鄭 金

(遼寧省凌源市職教中心,遼寧凌源 122500)

本刊2009年第5期刊登了“常見的速度合成問題錯(cuò)解分析”一文,2009年第11期刊登了“對(duì)兩類速度合成問題錯(cuò)誤的再分析”一文,都對(duì)交點(diǎn)類、關(guān)聯(lián)類的速度求解問題進(jìn)行了詳盡分析并給出正確的解答方法,讀后頗受啟發(fā).由于交點(diǎn)速度問題比關(guān)聯(lián)速度問題相對(duì)較難且生疏,并具有一定的教學(xué)價(jià)值,因此本文將對(duì)這類問題進(jìn)行專題探究.所謂交點(diǎn)速度問題,一般是指在同一平面內(nèi)相交放置的直桿與直桿、圓環(huán)與圓環(huán)或直桿與圓環(huán),當(dāng)發(fā)生勻速直線運(yùn)動(dòng)或勻速圓周運(yùn)動(dòng)時(shí),其交點(diǎn)將發(fā)生某種運(yùn)動(dòng).若已知直桿和圓環(huán)運(yùn)動(dòng)的速度,則可求交點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的速度.對(duì)于這類問題的解答,除了速度合成分解法、位移微元法外,還有一種通法,即解析式求導(dǎo)法,下面進(jìn)行分析.

例1.如圖1所示,臨界角為45°的液面上有一點(diǎn)光源S發(fā)出一束光線,垂直入射到水平放置于液體中且距離液面為d的平面鏡M上.當(dāng)平面鏡 M繞垂直過中心O的軸以角速度ω逆時(shí)針勻速轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí),觀察者發(fā)現(xiàn)水面上有一光斑掠過.設(shè)t=0時(shí)平面鏡處于水平位置且鏡面向上,試確定觀察者所觀察到的光斑在水面上移動(dòng)速度v與時(shí)間t的函數(shù)關(guān)系式.

圖1

圖2

解法1:端速分解法

把光線視為運(yùn)動(dòng)的直桿,繞軸 O轉(zhuǎn)動(dòng);把水面上光線經(jīng)過的路徑視為靜止的直桿,它們的交點(diǎn)沿著水面移動(dòng).經(jīng)過時(shí)間 t,平面鏡轉(zhuǎn)過的角度為 θ=ω t,光線反射到水面上的P點(diǎn),由于點(diǎn)O到水面的距離不斷增大,則光線在轉(zhuǎn)動(dòng)的同時(shí),長(zhǎng)度還增加,因此可將光斑沿水面的速度分解為沿著光線方向的縱向速度v∥和垂直于光線方向的橫向速度v⊥,如圖 2所示.

解法2:解析式求導(dǎo)法

建立直角坐標(biāo)系如圖3所示,可知點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為x=dtan2θ=dtan2ω t,對(duì)時(shí)間求導(dǎo)數(shù),得速度

圖3

例2.如圖4所示,兩根細(xì)長(zhǎng)棒 AB與CD夾角為θ,分別以垂直于自身的速度v1與v2移動(dòng),求交點(diǎn)M 的移動(dòng)速度.

圖4

圖5

解法1:速度合成分解法

設(shè)桿CD不動(dòng),只有桿AB移動(dòng),則交點(diǎn)沿著桿CD運(yùn)動(dòng),如圖5所示.分解速度 v1,沿著桿CD運(yùn)動(dòng)的速度為v1′如圖6所示.

圖6

設(shè)桿 AB不動(dòng),只有桿CD移動(dòng),則交點(diǎn)沿著桿 AB運(yùn)動(dòng),如圖7所示.

分解速度 v2,沿著桿 AB運(yùn)動(dòng)的速度為如圖8所示.

由圖6和圖8可知,分速度 v1′與v2′所成角度為180°-θ,由余弦定理得交點(diǎn) M的合速度為

解法2:解析式求導(dǎo)法

建立如圖9所示直角坐標(biāo)系,在t=0時(shí)刻,兩根直桿的交點(diǎn)位于坐標(biāo)原點(diǎn),則在任意時(shí)刻t,直桿 AB的直線方程為

直桿CD的直線方程為

由方程(1)、(2)可得任意時(shí)刻交點(diǎn)的坐標(biāo)為

圖9

這就是交點(diǎn)的參數(shù)方程,表明交點(diǎn)沿坐標(biāo)軸方向做勻速直線運(yùn)動(dòng),交點(diǎn)沿坐標(biāo)軸方向的速度分量分別為

所以合速度為

例3.如圖10所示,一個(gè)半徑為 R的軸環(huán)O1立于水平面上,另一個(gè)同樣的軸環(huán)O2以速度v從這個(gè)軸環(huán)旁通過,試求兩軸環(huán)上交點(diǎn)A的速度vA與兩環(huán)中心之距離d的關(guān)系.軸環(huán)很薄,且第2個(gè)軸環(huán)緊傍第1個(gè)軸環(huán)通過.

解法1:沿桿同速法

在軸環(huán)O2以速度v運(yùn)動(dòng)的過程中,因交點(diǎn)到圓心 O2的距離即半徑保持不變,則半徑 AO2的運(yùn)動(dòng)相當(dāng)于輕桿的運(yùn)動(dòng),其兩端點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)速度分別等于圓心O2和交點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)速度.交點(diǎn)相對(duì)于地面的速度vA沿靜止環(huán)的切線方向,與半徑 AO2的夾角為如圖 11所示.

圖10

圖11

在同一時(shí)刻,半徑 AO2兩端點(diǎn)的沿桿的縱向分速度相等,即“沿桿同速”,可知 vcosα=vAcosθ,即 vcosα=vAsin2α,則

解法2:解析式求導(dǎo)法

建立直角坐標(biāo)系如圖12所示,若從兩軸環(huán)重合時(shí)開始計(jì)時(shí),則在任意時(shí)刻t兩圓心之間的距離為d=vt,因軸環(huán)O1的圓心位于坐標(biāo)原點(diǎn),則軸環(huán)O1所在圓的方程為

軸環(huán) O2的方程為

由此可得

圖12

此即為交點(diǎn) A的參數(shù)方程.

分別對(duì)時(shí)間求導(dǎo)數(shù)得

已知 d=vt,還有幾何關(guān)系

可知合速度的平方為

所以合速度即交點(diǎn) A移動(dòng)的速度為

因d=vt為變量,故交點(diǎn)A的速度隨時(shí)間而變化.

綜上可見,對(duì)于交點(diǎn)速度問題,解法多樣,而利用解析法和導(dǎo)數(shù)知識(shí)來求解,數(shù)理相結(jié)合,妙趣橫生.

1 郭明遠(yuǎn).解運(yùn)動(dòng)合成與分解題的思路.中學(xué)物理(高中版),1999(12).

2 劉玲.常見的速度合成問題錯(cuò)解分析.物理教師(高中版),2009(5).

3 周棟梁.對(duì)兩類速度合成問題錯(cuò)誤的再分析.物理教師(高中版),2009(11).

4 黃晶.陳題新解溫故知新.中學(xué)物理(高中版),2009(3).

5 姚昌新.利用解析法求交點(diǎn)速度.中學(xué)物理(高中版),2009(10).