王俊杰，王連堂

(1.思茅師范高等專科學(xué)校數(shù)學(xué)系，云南 普洱 665000;2.西北大學(xué)數(shù)學(xué)系，陜西 西安 710127)

0 引 言

聲波的反散射理論是一個(gè)典型的數(shù)學(xué)物理反問題，它是利用外部的測量信息，探測介質(zhì)的內(nèi)部性質(zhì)或者邊界性質(zhì)，而這些信息通常是不能直接測量的，由于聲波反散射理論在雷達(dá)及地球物理勘探等領(lǐng)域的需要，對反散射理論及計(jì)算方法的研究有著廣泛的應(yīng)用前景.D.Colton,P.Monk和R.L.Ochs[1-3]分別用遠(yuǎn)場模式的完全與不完全數(shù)據(jù)進(jìn)行了區(qū)域反演，David.Colton[4]中應(yīng)用線性抽樣方法進(jìn)行了區(qū)域反演，在Pedro.Serranho[5]中應(yīng)用雜交方法對阻尼邊界進(jìn)行了區(qū)域和阻尼系數(shù)的同時(shí)反演.本文研究聲波阻尼反問題的區(qū)域和系數(shù)同時(shí)反演的反問題，即在阻尼系數(shù)和區(qū)域未知的情況下，利用遠(yuǎn)場模式的數(shù)據(jù)來同時(shí)反演阻尼區(qū)域和系數(shù).本文給出了具體的計(jì)算方法，并給出了數(shù)值例子.

本文考慮在均勻介質(zhì)中傳播的聲波，此聲波碰到一個(gè)無限長的柱體.設(shè)柱體的截面D?R2母線平行于z軸，設(shè)入射波是平面波ui(x)=eikx·α,x∈R2其中k>0是波數(shù)，α為一單位向量，入射波碰到柱體發(fā)生散射，記總體場為u=ui+us,us表示散射場，總體場滿足阻尼邊界條件.正散射問題是u∈C2(R2)∩C(R)D滿足:

Δu+k2u=0 inR2D-

(1)

(2)

(3)

其中v表示外法線方向，λ為聲波阻尼系數(shù)，(3) 稱為sommerfeld散射條件.

若IM(λ),?D∈C2,則問題(1)～(3)存在唯一解[6].由文獻(xiàn)[6]可知，散射波us有以下漸進(jìn)性質(zhì)：

(4)

其中(r,θ)為x的極坐標(biāo)，F(xiàn)稱為散射波us的遠(yuǎn)場模式.

本文考慮的反問題是給定F(θ;k,αn);其中θ∈[0,2π],αn,n=1,2,3,…,N是N個(gè)不同的單位向量，利用這些數(shù)據(jù)來確定阻尼邊界?D和系數(shù)λ.

1 反演方法

由Green公式與第一類零階Hankel函數(shù)的漸進(jìn)性質(zhì)可得:

(5)

其中x=reiθ,y=reiφ,v表示?D上的單位外法線方向.

本文的方法基于Herglotz波函數(shù)理論[7].一個(gè)函數(shù)v稱為Herglotz波函數(shù),如果:

Δv+k2v=0 inR2

在極坐標(biāo)(ρ,φ)下,Herglotz波函數(shù)有如下積分形式:

(6)

其中g(shù)∈L2[0,2π]是Herglotz波函數(shù)的核, 由(2)和(5)得:

(7)

定義集合:

S={F(θ;k,αn)-F(θ;k,α1),n=1,2…}

其中F(θ;k,αn)是對應(yīng)于入射波eikx·αn的遠(yuǎn)場模式.將S中的元素看成θ的函數(shù),S是L2[0,2π]的子集,且

定理2.1[8]:設(shè)λ>0,v是如下問題的解：

(8)

a. 如果v是Herglotz波函數(shù),核為g, 則S⊥=Span{g}

b. 如果v不是Herglotz波函數(shù),核為g， 則S⊥=0

因此有以下定理成立:

(F,g)=(f1,g)

周圍,其中g(shù)是逼近(8)的解的Herglotz波函數(shù)的核,支集含于[0,2π],(·,·)表示L2空間上的內(nèi)積.

于是反問題可歸結(jié)為一個(gè)約束最優(yōu)化問題.

定義集合:

U1(M)={g∈H1[0,2π]∶|g|H1≤M}

U2={ρ∈C1[0,2π]∶ρ是周期函數(shù).

U3={λ(φ)≤M1,|λ(φ)-λ(ψ)|≤M2|φ-ψ|}

其中M,M1,M2,a,b,c為常數(shù).

由嵌入定理U1(M)在C[0,2π]中緊，U2(M)在C[0,2π]中緊，并且由Arzela-Ascoli定理，U2(M)在C[0,2π]中緊，再由Tikhonov定理，U(M)=U1(M)×U2×U3在C[0,2π]×C[0,2π]×C[0,2π]中緊.

以下給出(F1,g)的值，因?yàn)?/p>

且文獻(xiàn)[2]中

再由

得到：

最終得到下面的最優(yōu)化問題：

(9)

其中v為(5)所定義的Herglotz波函數(shù)，由于λ>0,所以內(nèi)問題不存在任何特征值，因而在此只要求k>0即可.

2 數(shù)值計(jì)算

下面對前面的反演方法給出計(jì)算方法. 反問題的數(shù)據(jù)是一系列方向的平面波和所對應(yīng)的遠(yuǎn)場模式，這些數(shù)據(jù)的產(chǎn)生是由解正問題所得.

本文采用Nystr?m方法解正問題.

對于定解問題

Δu+k2u=0 inR2D-

(10)

(11)

尋找如下單層位勢的解：

從而得到散射波的遠(yuǎn)場模式：

對給定的波數(shù)k和[0,2π]上不同方向的N個(gè)入射平面波，用上面的方法得到的遠(yuǎn)場模式的逼近，將此數(shù)據(jù)作為原始數(shù)據(jù)來求反問題.

記Fα為Fα(θ;,k,α)，用有限三角級數(shù)：

逼近Fα(θ;k,α)，于是

其中：

用三角級數(shù)逼近g,ρ,λ

aj,bj∈R

于是得到：

利用矩形公式積分，則(9) 離散為：

其中：

反問題參數(shù)：n1=6,n2=6,n3=6,m1=m2=30,k=1.0.

入射波數(shù)目N=16,遠(yuǎn)場模式數(shù)目n=36.圖中實(shí)線表示邊界ρ或系數(shù)λ，虛線表示反演的邊界ρα或系數(shù)λα.

考慮在均勻介質(zhì)中傳播的聲波，此聲波碰到一個(gè)無限長的柱體.設(shè)柱體的截面D?R2母線平行于z軸，設(shè)入射波是平面波ui(x)=eikx·α,x∈R2其中k>0是波數(shù)，α為一單位向量，入射波碰到柱體發(fā)生散射.在一些情況下我們需要知道柱體的截面形狀和邊界的性質(zhì)，但是不能通過直接測量得到，可以通過測量到的散射波的信息得到即：通過遠(yuǎn)場模式反演區(qū)域形狀和阻尼系數(shù).

例3.1 精確的柱體截面形狀:ρ=2+0.3×cos(3t),精確的阻尼系數(shù)λ=2+sin(t).

反演區(qū)域

aj,bj∈R

其中aj,bj見表1，

反演阻尼系數(shù)

表1 例3.1 的邊界和阻尼系數(shù)同時(shí)反演的數(shù)值結(jié)果

圖1 例3.1 的邊界和阻尼系數(shù)同時(shí)反演的結(jié)果

例3.2 精確的柱體截面形狀: 邊界ρ=2+cos(t)sin(t),精確的阻尼系數(shù)λ=2+cos(t).

反演區(qū)域

aj,bj∈R,

其中aj,bj見表2.

反演阻尼系數(shù)

表2 例3.2 的邊界和阻尼系數(shù)同時(shí)反演的數(shù)值結(jié)果

圖2 例3.2 的邊界和阻尼系數(shù)同時(shí)反演的結(jié)果

從圖1和圖2看出本文給出的同時(shí)反演阻尼系數(shù)和邊界的反演方法的反演效果是比較好的.

參考文獻(xiàn)：

[1]Colton D, Monk P. A novel method for solving the inverse scattering problem for time harmonic acoustic wave in the resonance region[J].SIAMJ Appl Math,1985,45:1039-1053.

[2]Colton D, Monk P. A novel method for solving the inverse scattering problem for time harmonic acoustic wave in the resonance region[J].II SIAMJ Appl Math,1986,46:506-523.

[3]Ochs R L. The Limited Aperture Problem of inverse scattering: Dirichlet Boundary Condition[J].SIAMJ Appl Math,1987,47:1320-1341.

[4]David Colton, Michele Piana, Roland Potthast. A Simple method using Morozov’sdis crepancy principle for solving inverse scattering problems[J].Inverse Problem,2001,17:1997-2015.

[5]Pedro Serranho.A Hybrid Method for Inverse Scattering for Shape and Impedance[J].Inverse Problem,2006,22:663-680.

[6]Colton D, Kress R.Integral equation methods in scattering theory[M].New York:Wileyinterscience publication,1983.

[7]Colton D, Kress R. Inverse and electromagnetic scattering theory[M].New York:Springer Verlag Berlin Heidelberg,1992.

[8]王連堂,利用遠(yuǎn)場模式反演聲波阻尼系數(shù)[J].計(jì)算數(shù)學(xué),1999,2:89-98.