數(shù)識(shí)別相對(duì)成熟。然而，對(duì)于時(shí)變結(jié)構(gòu)物理參數(shù)識(shí)別的研究還較少。Shi等[10]提出了Hilbert變換和經(jīng)驗(yàn)?zāi)Ｊ椒纸?EMD)的方法用于時(shí)變系統(tǒng)識(shí)別。Ghanem 等[11]運(yùn)用小波伽遼金方法分析時(shí)變結(jié)構(gòu)；Cooper等[12-13]提出了不同的自適應(yīng)遺忘因子在線最小二乘法識(shí)別結(jié)構(gòu)物理參數(shù)；李會(huì)娜等[14]提出了一種基于自由響應(yīng)信號(hào)的時(shí)變結(jié)構(gòu)物理參數(shù)子空間識(shí)別方法；任宜春等[15]提出了基于離散小波變換的識(shí)別方法。由于時(shí)變問題的復(fù)雜性，已提出的方法還未在實(shí)際工程中廣泛運(yùn)用，還有待更深入研究。本文作者將時(shí)變結(jié)構(gòu)的時(shí)變參數(shù)離散化，利用離散小波變換將其在多尺度上展開為概貌信號(hào)和細(xì)節(jié)信號(hào)，選擇合適的小波基函數(shù)使展開的信號(hào)能量盡量集中在低頻區(qū)段，忽略高頻細(xì)節(jié)信號(hào)，僅由低頻概貌信號(hào)估計(jì)時(shí)變參數(shù)，將時(shí)變結(jié)構(gòu)識(shí)別問題轉(zhuǎn)化為時(shí)不變問題。通過最小二乘法識(shí)別出低頻尺度展開系數(shù)，從而重構(gòu)得到原始時(shí)變參數(shù)。用提出的方法對(duì)1個(gè)2層框架結(jié)構(gòu)的時(shí)變剛度和阻尼進(jìn)行有效識(shí)別。

1 信號(hào)多尺度小波分析

多尺度分析[16](也稱為多分辨率分析)建立在函數(shù)空間概念上，將空間L2(R)進(jìn)行逐級(jí)二分解產(chǎn)生一組逐級(jí)包含的子空間：

式中：Vj為尺度空間；Wj為小波空間，j∈Z。

對(duì)于任意平方可積函數(shù)x(t)∈L2(R)，將其向不同尺度的尺度空間和小波空間投影，可以在不同分辨率下對(duì)信號(hào)進(jìn)行分析。若將x(t)按以下空間組合：

展開，可以得到函數(shù)x(t)的多尺度正交分解：

式中：cJ,k為第J尺度的尺度展開系數(shù)(也稱為x(t)在分辨率J下的離散逼近)；φJ(rèn),k(t)為離散小波變換的尺度函數(shù)；dj,k為第j尺度的小波展開系數(shù)；ψj,k(t)為離散小波變換的小波函數(shù)。

多尺度分析可以通過濾波器組來計(jì)算。假定h0和h1分別為小波分解對(duì)應(yīng)的低通和高通濾波器沖擊響應(yīng)，g0和g1分別為小波重構(gòu)對(duì)應(yīng)的低通和高通濾波器沖擊響應(yīng)，尺度系數(shù)和小波系數(shù)可以用Mallat塔式算法進(jìn)行快速計(jì)算：

相應(yīng)的系數(shù)重構(gòu)算法為：

圖1所示為2層多尺度小波分析原理。當(dāng)信號(hào)采樣頻率大于Nyquist頻率時(shí)，通常直接用x(t)的采樣序列x(n)近視作為信號(hào)在0尺度分解上的尺度系數(shù)c0,k，則離散信號(hào)x(n)的J尺度分解和重構(gòu)可由圖1所示的濾波器組實(shí)現(xiàn)(僅表示了J=2層分解的情況)。圖1中H0(Z)為分解低通濾波器h0(-n)的Z變換；H1(Z)為分解高通濾波器h1(-n)的Z變換；G0(Z)為重構(gòu)低通濾波器g0(n)的Z變換；G1(Z)為重構(gòu)高通濾波器g1(n)的Z變換；x′(n)為重構(gòu)的信號(hào)。

圖1 2層多尺度小波分析原理Fig.1 Multiresolution analysis to depth of J=2

圖2所示為等效分解和重構(gòu)濾波器結(jié)構(gòu)。由多采樣率分析中的等效易位關(guān)系，圖1所示的分解重構(gòu)結(jié)構(gòu)可以用圖2所示結(jié)構(gòu)等效。圖2中：H(Z2)表示對(duì)傳遞函數(shù)H(Z)進(jìn)行二插值。

對(duì)于信號(hào)J層分解，共有J+1個(gè)濾波器，其中低頻部分的濾波器傳遞函數(shù)為：

圖2 等效分解和重構(gòu)濾波器結(jié)構(gòu)Fig.2 Equivalent decomposition and reconstruction filter structure

相應(yīng)地，高頻部分的濾波器傳遞函數(shù)為：

對(duì)于信號(hào)重構(gòu)，相應(yīng)的濾波器只需把式(6)和式(7)中的H改為G即可。令g0J(n)和g1j(n)分別為G0J(Z)和G1j(Z)的反Z變換，對(duì)信號(hào)進(jìn)行J層分解，設(shè)分解的尺度系數(shù)和小波系數(shù)分別為cJ,k和dj,k，則離散信號(hào)x(n)可展開為：

式中：k為分解小波系數(shù)的長(zhǎng)度，與信號(hào)長(zhǎng)度和分解層數(shù)相關(guān)。

2 時(shí)變結(jié)構(gòu)物理參數(shù)識(shí)別方法

考慮單自由度時(shí)變結(jié)構(gòu)系統(tǒng)，其質(zhì)量為m，剛度和阻尼在振動(dòng)過程中隨時(shí)間緩慢變化，表示為c(t)和k(t)，對(duì)應(yīng)的振動(dòng)運(yùn)動(dòng)方程為：

其相應(yīng)的離散形式為：

將時(shí)變阻尼和剛度看作一離散時(shí)間序列信號(hào)，設(shè)其J層小波分解的小波系數(shù)和尺度系數(shù)已知，根據(jù)式(8)將其展開。對(duì)于慢變信號(hào)，信號(hào)能量大部分集中在低頻部分，展開時(shí)可忽略第2項(xiàng)細(xì)節(jié)信號(hào)，僅由第1項(xiàng)概貌信號(hào)來近似表示：

將式(11)和(12)代入方程(10)可得：

將所有離散時(shí)刻n=1～N的響應(yīng)代入式(13)：

由最小二乘法可求出：

將式(19)求出的結(jié)果代入式(11)和(12)可求出結(jié)構(gòu)的時(shí)變阻尼和時(shí)變剛度。

圖3所示為2層剪切框架模型。對(duì)于多自由度時(shí)變結(jié)構(gòu)系統(tǒng)，不失一般性，這里考慮如圖3所示的2層剪切框架，各層剛度和阻尼時(shí)變，其振動(dòng)方程為：

將剛度和阻尼作為未知量，把相同阻尼和剛度的系數(shù)移到一起，方程變?yōu)椋?/p>

對(duì)每一個(gè)待求阻尼和剛度用前述方法展開，可以得到：

其中：展開系數(shù)G1(c2)的G1表示對(duì)于第一個(gè)方程；表示對(duì)應(yīng)未知阻尼。與式(15)求法類似，只需根據(jù)的系數(shù)進(jìn)行修改：

其他展開系數(shù)按相同方法可以求出。

式中：上標(biāo)1和2表示對(duì)應(yīng)未知阻尼c1和c2以及未知?jiǎng)偠萲1和k2。

同樣，對(duì)式(22)用最小二乘法可求出Q，從而識(shí)別出結(jié)構(gòu)的時(shí)變阻尼和時(shí)變剛度。

當(dāng)信號(hào)中存在噪音時(shí)，方程發(fā)生病態(tài)，直接用最小二乘法求解誤差較大。這里采用Tikhonov正則化方法進(jìn)行求解。

3 數(shù)值算例

采用如圖3所示2層剪切框架結(jié)構(gòu)模型做仿真算例，以驗(yàn)證本文方法的真確性和有效性。

圖3 2層剪切框架模型Fig.3 Two stories shearing frame model

模型質(zhì)量保持不變，m1=m2=2.5 t。結(jié)構(gòu)受到地震作用(取40 s El-Centro波作用)，用四階龍格庫塔法求結(jié)構(gòu)的響應(yīng)，采樣頻率為50 Hz。為模擬噪音影響，向求得的響應(yīng)中添加高斯白噪聲，考慮2種時(shí)變情況：剛度阻尼同時(shí)變化和只有剛度變化。

3.1 剛度和阻尼同時(shí)變化

考慮剛度K1突變，剛度K2線性變化，阻尼C1突變，阻尼C2線性變化，具體變化如下：

采用db3小波將時(shí)變參數(shù)展開，用提出的方法對(duì)剛度和阻尼進(jìn)行識(shí)別，識(shí)別的剛度結(jié)果如圖4和圖5所示，識(shí)別的阻尼結(jié)果如圖6和圖7所示。

圖4 剛度K1識(shí)別結(jié)果Fig.4 Identified results of stiffness K1

圖5 剛度K2識(shí)別結(jié)果Fig.5 Identified results of stiffness K2

圖6 阻尼C1識(shí)別結(jié)果Fig.6 Identified results of damping C1

圖7 阻尼C2識(shí)別結(jié)果Fig.7 Identified results of damping C2

由圖4和圖5可以看出：剛度的識(shí)別結(jié)果在無噪音時(shí)比較理想；存在噪音時(shí)，結(jié)果會(huì)受到一定影響，但仍能有效跟蹤時(shí)變參數(shù)的變化。在剛度突變處，識(shí)別結(jié)果有一個(gè)過渡段，主要是由于方法對(duì)時(shí)變參數(shù)展開時(shí)只采用了低頻概貌信號(hào)而忽略了高頻細(xì)節(jié)信號(hào)，具有一定的近似，剛度突變處的高頻成分被忽略，因而識(shí)別結(jié)果存在一定誤差。另外，阻尼突變處的近似也會(huì)對(duì)整個(gè)識(shí)別結(jié)果產(chǎn)生一定影響。在信號(hào)的端部，由于小波變換端點(diǎn)效應(yīng)的影響，識(shí)別結(jié)果也產(chǎn)生稍大偏離。時(shí)變阻尼的識(shí)別結(jié)果對(duì)噪音較敏感，但仍能看出其變化趨勢(shì)。

3.2 剛度變化，阻尼不變

阻尼為C1=C2=1 kN·s/m，剛度K1二次曲線變化，剛度K2呈周期性變化，變化如下：

剛度的識(shí)別結(jié)果如圖8和圖9所示。由圖8和圖9可以看出：無噪音時(shí)，識(shí)別結(jié)果與理論值非常接近，只在端部由于端點(diǎn)效應(yīng)的影響稍有偏差。主要是由于阻尼不變，剛度的變化也比較平滑，忽略高頻細(xì)節(jié)信號(hào)產(chǎn)生的誤差較??；當(dāng)噪音加大到 5%時(shí)，剛度識(shí)別結(jié)果仍然較好，因而該方法識(shí)別剛度抗噪性較好。

圖8 剛度K1識(shí)別結(jié)果Fig.8 Identified results of stiffness K1

圖9 剛度K2識(shí)別結(jié)果Fig.9 Identified results of stiffness K2

4 結(jié)論

(1)利用離散小波變換將時(shí)變結(jié)構(gòu)的時(shí)變物理參數(shù)在多尺度上展開為概貌信號(hào)和細(xì)節(jié)信號(hào)，將時(shí)變結(jié)構(gòu)識(shí)別問題轉(zhuǎn)化為時(shí)不變結(jié)構(gòu)識(shí)別問題，由最小二乘法識(shí)別出結(jié)構(gòu)的時(shí)變物理參數(shù)。該方法可以有效識(shí)別結(jié)構(gòu)的時(shí)變剛度，具有較好的抗噪性。

(2)由于將時(shí)變參數(shù)在多尺度上展開時(shí)，忽略小波分解的高頻信號(hào)，由低頻概貌信號(hào)估計(jì)時(shí)變參數(shù)，方法具有一定近似，因此，當(dāng)剛度呈線性及周期變化時(shí)，識(shí)別結(jié)果比剛度突變時(shí)的好。

(3)同時(shí)識(shí)別剛度和阻尼時(shí)，由于阻尼比剛度小得多(本文中小 2個(gè)數(shù)量級(jí))，識(shí)別時(shí)計(jì)算的相對(duì)誤差要比剛度的相對(duì)誤差大得多，因此，阻尼識(shí)別結(jié)果對(duì)噪音較敏感，誤差較差，還需進(jìn)一步研究、改進(jìn)。

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