蘭州理工大學(xué)電氣工程與信息工程學(xué)院（甘肅 蘭州730050）李 煒 蔣棟年

1 引言

網(wǎng)絡(luò)化控制系統(tǒng)（Networked Control System，NCS）是通過(guò)一個(gè)實(shí)時(shí)網(wǎng)絡(luò)構(gòu)成的閉環(huán)控制系統(tǒng)。與傳統(tǒng)意義上點(diǎn)到點(diǎn)連接的控制系統(tǒng)相比，NCS具有連線(xiàn)少，成本低，資源共享，便于系統(tǒng)安裝、維護(hù)、擴(kuò)展和故障診斷等優(yōu)點(diǎn)[1-2]。然而，由于網(wǎng)絡(luò)的引入也衍生出諸如數(shù)據(jù)傳輸時(shí)延、丟包、異步采樣、多包傳輸、時(shí)序錯(cuò)亂以及網(wǎng)絡(luò)調(diào)度等新問(wèn)題[3]。此外，NCS不僅規(guī)模更加龐大、結(jié)構(gòu)復(fù)雜，而且不確定因素眾多，一旦發(fā)生故障，損失將難以估量，因此使NCS具有容錯(cuò)能力已成為現(xiàn)代網(wǎng)絡(luò)化控制系統(tǒng)的本征性能所求[4]。近年來(lái)NCS的容錯(cuò)研究越來(lái)越受到廣泛的關(guān)注[5-7]，但是目前的研究大多數(shù)限于線(xiàn)性系統(tǒng)，非線(xiàn)性系統(tǒng)的研究則一般采用T-S模糊模型[8，9]。T-S模糊模型[10]是將線(xiàn)性系統(tǒng)理論與模糊理論相結(jié)合來(lái)解決非線(xiàn)性系統(tǒng)問(wèn)題的方法，通過(guò)IF-THEN規(guī)則將復(fù)雜的系統(tǒng)用若干局部的線(xiàn)性模型來(lái)表示，再以局部模型的綜合來(lái)完成全局模型的構(gòu)造。

本文針對(duì)線(xiàn)性連續(xù)網(wǎng)絡(luò)化控制系統(tǒng)，基于時(shí)延準(zhǔn)T-S模型，考慮系統(tǒng)參數(shù)不確定性的影響，在傳感器發(fā)生失效故障時(shí)，通過(guò)構(gòu)造時(shí)延概率分布相關(guān)的Lyapunov泛函，給出了系統(tǒng)具有魯棒完整性的充分條件，并通過(guò)求解LMIs得到了魯棒容錯(cuò)控制器。

2 系統(tǒng)描述

2.1 網(wǎng)絡(luò)化控制系統(tǒng)的T-S模型

考慮線(xiàn)性被控對(duì)象

式中：x(t)∈Rn，u(t)∈Rm分別為被控對(duì)象狀態(tài)變量和控制向量，系數(shù)矩陣 A，B，C具有適當(dāng)?shù)木S數(shù)。根據(jù)文獻(xiàn)[11]，假設(shè)傳感器和執(zhí)行器均由時(shí)鐘驅(qū)動(dòng)，設(shè) h為采樣周期，由離散化式(1)可以得到 kh時(shí)刻的網(wǎng)絡(luò)控制系統(tǒng)的局部模型

其中：執(zhí)行器的 kh時(shí)刻采樣的數(shù)據(jù)包的網(wǎng)絡(luò)時(shí)延為 τk(k∈N)個(gè)周期，且

假設(shè)maxτk=n(n∈N)，且數(shù)據(jù)包按照發(fā)送順序到達(dá)控制器和執(zhí)行器，那么 τk+1只決定于 τk，而與 τ1，τ2，…，τk-1無(wú)關(guān)，即{τ1，τ1，…τk，…}構(gòu)成一個(gè)馬爾可夫鏈?？紤]到網(wǎng)絡(luò)時(shí)延 τk的隨機(jī)性，設(shè) k時(shí)刻網(wǎng)絡(luò)時(shí)延概率分布為 μ(k)=[μ1(k)，μ2(k)，…，μn(k)]，其中 μi(k)=P(τk=i)。若 T=[pij](i，j∈{1，2，…，n})為馬爾可夫時(shí)延概率轉(zhuǎn)移矩陣，初始值 μ(0)已知，則 μ(k+1)=μ(k)T，則可根據(jù) T和 μ(0)來(lái)求得 k時(shí)刻的模型概率分布 μ(k)。

將具有 τk=i時(shí)的模型視為一個(gè)子系統(tǒng)，隨機(jī)變量 τk的概率分布作為隸屬度函數(shù)，若對(duì)各子系統(tǒng)使用相同的狀態(tài)反饋控制律，模糊規(guī)則可以如下方式給出

THEN網(wǎng)絡(luò)控制系統(tǒng)局部模型為

應(yīng)用并行分布補(bǔ)償（PDC）方法，網(wǎng)絡(luò)控制系統(tǒng)的全局模型可表示為

由式(3)可以得到網(wǎng)絡(luò)化控制系統(tǒng)的時(shí)延準(zhǔn)T-S閉環(huán)模型為

在實(shí)際的網(wǎng)絡(luò)化控制系統(tǒng)，由于環(huán)境的變化、元器件的老化、網(wǎng)絡(luò)指標(biāo)的精確度等原因，系統(tǒng)往往具有不確定性，考慮具有參數(shù)不確定性的系統(tǒng)

其中ΔA和ΔB是范數(shù)有界的，由(3)，(4)可得不確定網(wǎng)絡(luò)化控制系統(tǒng)的閉環(huán)模型為

引理3[14]給定矩陣 Z1，Z2和 Z3，若

2.2 引理

引理1[12]對(duì)任意的變量 v1，v2和矩陣 M和正定對(duì)稱(chēng)矩陣 N，由(Mv1-Nv2)TN-1(Mv1-Nv2)≥0可得

引理2[13](schur補(bǔ)引理)若已知3個(gè)矩陣Z3則，當(dāng)且僅當(dāng)，當(dāng)且僅當(dāng)，對(duì)于

3 主要結(jié)果

執(zhí)行器失效故障時(shí)NCS魯棒容錯(cuò)控制：

考慮傳感器可能發(fā)生失效故障的情形，引入開(kāi)關(guān)矩陣 F，并把它放在反饋增益陣和狀態(tài)之間，其形式為

F∈Φ，Φ為傳感器開(kāi)關(guān)矩陣 F的對(duì)角元素任取0或1的各種組合的對(duì)角陣集合（除 F=0外），表示所有可能的傳感器失效故障模式的集合。則網(wǎng)絡(luò)化閉環(huán)故障系統(tǒng)模型為

魯棒容錯(cuò)控制的設(shè)計(jì)目標(biāo)為：尋求狀態(tài)反饋增益陣K，使得不確定網(wǎng)絡(luò)化閉環(huán)故障系統(tǒng)對(duì)任意 F∈Φ均保持漸近穩(wěn)定。

定理1對(duì)于任意可能的傳感器失效故障模式 F∈Φ和系統(tǒng)允許的不確定性，給定正定對(duì)稱(chēng)矩陣 R以及正常數(shù) α，β，若存在正定矩陣 X，滿(mǎn)足

則系統(tǒng)(6)對(duì)傳感器失效故障具有魯棒完整性?？刂破髟鲆婢仃嚰礊?K。

證明：考慮閉環(huán)系統(tǒng)(6)構(gòu)造離散Lyapunov-Krasovskii泛函

由引理1可得

則ΔV(k)＜0，即系統(tǒng)(6)是漸近穩(wěn)定的。

對(duì)(9)，(10)分別左乘和右乘 P-1，并定義 X=P-1，則有

注：定理1中所得到的條件不是嚴(yán)格的LMI條件，使得式(14)成為非凸問(wèn)題，不能直接采用LMI求解的方法求解。

求解該非線(xiàn)性?xún)?yōu)化問(wèn)題的步驟如下

Step1：選取 P-1=λI，其中 λ＞0為充分大的常量，設(shè) s=1；

Step2：使用Step1中選取的 P-1求解LMI(7)，(8)；

Step3：令 P-1=X，重新求解 LMI(7)，(8).s=s+1；

Step4:判斷條件：若|δs- δs-1|＜ξ，或|γs- γs-1|＜ξ，停止；否則，返回Step2。其中 ξ為預(yù)先選定的充分小量。

4 仿真實(shí)例

考慮網(wǎng)絡(luò)化控制系統(tǒng)(4)，(5)采用如下的模型數(shù)據(jù)

設(shè)采樣周期為 h=0.1s，并假設(shè) maxτk=3，μ(0)=[0.3，0.4，0.3]，65 個(gè)周期后，μ(65)=[0.2308，0.4615，0.3077]，則 T-S 網(wǎng)絡(luò)化控制系統(tǒng)的全局模型如下

針對(duì)傳感器正常和各種失效故障情形，其中：F0=diag(1，1)表示傳感器正常情況，F(xiàn)1=diag(0，1)和 F2=diag(1，0)分別表示傳感器1，2發(fā)生完全失效故障。根據(jù)定理1，取 α=1，β=1求解線(xiàn)性矩陣不等式組LMIs，可得

假設(shè)系統(tǒng)的初始條件為 x(0)=[3，3]T，在傳感器發(fā)生 F1和F2故障情形下，其狀態(tài) x1，x2的零輸入響應(yīng)如圖1，圖2所示。

由仿真結(jié)果可以看出，NCS在發(fā)生傳感器失效故障時(shí)仍是漸近穩(wěn)定的，說(shuō)明文中所述方法對(duì)于具有馬爾可夫特性時(shí)延的影響，不確定網(wǎng)絡(luò)控制系統(tǒng)在傳感器失效故障時(shí)具有魯棒完整性。

5 結(jié)論

本文以具有馬爾可夫特性時(shí)延的網(wǎng)絡(luò)化線(xiàn)性控制系統(tǒng)為研究對(duì)象，基于時(shí)延準(zhǔn)T-S模型，考慮系統(tǒng)參數(shù)不確定性的影響，采用狀態(tài)反饋控制律，在構(gòu)造Lyapunov-Krasovskii泛函時(shí)引入了時(shí)延概率分布因子，推證出了保證參數(shù)不確定網(wǎng)絡(luò)化控制系統(tǒng)在傳感器發(fā)生失效故障時(shí)仍漸近穩(wěn)定的充分條件，并以求解LMIs給出魯棒容錯(cuò)控制器的設(shè)計(jì)方法。最后通過(guò)仿真驗(yàn)證了文中所述方法的可行性和有效性。

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