王 岳

（中國民航大學(xué)國際飛行學(xué)院，天津 300300）

具有量化器的網(wǎng)絡(luò)控制系統(tǒng)穩(wěn)定性分析

王 岳

（中國民航大學(xué)國際飛行學(xué)院，天津 300300）

數(shù)字設(shè)備硬件性能的提高和網(wǎng)絡(luò)控制系統(tǒng)的發(fā)展使得量化問題成為目前研究的熱點(diǎn)。由于網(wǎng)絡(luò)控制系統(tǒng)具有帶寬約束的特點(diǎn)，數(shù)據(jù)的傳輸和處理是零傳輸延遲和無限高精度的這一假定不再合適，有必要對量化對于控制系統(tǒng)性能的影響進(jìn)行研究。針對考慮量化器的狀態(tài)反饋鎮(zhèn)定系統(tǒng)的模型從非線性的角度研究了量化器對于控制對象狀態(tài)動態(tài)特性的影響。進(jìn)而推廣到考慮量化器的周期通信的網(wǎng)絡(luò)控制系統(tǒng)模型上。用Matlab/Simulink仿真算例，驗(yàn)證了結(jié)論的有效性。

量化；穩(wěn)定性；控制系統(tǒng)性能；網(wǎng)絡(luò)控制系統(tǒng)

量化問題作為一個重要的研究領(lǐng)域已經(jīng)存在很多年了。信號的量化給控制系統(tǒng)帶來的影響是由于量化器的有限字長所產(chǎn)生的。早在1956年，Kalman[1]就對在采樣控制系統(tǒng)中加入量化器做了研究。此后，絕大部分關(guān)于量化的工作都是把這種量化器對于控制系統(tǒng)的影響看作是對系統(tǒng)不利的，把量化的影響視為噪聲干擾或是一種狀態(tài)的不確定性進(jìn)行處理，因而如何理解和減緩這種量化的影響成為這方面主要的研究工作[2-4]。隨著網(wǎng)絡(luò)控制系統(tǒng)廣泛應(yīng)用于工業(yè)對象中，網(wǎng)絡(luò)控制系統(tǒng)問題已成為研究熱點(diǎn)。帶寬約束是影響網(wǎng)絡(luò)控制系統(tǒng)運(yùn)行的一個非常重要的條件，是網(wǎng)絡(luò)控制系統(tǒng)中研究的熱點(diǎn)之一[5]。量化問題是帶寬約束問題的研究方向之一。在傳統(tǒng)的控制系統(tǒng)設(shè)計中，通?？梢约俣〝?shù)據(jù)的傳輸和處理是零傳輸延遲和無限高精度的。然而在網(wǎng)絡(luò)化控制系統(tǒng)中，這一假定不再合適。由于網(wǎng)絡(luò)控制系統(tǒng)有帶寬約束，系統(tǒng)狀態(tài)的觀測值在量化和編碼后只能通過有限速率網(wǎng)絡(luò)傳送給控制器，量化和編碼對控制系統(tǒng)性能的影響不能忽略，系統(tǒng)的穩(wěn)定性也必須重新加以分析。

信號被量化后相當(dāng)于疊加了一個誤差信號，即量化誤差。以往的研究通常假設(shè)量化誤差是一個均勻分布的白噪聲信號，習(xí)慣上也稱其為量化噪聲。這一假設(shè)具有一定的精度，并避免了把量化器當(dāng)作非線性環(huán)節(jié)來考慮，而分析一個隨機(jī)信號對線性系統(tǒng)的影響要比分析一個非線性系統(tǒng)簡單的多，因此得到了廣泛應(yīng)用。但量化誤差的白噪聲假設(shè)終究是一種近似，其沒有精確反映量化器作為非線性環(huán)節(jié)的本質(zhì)[6]。本文不同于把量化的影響視為噪聲干擾或者是一種狀態(tài)的不確定性進(jìn)行處理，而是從非線性的角度來分析[7]。首先，設(shè)計了考慮量化器的狀態(tài)反饋鎮(zhèn)定系統(tǒng)的模型，研究了量化器對于控制對象狀態(tài)動態(tài)特性的影響。其后，在Antsaklis等[8]提出的周期通信的網(wǎng)絡(luò)控制系統(tǒng)模型結(jié)構(gòu)基礎(chǔ)上設(shè)計了考慮量化器的周期通信的網(wǎng)絡(luò)控制系統(tǒng)模型，并研究了量化器對控制對象狀態(tài)動態(tài)特性的影響。通過研究量化器對不同系統(tǒng)模型的影響，得到了不同系統(tǒng)模型下相似的結(jié)論，即量化器使控制對象存在下界，不能穩(wěn)定收斂至平衡點(diǎn)。

1 具有量化器的控制系統(tǒng)模型分析

如果使用Q[（ft）]表示量化作用，信號 （ft）被量化后可寫成原信號與一個誤差信號N1的疊加Q[（ft）]=（ft）+N1[（ft）]。式中：N1[（ft）]表示量化誤差。如果量化編碼采用的字長為（b+1）（其中1指的是符號位），采用定點(diǎn)舍入的方式，則量化的最小間隔為q=2-b，量化誤差

加入量化器的控制系統(tǒng)模型如圖1所示。

為了不把采樣保持對系統(tǒng)的影響同量化器的影響混淆，本節(jié)內(nèi)容沒有考慮前者的作用。為了方便起見，本節(jié)的分析中使用的是連續(xù)時間系統(tǒng)模型。

考慮SISO的有限維系LTI統(tǒng)，如圖1

系統(tǒng)式（1）用狀態(tài)反饋配置極點(diǎn)，考慮系統(tǒng)的狀態(tài)反饋的量化作用，系統(tǒng)式（1）的方程為

式中：K能夠保證（A+BK）是Hurwitz的，即其所有特征值都位于左復(fù)半平面。

因?yàn)镼[f（t）]=f（t）+N1[f（t）]，式（2）又可表示為

如果不考慮量化器的作用，式（3）中N1為0。狀態(tài)變量x漸近收斂。現(xiàn)在的問題是考慮量化器，則x的動態(tài)特性如何，下面用Lyapunov穩(wěn)定性進(jìn)行研究。

因?yàn)椋ˋ+BK）是Hurwitz的，由Lyapunov穩(wěn)定性理論，存在M=MT>0，Q=QT>0使得

定義Lyapunov函數(shù)V=xTMx，對其求導(dǎo)，并聯(lián)立式（3）和式（4），得

如果考慮量化器，系統(tǒng)式（3）漸近收斂，需要V<0下面推導(dǎo)滿足這一要求的條件。

因?yàn)镼為n維實(shí)對稱陣，通過正交線性變換，不難證明得到

其中λmin（Q）表示矩陣Q的最小特征值，再根據(jù)式（5）

根據(jù)本法第五條的規(guī)定，評估專業(yè)人員從事評估業(yè)務(wù)，應(yīng)當(dāng)加入評估機(jī)構(gòu)。只有評估機(jī)構(gòu)才能正式接受委托從事評估業(yè)務(wù)，評估專業(yè)人員只能接受評估機(jī)構(gòu)委派從事指定的評估業(yè)務(wù)，不能私自接受委托從事業(yè)務(wù)，更不能收取費(fèi)用。

式（6）是考慮狀態(tài)反饋中加量化器之后，狀態(tài)變量x的一個下界。當(dāng)‖x‖>‖MB‖q/λmin（Q）時，狀態(tài)x（t）不斷收斂，直到進(jìn)入在n維空間中以原點(diǎn)為圓心，半徑為‖MB‖q/λmin（Q）的球中，一旦進(jìn)入這個球，狀態(tài)x不再能保證收斂。在M、Q和B一定的情況下，q越小，極限環(huán)越小。下面用例子來說明。

考慮如下穩(wěn)定的線性系統(tǒng)

量化器的字長是4位，系統(tǒng)的狀態(tài)相應(yīng)曲線如圖2所示。

由圖2可見，量化器的加入使穩(wěn)定系統(tǒng)的狀態(tài)響應(yīng)不能收斂至平衡點(diǎn)。

2 具有量化器的網(wǎng)絡(luò)控制系統(tǒng)模型分析

本節(jié)將在Antsaklis[8]等提出網(wǎng)絡(luò)控制系統(tǒng)模型的基礎(chǔ)之上，設(shè)計具有量化器的網(wǎng)絡(luò)控制系統(tǒng)模型。如圖3所示。

在此種網(wǎng)絡(luò)控制系統(tǒng)中，傳感器和控制器之間存在網(wǎng)絡(luò)連接，控制器和執(zhí)行器之間不存在網(wǎng)絡(luò)連接，如果將嵌入式微處理器并入執(zhí)行器中，控制器與執(zhí)行器之間就不存在網(wǎng)絡(luò)連接，這種情況是實(shí)際存在的[9-10]。

下面將對該種網(wǎng)絡(luò)控制系統(tǒng)結(jié)構(gòu)進(jìn)行數(shù)學(xué)建模。本系統(tǒng)為了更好地研究量化器帶來的影響而忽略網(wǎng)絡(luò)時延，網(wǎng)絡(luò)控制系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)如圖3所示。

控制對象狀態(tài)方程為

其中，x（t）∈Rn為被控對象的狀態(tài)變量，u（t）∈Rm為被控對象控制輸入變量，A和B是具有適當(dāng)維數(shù)的實(shí)系數(shù)矩陣。

狀態(tài)估計模型為

其中，q（x（tk））為 x（tk）被量化后的值。從式（11）中可以看出e（tk）≠0，這正是量化器對網(wǎng)絡(luò)控制系統(tǒng)的影響。下面用Lyapunov穩(wěn)定性進(jìn)行分析。

定義 Lyapunov 函數(shù) V（x（tk））=x（tk）TP x（tk），則若能證明 V（x（tk+1））-V（x（tk））<0，系統(tǒng)穩(wěn)定。下面是分析過程：

根據(jù)式（11）可以得出控制對象狀態(tài)與模型狀態(tài)之間的誤差為

其中 Δ（t-tk）恰好為 Antsaklis[8]等中提到的中的第二項(xiàng)。

且當(dāng) t∈[tk，tk+1]，對象狀態(tài)相應(yīng)為

因?yàn)?N=e（A?+B?K）h+ Δ（h），所以若構(gòu)造 NTPN-P=-Q，其中 P>0，Q>0，則

若量化器為均勻量化器，且量化階為q=2ε，則式（14）為

若要系統(tǒng)穩(wěn)定，要使 V（x（tk+1））-V（x（tk））<0，則

式（6）表明在網(wǎng)絡(luò)控制系統(tǒng)模型中加入量化器同樣使系統(tǒng)狀態(tài)存在一個下界。即球域

當(dāng)

時，狀態(tài)xk不斷收斂，直到進(jìn)入球域中。

3 結(jié)語

本文把量化的影響從非線性的角度來分析。在具有量化器的狀態(tài)反饋鎮(zhèn)定系統(tǒng)的模型以及具有量化器的周期通信的網(wǎng)絡(luò)控制系統(tǒng)模型上，研究了量化器對于控制對象狀態(tài)動態(tài)特性的影響，得到了不同系統(tǒng)模型下相似的結(jié)論，即量化器的存在使控制對象存在下界，不能穩(wěn)定收斂至平衡點(diǎn)。而且相應(yīng)的算例仿真結(jié)果與得到的結(jié)論相符。

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Stability of Network Control Systems with Quantizer

WANG Yue
（International Flight College， CAUC， Tianjin 300300， China）

Due to the improvement of digital hardware equipment and development of NCS （networked control system），Quantization problem research has been focused on at this moment.Particularly in the research of NCS，due to the Bandwidth constraints，it is necessary to study the performance of the control system with quantizer.Seeing the quantizer as nonlinear equipment is used to study the quantization problem.Firstly，control System with quantizer are designed and modeled， the stability of the systems is analyzed with Lyapunov method.And then，we generalized the result to a kind of NCS model called periodic communication NCS model founded by the Antsaklis.And the results are validated in Matlab/Simulink simulation environment.

quantization；stability；performance of control system；network control system

TP273

A

1674－5590（2010）04－0027－04

2010-02-27；

2010-04-26 基金項(xiàng)目：中國民航大學(xué)科技基金項(xiàng)目（08CAUC-E07）

王 岳（1983—），男，天津人，工學(xué)碩士，研究方向?yàn)榱炕瘑栴}、網(wǎng)絡(luò)控制系統(tǒng)的控制、飛行控制系統(tǒng)仿真.

（責(zé)任編輯：李 侃）