高志強(qiáng)，張夢(mèng)琳

（南開大學(xué) 風(fēng)險(xiǎn)管理與保險(xiǎn)學(xué)系，天津 300071）

0 引言

尾部條件期望（Tail probability expectation,CTE）是一個(gè)優(yōu)于在險(xiǎn)價(jià)值（Value at Risk，VaR）的風(fēng)險(xiǎn)度量指標(biāo)，也是目前最常用的風(fēng)險(xiǎn)度量指標(biāo)。

因此，以CTE代替VaR作為約束條件，是具有積極意義的。本文的目的就是完成這一任務(wù)，并從中得到一些有用的結(jié)論。本文的貢獻(xiàn)和創(chuàng)新主要有以下兩個(gè)方面：第一，本文將CTE引入了最優(yōu)保險(xiǎn)合同的研究領(lǐng)域。盡管CTE的性質(zhì)優(yōu)于VaR，但是其計(jì)算也更加復(fù)雜。在優(yōu)化的過程中，本文采用了大量的分情況討論，用以代替復(fù)雜的數(shù)學(xué)計(jì)算。第二，本文將免賠額保險(xiǎn)同賠款上限保險(xiǎn)結(jié)合在一起考慮，過程更加一般化。之前的研究不允許保險(xiǎn)合同中同時(shí)具有免賠額和賠款上限，將其視為兩種保險(xiǎn)合同。本文稱這種同時(shí)具有免賠額和賠款上限的保險(xiǎn)合同為一般保險(xiǎn)合同，實(shí)際上免賠額保險(xiǎn)是一般保險(xiǎn)的一種特殊形式。

本文假設(shè)保費(fèi)為比例保費(fèi)，是損失期望的一定比例。在這一假設(shè)條件下，本文發(fā)現(xiàn)免賠額保險(xiǎn)總是最優(yōu)的保險(xiǎn)方式。本文對(duì)CTE限定下最優(yōu)保險(xiǎn)合同的研究只是初探，該方面的研究還遠(yuǎn)未完成，有很多可以繼續(xù)進(jìn)行的地方，譬如采用其他形式的保費(fèi)、引入效應(yīng)函數(shù)等等。希望有更多的學(xué)者投入到該領(lǐng)域的研究中。

1 模型的構(gòu)建

1.1 風(fēng)險(xiǎn)度量指標(biāo)

最優(yōu)保險(xiǎn)合同的計(jì)算是在一定的約束條件下進(jìn)行的，而約束條件的目的是將投保人的風(fēng)險(xiǎn)控制在一定程度內(nèi)，因此，首先要確定一個(gè)合適的風(fēng)險(xiǎn)度量指標(biāo)。盡管VaR也是一個(gè)被廣泛使用的風(fēng)險(xiǎn)度量指標(biāo)，但是相關(guān)研究證明CTE更加優(yōu)秀。一致性是對(duì)風(fēng)險(xiǎn)度量指標(biāo)非常重要的一個(gè)性質(zhì)，Artzner（1999）、Pflug（2000）證明 CTE 具有一致性的性質(zhì)，而VaR則不具有該性質(zhì)。Bucay、Rosen（1999）較早的將CTE用于信用風(fēng)險(xiǎn)的度量中。隨后，更多的學(xué)者將其用于優(yōu)化問題，如 Uryasev（2000、2002），Jun Cai、Ken Seng Tan（2007）等。

如果是一個(gè)連續(xù)型隨機(jī)變量，VaRα(X)是滿足式的唯一解：

CTE通常通過F式來計(jì)算：

通常情況下，α的取值小于5%。但是當(dāng)VaRα(X)值附件存在概率質(zhì)量的話，也就是說如果存在ε>0，使得VaRα(X)=VaRα-β，式（1）和式（2）的計(jì)算方法就不再適用。 此時(shí)，應(yīng)該調(diào)整為：

設(shè) β=min{γ∶VaRγ(X)=VaRα(X)}，有：1.2 假設(shè)條件

假設(shè)投保人最初的財(cái)富值為W0，其面對(duì)的風(fēng)險(xiǎn)所造成的損失為X，X是一個(gè) [0，T]內(nèi)分布的非負(fù)的連續(xù)型隨機(jī)變量，密度函數(shù)為f(x)，分布函數(shù)為F(x)。為了管理風(fēng)險(xiǎn)，投保人選擇了購買保險(xiǎn)。當(dāng)損失為x時(shí)，保險(xiǎn)合同補(bǔ)償?shù)慕痤~為I(x)，0≤I(x)≤x。保費(fèi)為P，是保險(xiǎn)人補(bǔ)償金額的期望值的一定比例，P=λE[I(X)]。購買保險(xiǎn)后，投保人的財(cái)富變?yōu)閃0-P；發(fā)生損失后，投保人的財(cái)富變?yōu)閃0-P-X+I(X)。因此，購買保險(xiǎn)后，投保人可能的損失為(W0-P)-[W0-P-X+I(X)]=X-I(X)?，F(xiàn)在將R(X)=X-I(X)定義為投保人的自留風(fēng)險(xiǎn)。由于X是一個(gè)隨機(jī)變量，因此R(X)也是一個(gè)隨機(jī)變量。投保人希望將自留風(fēng)險(xiǎn)控制在可接受的范圍內(nèi)，即約束條件為CTEα[R(X)]≤N。其中，1-α是置信區(qū)間，N代表投保人可以承受的風(fēng)險(xiǎn)。1.3 最優(yōu)保險(xiǎn)合同問題

本文構(gòu)建的最優(yōu)保險(xiǎn)合同的模型，是在保證一定的安全程度下，使得保費(fèi)最小，具體表示為：在CTEα[R(X)]≤N的約束條件下，最小化P。如果要使得自留風(fēng)險(xiǎn)更小，也就是使CTEα[R(X)]更小，投保人需要購買更多的保險(xiǎn)。因此，要使得保費(fèi)最小，原約束條件等同于CTEα[R(X)]=N。再來看P，因?yàn)镻=λE[I(X)]，而λ是一個(gè)固定的值，因此最小化的目標(biāo)可以變?yōu)镋[I（X）]。因此，本文需要解決的問題是在滿足CTEα[R(X)]=N的約束條件下，選擇一定的保險(xiǎn)合同，使得E[I（X）]最小。

本文比較的是兩種最重要的保險(xiǎn)合同：一般保險(xiǎn)合同和比例保險(xiǎn)合同。首先，本文通過對(duì)不同的免賠額和賠款上限的討論，選擇一般保險(xiǎn)合同中的最優(yōu)形式；然后，本文將最優(yōu)的一般保險(xiǎn)合同與比例保險(xiǎn)合同進(jìn)行比較，最終選出一個(gè)最優(yōu)保險(xiǎn)合同。

2 一般保險(xiǎn)合同

2.1 一般保險(xiǎn)合同的形式

之前的研究都是將具有免賠額的保險(xiǎn)與具有賠款上限的保險(xiǎn)區(qū)分開，如 Wang（2005）、Hung-Hsi Huang（2006）等。實(shí)際上，投保人在保險(xiǎn)合同中可以同時(shí)選擇免賠額和賠款上限，這樣投保的風(fēng)險(xiǎn)較少，需繳納的保費(fèi)也相應(yīng)較少。當(dāng)一般保險(xiǎn)合同中免賠額為0時(shí)，一般保險(xiǎn)合同就變?yōu)橘r款上限保險(xiǎn)；當(dāng)一般保險(xiǎn)合同中賠款上限為損失最大值時(shí)，一般保險(xiǎn)合同就變?yōu)槊赓r額的保險(xiǎn)。可見，一般保險(xiǎn)合同是一種更一般的保險(xiǎn)合同。

設(shè)一般保險(xiǎn)合同中，免賠額為a，賠款上限為b，0≤a≤b≤T。發(fā)生損失后，保險(xiǎn)公司對(duì)投保人的賠付為：

因此，投保人的自留風(fēng)險(xiǎn)為：

由式（6）可知，R（x）是一個(gè)關(guān)于 x的非遞減函數(shù)，不難證明 VaRα[R(X)]=R[VaRα(X)]

2.2 對(duì)免賠額及賠款上限的討論

直接研究CTE約束下最優(yōu)一般保險(xiǎn)合同的問題會(huì)非常復(fù)雜，這里首先探討免賠額、賠款上限和VaRα(X)在不同位置關(guān)系下的最優(yōu)一般保險(xiǎn)合同，為后文的分析做準(zhǔn)備工作，現(xiàn)在分三種情況對(duì)免賠額及賠款上限進(jìn)行討論：

2.2.1 b≤VaRα(X)

這種情況下，R(x)與x的關(guān)系如圖1所示。曲線R(x)交x于D點(diǎn)，設(shè)D點(diǎn)縱坐標(biāo)為d。此時(shí)，最優(yōu)問題的約束條件為：

根據(jù)圖 1，不難得出 VaRα(X)=d+(b-a)。 由式（7）可知，當(dāng)N確定后，d也是確定的，由于VaRα(X)也是確定的，因此，免賠額和賠款上限的選擇要滿足b-a=VaRα(X)-d。此時(shí)，a是關(guān)于b的函數(shù)，并且滿足da/db=1?，F(xiàn)在的目標(biāo)是使式（8）最小化。

將式（8）相對(duì)b進(jìn)行求導(dǎo)，并代入da/db=1，得到：

圖1 投保人的自留風(fēng)險(xiǎn)（實(shí)線部分）

很明顯式小于0。因此，式（8）是關(guān)于b的減函數(shù)。當(dāng)b=VaRα(X)時(shí)，式(8)取得最小值。

結(jié)論一：b≤VaRα(X)時(shí)，最優(yōu)的保險(xiǎn)合同形式是賠款上限等于 VaRα(X)。

2.2.2 a＜VaRα(X)＜b這種情況下，約束條件可以寫為：

最小化的目標(biāo)是：

由式（10）可知，此時(shí)a是關(guān)于b的函數(shù)。將式(10)兩邊關(guān)于b求導(dǎo)，可以得到da/db的值。將式（11）對(duì)b進(jìn)行求導(dǎo)，并代入由式得到的da/db的值，有：

將式（12）繼續(xù)對(duì)b進(jìn)行求導(dǎo)，得到：

因?yàn)?a＜Varα(X)，所以當(dāng) b=T 時(shí)，式（12）等于0，式（13）大于 0。 因此，式（11）在 b=T 時(shí)取最小值。

結(jié)論二：a＜VaRα(X)＜b 時(shí)，最優(yōu)的保險(xiǎn)合同形式是免賠額保險(xiǎn)。

2.2.3 VaRα(X)≤a

在這種情況下，約束條件可以寫作：

最小化的目標(biāo)是：

將式（14）代入式（15），不難發(fā)現(xiàn)式（15）是一個(gè)固定的值。也就是說，在滿足約束條件的情況下，免賠額和最高限額的選擇并不影響保險(xiǎn)合同的保費(fèi)。此時(shí)，本文將b=T作為最優(yōu)解也是可以的。

結(jié)論三：VaRα(X)≤a時(shí)，最優(yōu)的保險(xiǎn)合同形式是免賠額保險(xiǎn)。

2.3 最優(yōu)的一般保險(xiǎn)合同

根據(jù)上文的分析，在免賠額、賠款上限與VaRα(X)的三種位置關(guān)系中，有兩種最優(yōu)保險(xiǎn)合同的形式：賠款上限等于VaRα(X)的一般保險(xiǎn)合同與免賠額保險(xiǎn)合同。但是上文并沒有考慮到值的影響，現(xiàn)在考慮值給定的情況下，如何選擇在上述兩種一般保險(xiǎn)合同中選擇一種最優(yōu)形式。

當(dāng)賠款上限為VaRα(X)時(shí)，如果免賠額為0，可以得到：

這是最復(fù)雜的一種情況，在這種情況下，賠款上限為VaRα(X)的一般保險(xiǎn)合同和免賠額保險(xiǎn)合同都是可能的。這里需要比較的是在滿足約束條件的情況下，哪種保險(xiǎn)合同更加節(jié)省保費(fèi)。但是，現(xiàn)在仍然不能對(duì)兩種保險(xiǎn)合同進(jìn)行直接比較，因?yàn)槊赓r額保險(xiǎn)的免賠額小于VaRα(X)時(shí)和免賠額大于VaRα(X)時(shí)，自留風(fēng)險(xiǎn)的CTE的計(jì)算公式不同，需要進(jìn)一步分情況討論。設(shè)一般保險(xiǎn)合同中的免賠額為a，賠款上限為VaRα(X)；設(shè)免賠額保險(xiǎn)合同中的免賠額為c。當(dāng)免賠額保險(xiǎn)合同中的免賠額等于VaRα(X)時(shí)，有：

這種情況下，滿足條件的免賠額保險(xiǎn)合同中的免賠額要大于VaRα(X)。兩種保險(xiǎn)合同的約束條件為：

兩種保險(xiǎn)合同的保費(fèi)差為：

不難發(fā)現(xiàn)式（19）是一個(gè)關(guān)于c遞減的函數(shù)，當(dāng)c=T時(shí)取得最小值。當(dāng)c=T時(shí)，式（19）等于0。這說明，式（19）是大于等于0的，也就是說，N在這個(gè)區(qū)間內(nèi)無論取什么值，免賠額保險(xiǎn)合同的保費(fèi)更低。

第一個(gè)區(qū)間：

此時(shí)，免賠額保險(xiǎn)合同中的免賠額都要大于VaRα(X)，計(jì)算的過程同情況（1）相同。免賠額保險(xiǎn)合同的保費(fèi)更低。

第二個(gè)區(qū)間：

如果N屬于這個(gè)區(qū)間，說明免賠額保險(xiǎn)合同中的免賠額小于等于VaRα(X)。兩種保險(xiǎn)合同的約束條件為：

兩種保險(xiǎn)合同的保費(fèi)差為：

不難說明當(dāng) c=VaRα(x)時(shí)，式（21）取最小值，但是仍然大于0。因此，式（21）大于0。說明這種情況下，N在這個(gè)區(qū)間內(nèi)無論取什么值，免賠額保險(xiǎn)合同更加節(jié)省保費(fèi)。

綜合以上幾種情況，可以得出的結(jié)論是：在CTE的約束下，在一般保險(xiǎn)合同中，沒有上限的免賠額保險(xiǎn)合同是最優(yōu)的。

3 比例保險(xiǎn)合同

上文主要分析了最優(yōu)的一般保險(xiǎn)合同，這里將免賠額保險(xiǎn)合同與比例保險(xiǎn)合同進(jìn)行比較，研究在CTE的約束條件下，哪種保險(xiǎn)合同更加節(jié)省保費(fèi)。比例保險(xiǎn)合同，即將風(fēng)險(xiǎn)的一部分進(jìn)行投保。當(dāng)發(fā)生的損失為X時(shí)，保險(xiǎn)公司的賠付額為θX，θ為保險(xiǎn)比例。因此，在比例保險(xiǎn)合同下，投保人的自留風(fēng)險(xiǎn)為(1-θ)X。設(shè)免賠額保險(xiǎn)合同中的免賠額為c。下面根據(jù)N的不同分情況討論。

在這種情況下，免賠額保險(xiǎn)合同中的免賠額小于等于VaRα(X)。免賠額保險(xiǎn)與比例保險(xiǎn)的約束條件為：

在滿足上面的約束條件下，兩種保險(xiǎn)的保費(fèi)差為：

整理式（22），可得：

假設(shè)在規(guī)定的區(qū)間內(nèi)可以隨意變動(dòng)，可以將式（23）看作一個(gè)關(guān)于N的函數(shù)G（N），對(duì)G（N）關(guān)于N求導(dǎo)，得到：

將式（24）、（25）代入式（26），進(jìn)行整理，得到：

可以證明，G'(N)是一個(gè)關(guān)于遞增的函數(shù)，G'(0)＜0，G'(VaR(x))>0。這說明從N=0開始，G（N）開始遞減，到達(dá)一個(gè)最小值后，G（N）開始遞增，一直增到 N=VaRα(x)。

當(dāng)N=0時(shí)，c=0，θ=1，也就是投保人全額投保，不自留任何風(fēng)險(xiǎn)，此時(shí) G(N)=0。 當(dāng) N=VaRα(X)時(shí)，有：

不難證明，式（28）小于0。由以上分析，可以得出結(jié)論：在此區(qū)間內(nèi)，G（N）＜0，也就是說，N在這個(gè)區(qū)間內(nèi)無論取什么值，免賠額保險(xiǎn)都更加節(jié)省保費(fèi)。

這種情況下，免賠額保險(xiǎn)中的免賠額大于VaRα(X)，此時(shí)，兩種保險(xiǎn)的約束條件為：

設(shè)兩種保險(xiǎn)的保費(fèi)差是免賠額的函數(shù)：

假設(shè)N在規(guī)定的區(qū)間內(nèi)可以隨意變動(dòng)，由式（29）左邊的等式可知，當(dāng)N取不同值時(shí)，θ時(shí)關(guān)于c的函數(shù)。將等式兩邊對(duì)c求導(dǎo)，得到：

將式（30）對(duì)c求導(dǎo)，并將式（31）代入，整理后可以得到：

c≠T時(shí)，式(32)明顯大于 0，因此 G(c)是關(guān)于 c的增函數(shù)。當(dāng)c=T時(shí)，說明投保人自己可以承受所有風(fēng)險(xiǎn)，不需要購買保險(xiǎn)，此時(shí)G(VaRα(X))=0。根據(jù)以上分析可知，在這個(gè)區(qū)間內(nèi)，G(c)＜0，也就是說，N在這個(gè)區(qū)間內(nèi)無論取什么值，免賠額保險(xiǎn)都更加節(jié)省保費(fèi)。

綜合以上分析，可以得出結(jié)論：在CTE的約束條件下，免賠額保險(xiǎn)優(yōu)于比例保險(xiǎn)。

4 結(jié)論

本文的目的是將投保人的自留風(fēng)險(xiǎn)控制在一定水平下，選擇一種最節(jié)省保費(fèi)的保險(xiǎn)合同。通過對(duì)多種情況分別進(jìn)行的討論，本文得出的結(jié)論是：在CTE的約束條件下，最優(yōu)保險(xiǎn)合同的形式是免賠額保險(xiǎn)。如果仔細(xì)思考，這一結(jié)論是合理的。CTE只考慮在一定損失水平之上的平均損失，也就是極端情況的平均損失，而不考慮那些發(fā)生概率比較大但是金額很低的損失。在比例保費(fèi)的情況下，所有風(fēng)險(xiǎn)都有相同的價(jià)格。因此，合理的作法是為發(fā)生概率較小但是損失金額很大的那部分風(fēng)險(xiǎn)進(jìn)行投保，而對(duì)那些發(fā)生概率比較大但是金額很低的損失則不投保。這樣，既保證CTE處于一個(gè)比較小的水平，又可以有效的降低保費(fèi)。因此，在CTE的約束條件下，免賠額保險(xiǎn)應(yīng)該是投保人的最優(yōu)選擇。這對(duì)實(shí)際生活中企業(yè)或個(gè)人的風(fēng)險(xiǎn)管理具有重要的指導(dǎo)意義：投保人在購買保險(xiǎn)時(shí)，首先要確定自身的風(fēng)險(xiǎn)承受能力，確定自留風(fēng)險(xiǎn)的大小，然后購買相應(yīng)的免賠額保險(xiǎn)。這樣，既可以保證將自留風(fēng)險(xiǎn)維持在可承受范圍內(nèi)，又可以使得保費(fèi)支出最小化。

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