田 明，邸蘭云

（中國民航大學(xué)理學(xué)院，天津 300300）

Hilbert空間中嚴(yán)格偽壓縮映像的強(qiáng)收斂定理

田 明，邸蘭云

（中國民航大學(xué)理學(xué)院，天津 300300）

給出了一種求解嚴(yán)格偽壓縮非自身映像不動(dòng)點(diǎn)集上變分不等式的迭代算法，并證明了其強(qiáng)收斂性。此結(jié)果推廣了姚永紅和T.H.Kim等的研究結(jié)果。最后，進(jìn)一步將結(jié)論推廣到求解有限個(gè)嚴(yán)格偽壓縮非自身映像公共不動(dòng)點(diǎn)集上的變分不等式。

嚴(yán)格偽壓縮映像；非擴(kuò)張映像；強(qiáng)正線性有界算子；不動(dòng)點(diǎn)；Hilbert空間

一些學(xué)者研究了非擴(kuò)張映像的多種迭代算法以解決凸優(yōu)化問題[1-3]，下面回顧一類特殊函數(shù)最優(yōu)化問題的解決方法。

其中C是非擴(kuò)張映像T的不動(dòng)點(diǎn)集，任意取定μ∈H。A是強(qiáng)正線性有界算子，即存在正常數(shù)γ＞0，使得

T∶K→H是非擴(kuò)張映像，如果‖Tx-Ty‖≤‖x-y‖，x，y∈K，其中K為H的非空子集。F（T）表示T的不動(dòng)點(diǎn)集，即F（T）={x∈H|Tx=x}。由迭代格式xn+1=（I- αnA）Txn+ αnμ，n≥0產(chǎn)生的序列{xn}強(qiáng)收斂到最優(yōu)化問題（1）的唯一解[4]。

Marino和徐洪坤證明了用粘滯迭代方法

產(chǎn)生的序列{xn}強(qiáng)收斂到以下變分不等式的唯一解x*

其中這個(gè)變分不等式是凸優(yōu)化問題

其中h′（x）=γ f（x），x∈H的最優(yōu)化條件[2]。

設(shè)H是Hilbert空間，K是H中非空子集，稱T∶K→H是k-嚴(yán)格偽壓縮映像，如果存在常數(shù)0≤k＜1，使得

易見，當(dāng)k=0時(shí)T是非擴(kuò)張映像，因此，嚴(yán)格偽壓縮映像是比非擴(kuò)張映像更廣泛的一類映像。關(guān)于嚴(yán)格偽壓縮映像的性質(zhì)及其不動(dòng)點(diǎn)迭代算法的研究近期已有不少結(jié)果[5-8]。

Kim和徐洪坤介紹了一種迭代方法

T∶K→K是非擴(kuò)張映像，任取定u∈K，則{xn}逼近非擴(kuò)張映像T的不動(dòng)點(diǎn)[9]。姚永紅[6]、Marino和徐洪坤[2]推廣了Kim和徐洪坤[9]的結(jié)果，周海云[7]進(jìn)一步推廣到T是非自身的嚴(yán)格偽壓縮映像。

最近秦小龍[10]研究了如下迭代方法，產(chǎn)生的序列收斂到變分不等式的解

本文則研究了如下復(fù)合迭代格式

{αn}，{βn}是 [0，1]中實(shí)數(shù)列，在參數(shù){αn}、{βn}滿足一定條件下，證明由式（7）定義的序列{xn}強(qiáng)收斂于變分不等式〈γ f（q）-Aq，p-q〉≤0，?p∈F（T）的解。

我們還將把這一結(jié)果推廣到變分不等式定義域?yàn)橛邢迋€(gè)嚴(yán)格偽壓縮映像公共不動(dòng)點(diǎn)集時(shí)的情形。

注1 PK表示從H到K上的度量投影；

注2 →表示強(qiáng)收斂。

1 預(yù)備知識(shí)

引理1 設(shè)H是Hilbert空間，K是H中非空閉凸子集，T∶K→H是 k-嚴(yán)格偽壓縮映像，則 F（T）是閉凸的，因此 PF(T)是有意義的[7]。

引理2 若T∶K→H是k-嚴(yán)格偽壓縮映像，而且F（T）≠?，則 F（PKT）=F（T）[7]。

引理3 若T∶K→H是k-嚴(yán)格偽壓縮映像，定義S ∶K→H，Sx= λx+（1- λ）Tx（x∈K，λ∈[k，1）），則 S是非擴(kuò)張映像，并且 F（S）=F（T）[11]。

引理4 設(shè)H是Hilbert空間

引理5 設(shè)H是Hilbert空間

引理8 設(shè){αn}是非負(fù)實(shí)數(shù)列，滿足

引理9 設(shè)H是Hilbert空間，K是H中非空閉凸子集，對(duì)?N≥1，Ti∶K→H是ki-嚴(yán)格偽壓縮映像（1≤i≤N），0≤ki＜1，是一個(gè)正實(shí)數(shù)列且滿足是k-嚴(yán)格偽壓縮映像，其中k=max1≤i≤N{ki}[8]。

2 主要結(jié)果

易證文獻(xiàn)[10]中K±K?K等價(jià)于K是H的非空閉子空間。

定理1 設(shè)H是Hilbert空間，K是H的非空閉子空間，T∶K→H 是 k-嚴(yán)格偽壓縮映像，F(xiàn)（T）≠，f∶K→K 是壓縮映像，壓縮系數(shù)為 α，0＜α＜1，A 為強(qiáng)正有界線性算子，且是[0，1]中實(shí)數(shù)列且滿足：

證明 分以下4步證明。

1）證明{xn}、{yn}有界。

由定理1中條件i）不妨假設(shè)αn＜‖A‖-1（n=0，1，2，…），由引理 6 可得‖I- ρA‖≤1- ρ。由于 F（T）≠，任意取定 p∈F（T），則由迭代格式（8）、引理 5 中 ii）以及投影算子的非擴(kuò)張性和T的定義可得

由數(shù)學(xué)歸納法易證

從而{xn}、{yn}有界。

2）證明‖xn+1-xn‖→0（n→∞）。

定義映像Tnx=βnx+（1-βn）PKTx，x∈K，由引理3可知Tn∶K→K是非擴(kuò)張映像，因此式（8）可寫為

于是，由引理6可得

把式（12）代入式（11）可得

其中：M1≥‖xn-Txn‖+γ‖f（xn）‖+‖ATnxn‖，n=0，1，2，…（易證{ATnxn}，{f（xn）}有界），由條件定理1中條件 i）、iii）以及引理 8 可得

由式（10）可得

從而由式（13）以及定理1中條件i）可得

由定理 1 中的條件 ii）、iii）可得 βn→（n→∞），其中∈[k，1），定義 S ∶K→H，Sx=x+（1-）Tx，則 S是非擴(kuò)張映像，且 F（S）=F（T），再由引理 2 可以得F（PKS）=F（S）=F（T）。設(shè)為壓縮映像 x→tγf（x）+（I-tA）PKSx 的不動(dòng)點(diǎn)，其中 t∈（0，‖A‖-1），由引理7可得

3）證明

由式（14）可得

由引理4和引理6可得

其中

由式（16）及{xn}有界，可得

A是強(qiáng)正線性算子，因此

由式（17）和式（19）可得

由式（18）和式（20）可得

所以式（15）成立

4）證明 xn→q（n→∞）。

由引理4以及式（9）可得

由引理8和式（22）可得 xn→q（n→∞），定理得證。

注3 在定理1中取γ=1，A=I推廣了姚永紅[6]的結(jié)果。

注4在定理1中取f（xn）≡u(píng)，γ=1，A=I推廣了Kim和徐洪坤[9]的結(jié)果。

本結(jié)論把Kim和徐洪坤[9]、姚永紅[6]的結(jié)論從非擴(kuò)張映像推廣到了嚴(yán)格偽壓縮映像。

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Strong Convergence Theorems for Strict Pseudo-Contractions in Hilbert Spaces

TIAN Ming，DI Lan-yun
（College of Science，CAUC，Tianjin 300300，China）

An iteration method for solving variational inequalities over the set of fixed points of a non-self strict pseudocontraction and prove its strong convergence is introduced.Our result improves Y.H.Yao etc.and T.H.Kim etc.Finally，the authors extend the result to solve variational inequalities over the common set of fixed points of a finite number of non-self strict pseudo-contractions.

strickt pseudo-contractive mappings；nonexpansive mappings；strongly positive linear bounded operator；fixed point；Hilbert space

O177.91；O241.7

A

1674－5590（2010）04－0046－05

2009-11-10；

2010-03-08 基金項(xiàng)目：天津市自然科學(xué)基金項(xiàng)目（06YFJMJC12500）

田 明（1963—），男，遼寧撫順人，副教授，碩士，研究方向?yàn)槲⒎址匠虜?shù)值解及迭代算法.

（責(zé)任編輯：楊媛媛）