何松年，孟記麗

（中國(guó)民航大學(xué)理學(xué)院，天津 300300）

q-一致光滑Banach空間中的嚴(yán)格偽壓縮映像

何松年，孟記麗

（中國(guó)民航大學(xué)理學(xué)院，天津 300300）

提出一種不用投影算子的修正的Mann迭代的循環(huán)算法，用于逼近q-一致光滑的Banach空間中有限個(gè)嚴(yán)格偽壓縮映像的公共不動(dòng)點(diǎn)，并證明了算法的強(qiáng)收斂性。本結(jié)論推廣了Kim等和Zhang等關(guān)于非擴(kuò)張映像的相應(yīng)結(jié)果。

循環(huán)算法；強(qiáng)收斂；q-一致光滑；嚴(yán)格偽壓縮映像；修正的Mann迭代；公共不動(dòng)點(diǎn)

假設(shè)X是一個(gè)實(shí)Banach空間，C是X的非空閉凸子集，T∶C→C是一非線(xiàn)性算子，其不動(dòng)點(diǎn)集為Fix（T）={x∈C∶Tx=x}。對(duì)于本文所涉及的非線(xiàn)性算子，將恒設(shè)其不動(dòng)點(diǎn)集非空。

如果對(duì)于一切x，y∈C都有‖Tx-Ty‖≤‖x-y‖，則稱(chēng)T為一非擴(kuò)張映像。有許多算法可用于逼近非擴(kuò)張映像T的不動(dòng)點(diǎn)（如文獻(xiàn)[1—7]），如下Mann迭代格式即為常用算法之一

其中初始點(diǎn) x0∈C 任意取定，{αn}?[0，1]。但是，Genel[8]等證明，Mann迭代序列一般只有弱收斂性。

為了克服Mann迭代的上述缺點(diǎn)，當(dāng)X為一實(shí)的Hilbert空間 H 時(shí)，Nakajo[9]等提出了格式（1）的修正方法

其中{αn}?[0，1]，PK表示從H 到其閉凸子集 K 上的度量投影。其證明了在適當(dāng)條件下，由格式（2）產(chǎn)生的序列{xn}強(qiáng)收斂于 PFix（T）（x0）。然而，格式（2）僅在 Hilbert空間中才有效，并且每一步迭代都涉及到投影算子的計(jì)算問(wèn)題，不僅計(jì)算量大，而且算法不易實(shí)現(xiàn)[10-11]。

為使算法容易實(shí)現(xiàn)，且在Banach空間也有效，Kim[12]等提出了一種Mann迭代的修正方法

其中：u∈C為一任意取定的元素。Kim[12]等證明了在適當(dāng)條件下，按格式（3）產(chǎn)生的迭代序列{xn}∞n=0強(qiáng)收斂到T的一個(gè)不動(dòng)點(diǎn)。

Zhang[13]等進(jìn)一步推廣了格式（3），用于逼近更一般的映像——嚴(yán)格偽壓縮映像的公共不動(dòng)點(diǎn)，其提出了如下修正Mann迭代的算法其證明了在適當(dāng)條件下，按照格式（4）產(chǎn)生的{xn}強(qiáng)收斂到的一個(gè)公共不動(dòng)點(diǎn)z。

受格式（3）和格式（4）的啟發(fā)，本文提出一種不用投影算子的修正的Mann迭代的循環(huán)算法（見(jiàn)格式（10）），用于逼近q-一致光滑的Banach空間中有限個(gè)嚴(yán)格偽壓縮映像的公共不動(dòng)點(diǎn)。雖然格式（10）和格式（4）都是用于逼近嚴(yán)格偽壓縮映像的公共不動(dòng)點(diǎn)，但格式（4）每迭代一次需要同時(shí)計(jì)算N個(gè)算子T0、T1、…、TN-1，而格式（10）每迭代一次只需計(jì)算T0、T1、…、TN-1中的一個(gè)算子，因此，格式（10）比格式（4）需要的計(jì)算量較小。將證明在適當(dāng)條件下，按照格式（10）產(chǎn)生的強(qiáng)收斂到Fix（T）i中的某一個(gè)點(diǎn)。

1 預(yù)備知識(shí)和引理

首先回顧光滑模的定義。假設(shè)X是一個(gè)實(shí)Banach空間，令

假設(shè)X是一個(gè)實(shí)Banach空間，X*是X的對(duì)偶空間，C?X，實(shí)數(shù) q＞1，廣義對(duì)偶映像 Jq∶X→2X*按如下方式定義

將用jq（x）表示Jq（x）中某個(gè)元素，當(dāng)Jq（x）為獨(dú)點(diǎn)集時(shí)，則用Jq（x）本身表示其中的唯一元素。特別地，當(dāng)q=2時(shí)，J2（x）即為正規(guī)對(duì)偶映像，并簡(jiǎn)記為J（x）。

引理1 假設(shè)X是實(shí)的q-一致光滑的Banach空間，那么存在一常數(shù)Cq＞0，成立[14]

特別地，如果X是2-一致光滑的Banach空間，那么存在一個(gè)最佳常數(shù)K＞0，成立

假設(shè)X是一個(gè)實(shí)Banach空間，C?X，T∶C→C，如果存在一個(gè)常數(shù)λ＞0使得對(duì)于任意的x，y∈C和某個(gè)jq（x-y）∈Jq（x-y）都有成立，那么稱(chēng)T為一λ-嚴(yán)格偽壓縮映像。

假設(shè)X是一個(gè)實(shí)Hilbert空間，C是X的一個(gè)非空閉凸子集，T∶C→C，如果存在一個(gè)常數(shù)κ，滿(mǎn)足0≤κ＜1，使得對(duì)于所有x，y∈C都有

成立，則T被稱(chēng)為κ-嚴(yán)格偽壓縮映像。

Reich[15]已經(jīng)證明了如果X是一致光滑的且D是非擴(kuò)張映像T∶C→C的不動(dòng)點(diǎn)集合，那么存在一個(gè)C→D的太陽(yáng)非擴(kuò)張保核收縮，并且太陽(yáng)非擴(kuò)張保核收縮是構(gòu)造性的。

引理4 假設(shè)X是一致光滑的Banach空間，C?X 非空閉凸，Ti∶C→C（i=1，2）為非擴(kuò)張映像，且 Fix（T1）=Fix（T2）≠，引理3中與Ti（i=1，2）相應(yīng)的唯一太陽(yáng)非擴(kuò)張保核收縮分別記作Qi（i=1，2），則Q1=Q2。

證明 由引理3可知，成立

根據(jù)J之奇性性質(zhì)，由式（8）可得

式（7）和式（9）相加，得到

于是有‖Q2u-Q1u‖2≤0，即 Q2u=Q1u（?u∈C），亦即Q1=Q2。

引理5 一個(gè)Banach空間X是一致光滑的，當(dāng)且僅當(dāng)正規(guī)對(duì)偶映像J是單值的，且在X的有界子集上為范數(shù)到范數(shù)一致連續(xù)的映像[16]。

引理6 在Banach空間X中，成立不等式

2 主要結(jié)果

另一方面，容易驗(yàn)證

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Strict Pseudo-Contractions in q-Uniformly Banach Spaces

HE Song-nian，MENG Ji-li
（College of Science， CAUC， Tianjin 300300， China）

We propose a cyclic algorithm which modify the Mann type iterations without metric projections for approximating the common fixed points of finite strict pseudo-contractions in a q-uniformly smooth Banach space.Strong convergence is proved.Our result extends the corresponding rusults announced by Kim etc and Zhang etc.

cyclic algorithm；strong convergence；q-uniformly smooth；strict pseudo-contraction；modified Mann iteration；common fixed point

O177.91；O241.7

A

1674－5590（2010）04－0051－05

2009-12-23；

2010-03-22 基金項(xiàng)目：中央高校基本科研業(yè)務(wù)費(fèi)專(zhuān)項(xiàng)資助項(xiàng)目（GRANT：ZXH2009D021）

何松年（1963—），男，山西太原人，教授，博士，研究方向?yàn)榉蔷€(xiàn)性問(wèn)題數(shù)值方法.

（責(zé)任編輯：楊媛媛）