洪雪芹 楊月春 石 紅 吳 蓓 房艷萍 戴景生

(1.中原油田技術(shù)安全培訓(xùn)部,河南濮陽(yáng),457001;2.中國(guó)石油大學(xué)中原油田學(xué)習(xí)中心,河南濮陽(yáng) 457001;3.中原油田第二高級(jí)中學(xué),河南濮陽(yáng) 457001)

1 引言

文獻(xiàn)[1]中有這樣一個(gè)問(wèn)題:一個(gè)圓球形薄殼容器所受重力為 G,用一細(xì)線懸掛起來(lái),如圖1所示,現(xiàn)在容器里裝滿水,若在容器底部有一個(gè)小閥門(mén),當(dāng)小閥門(mén)打開(kāi)讓水慢慢流出,在此過(guò)程中,系統(tǒng)(包括容器和水)的重心位置

(A)慢慢下降.

(B)慢慢上升.

(C)先下降后上升.

(D)先上升后下降.

本題可以這樣考慮,以小閥門(mén)所在位置為坐標(biāo)原點(diǎn),水平方向?yàn)?x方向,豎直方向?yàn)閥方向建立直角坐標(biāo)系xOy,y軸過(guò)“水球”球心,如圖2所示.設(shè)“水球”的半徑為 R.水未流出時(shí),連同圓球形薄殼容器在內(nèi)的系統(tǒng)的重心位置在y=R處,水流盡時(shí),系統(tǒng)的重心位置也在y=R處,水在流動(dòng)過(guò)程中“水球缺”的重心在 y=R以下,系統(tǒng)的重心位置也在y=R以下,故選擇(C),即系統(tǒng)的重心位置先下降后上升.

據(jù)此可以想到:(1)水在流動(dòng)過(guò)程中,系統(tǒng)的重心應(yīng)該有一個(gè)最低位置,它在哪里?(2)從打開(kāi)閥門(mén)開(kāi)始,水流多長(zhǎng)時(shí)間,系統(tǒng)的重心位置最低?(3)從打開(kāi)閥門(mén)開(kāi)始到水流盡,需要多長(zhǎng)時(shí)間?

圖1

圖2

圖3

2 對(duì)系統(tǒng)重心的研究

在 xOy平面與“水球”的截面圓內(nèi)觀察,水位線與圓周的交點(diǎn)P跟圓心連成的圓的半徑為R,此R與y軸負(fù)方向的夾角為θ,如圖2所示.設(shè)水的密度為 ρ,考慮半徑為 r厚度為 dy的圓形薄水層,其 r=Rsinθ,縱坐標(biāo) y=RRcosθ,θ∈[0,180°],體積 dV=πr2dy,質(zhì)量 dm=ρ dV=ρ πr2dy.

從圖3看出,高度為 H的“水球缺”質(zhì)量為

系統(tǒng)在地球附近,所占空間又很小,其重心與質(zhì)心是重合的,計(jì)算重心位置與計(jì)算質(zhì)心位置的方法一樣.

根據(jù)物理學(xué)對(duì)物體質(zhì)心的定義,高度為H的“水球缺”的質(zhì)心坐標(biāo)為

系統(tǒng)的質(zhì)心坐標(biāo),也是重心坐標(biāo)為

由式(1)看出,系統(tǒng)的重心坐標(biāo)不僅與水面高度(由θ表現(xiàn)出來(lái))有關(guān),還與圓球形薄殼容器的質(zhì)量跟水的總質(zhì)量的比值有關(guān).

3 水流時(shí)間的計(jì)算

假設(shè)上面的水面與大氣連通且沒(méi)有粘滯性,僅靠自身重力自由流出.水經(jīng)閥門(mén)流出時(shí),水面的坐標(biāo)是流水時(shí)間的函數(shù).設(shè)閥門(mén)是截面積為SB的圓孔,某時(shí)刻圓孔處水的流速為 vB,水面的高度為 y,經(jīng) dt時(shí)間后水面下降 dy,圓孔流出水的體積微分dVB=SBvBdt.在水面處,同一時(shí)間內(nèi)流水體積的微分是dV=-πr2dy(水流出時(shí)體積增量為負(fù)值),根據(jù)流體連續(xù)性原理,SBvBdt=-πr2dy.結(jié)合伯努利方程求出,再利用 r=Rsinθ,得

兩邊積分得

4 結(jié)束語(yǔ)

從式(1)看出,系統(tǒng)重心坐標(biāo)的最小值與圓球形薄殼容器的質(zhì)量跟水的總質(zhì)量的比值有關(guān),對(duì)于不同的系統(tǒng)重心坐標(biāo)的最小值不同,從打開(kāi)閥門(mén)開(kāi)始,到水流到系統(tǒng)重心最低時(shí)所用的時(shí)間也不同.

在求系統(tǒng)重心坐標(biāo)最小值時(shí),按照傳統(tǒng)的辦法是將yC系統(tǒng)對(duì)cosθ求導(dǎo)數(shù),找出駐點(diǎn),再求極值.本題這樣做勢(shì)必產(chǎn)生高次方程,高次方程非常難解.與其解復(fù)雜的高次方程,還不如借助計(jì)算機(jī)用逼近法[注]來(lái)尋找答案.

[注]關(guān)于數(shù)學(xué)上用逼近法求極值的進(jìn)一步解釋:因cosθ∈[-1,+1],故取 cosθ=-1,-0.8,-0.6,-0.4,-0.2,0,0.2,0.4,0.6,0.8,1分別代入式(1)計(jì)算yC系統(tǒng),用手持計(jì)算機(jī)可以很方便的計(jì)算出結(jié)果.再?gòu)膟C系統(tǒng)最小的那個(gè)值對(duì)應(yīng)的cosθ兩側(cè)分別取一個(gè)值代入式(1)計(jì)算 yC系統(tǒng),比較其大小.循環(huán)進(jìn)行,很快就找到最小的 yC系統(tǒng),如用電腦編程計(jì)算就更快捷.逼近法求極值適用于已知函數(shù)在某個(gè)區(qū)間內(nèi)有一個(gè)確定的極值的情形.

1 孫翔峰.《創(chuàng)新方案》高考總復(fù)習(xí)?物理.北京:人民日?qǐng)?bào)出版社,2006.3

2 吉永錄.小孔泄流時(shí)間問(wèn)題.物理教學(xué),1984(3):42-43

3 肖士旬.理論力學(xué)簡(jiǎn)明教程.北京:人民教育出版社,1980.91-92

4 樊映川.高等數(shù)學(xué)講義下冊(cè).北京:人民教育出版社,1980.138-140