吳有華，陳慧麗，何健敏

(東南大學(xué) 經(jīng)濟(jì)管理學(xué)院，南京 211189)

1 模型概述

考慮單個(gè)供應(yīng)商，單個(gè)制造商(后文中被稱為采購(gòu)商)，單種產(chǎn)品以及單銷售季節(jié)的情況，該供應(yīng)商向采購(gòu)商提供原材料或零配件，該采購(gòu)商則向終端顧客銷售最終的產(chǎn)品，終端客戶的需求是隨機(jī)變量。采購(gòu)商采購(gòu)的產(chǎn)品具有Newsvendor（報(bào)童模型）特點(diǎn)。

在銷售季節(jié)開始的零時(shí)刻，采購(gòu)商以單價(jià)w訂購(gòu)Q單位的產(chǎn)品，同時(shí)采購(gòu)商以單價(jià)c購(gòu)買q單位的期權(quán)合同，每單位的期權(quán)合同使采購(gòu)商有權(quán)利(并非義務(wù))決定是否在銷售季節(jié)結(jié)束之前以X的交割價(jià)格獲得一單位的產(chǎn)品。供應(yīng)商承諾的產(chǎn)量為Q+q，銷售季節(jié)過(guò)后供應(yīng)商剩余產(chǎn)品每單位的殘值是VS，采購(gòu)商剩余產(chǎn)品每單位的殘值為Vm。

后文涉及的符號(hào)介紹：

D顧客需求，由制造商（后文成為購(gòu)買商）提供的產(chǎn)品；

μ隨機(jī)變量D的期望值；σ隨機(jī)變量D的標(biāo)準(zhǔn)差；

r采購(gòu)商的單位銷售價(jià)格；m供應(yīng)商的單位成本；

X期權(quán)的執(zhí)行價(jià)格；

SM采購(gòu)商的單位短缺成本；

根據(jù)上述內(nèi)容，以下關(guān)系恒成立：

c+X≥w c+vM≤w r+SM≥c+X (1)

如果第一個(gè)不等式不成立，則采購(gòu)商通過(guò)購(gòu)買一單位期權(quán)合同進(jìn)行交割獲得一單位產(chǎn)品的總成本低于現(xiàn)貨市場(chǎng)中訂購(gòu)產(chǎn)品的單位成本，這樣會(huì)使現(xiàn)貨市場(chǎng)無(wú)效。如果第二個(gè)不等式不成立，期權(quán)合同的存在就沒(méi)有意義，因?yàn)閣-vM＜c表示在需求不確定的情況下為了避免短缺，采購(gòu)商可以基于需求的預(yù)測(cè)以w的單價(jià)購(gòu)買較多的產(chǎn)品作為儲(chǔ)備，銷售季節(jié)末以vm的單價(jià)處理剩余產(chǎn)品，這種操作采購(gòu)商的成本僅為wvM，小于利用期權(quán)合同付出的成本c。如果當(dāng)采購(gòu)商在銷售季節(jié)初訂購(gòu)的產(chǎn)量不能滿足需求時(shí)可以從現(xiàn)貨市場(chǎng)上以單價(jià)ws獲得產(chǎn)品，則SM=ws-r，此時(shí)第三個(gè)不等式簡(jiǎn)化為ws≥c+X，如該式不成立則現(xiàn)貨市場(chǎng)會(huì)使得期權(quán)市場(chǎng)過(guò)剩。

供應(yīng)合同中的四個(gè)變量Q，q，c，X是通過(guò)供應(yīng)商和采購(gòu)商的談判博弈確定地。用Stackelberg博弈對(duì)該過(guò)程建模，其中供應(yīng)商是主導(dǎo)企業(yè)，采購(gòu)商是追隨企業(yè)，采購(gòu)商根據(jù)供應(yīng)商的定價(jià)，確定最優(yōu)的采購(gòu)決策。同時(shí)假設(shè)信息是對(duì)稱的，供應(yīng)商可以出采購(gòu)商的產(chǎn)品訂購(gòu)量，從而制定最優(yōu)定價(jià)決策。假設(shè)采供雙方都是理性，自私，風(fēng)險(xiǎn)中性的。

2 采購(gòu)商的訂購(gòu)決策

采購(gòu)商有兩個(gè)決策變量：訂貨數(shù)量Q和期權(quán)購(gòu)買量q，總的訂購(gòu)數(shù)量為T=Q+q，其期望利潤(rùn)是：

采購(gòu)商的期望利潤(rùn)又可以寫成：

將式（4）分別對(duì)變量Q，q求偏導(dǎo)，并使之為零：

由于[x]+是遞增的凸函數(shù)，X≥vM和 r+SM≥X 成立，則（2）式中采購(gòu)商的利潤(rùn)GM(Q,q)是變量（Q，q）的凹函數(shù)。注意如果（7）是嚴(yán)格不等式，（5）和（6）就是采購(gòu)商的最佳訂貨量 Q，q；如果（7）為等式，則 q=0。

考慮采購(gòu)商的最佳采購(gòu)量 Q，q（即（7）式成立時(shí)）隨(c，X)的增減變化性：

（5）式中F-1的自變量可以變形為：，根據(jù)（1）中的條件，很明顯這個(gè)式子的值是隨(c，X)遞增的，因此現(xiàn)貨最佳采購(gòu)量Q是隨(c，X)遞增的。

同樣（6）中F-1的自變量可以變形為：，根據(jù)（1）中的條件，該式的值對(duì)(c，X)是遞減的，考慮以上證明過(guò)Q隨(c，X)遞增的性質(zhì)可知期權(quán)采購(gòu)量是隨(c，X)遞減的。

考慮采購(gòu)商期望利潤(rùn)GM(Q,q)隨(c，X)變動(dòng)的增減性：

首先考慮X：根據(jù)（4）式可知 GM通過(guò)變量Q，q期權(quán)交割價(jià)格X變動(dòng)。因?yàn)镚M對(duì)Q，q的偏導(dǎo)在Q，q取得最優(yōu)解時(shí)為零，所以=-q+F(x)dx≤0（其中F(x)≤1），GM對(duì)X遞減，即同理有=-q+≤0，GM也 c對(duì)遞減。

3 供應(yīng)商的定價(jià)決策

供應(yīng)商的利潤(rùn)模型如下：

采購(gòu)商的目標(biāo)函數(shù)可以簡(jiǎn)化為：

另外(c，X)滿足（1）式以及（7）式。 供應(yīng)商把(Q，q)當(dāng)做(c，X)的函數(shù)。

（9）中的目標(biāo)函數(shù)還可以寫成：

將該目標(biāo)函數(shù)分別對(duì)c，X求偏導(dǎo)得：

根據(jù)（5）（6）式可以得到：QC'=[(X-VM)f(Q)]-1

將最后兩個(gè)等式帶入（12）式中，

代入（14）式中得到：

另外根據(jù)（5）式有w-X-c+(X-VS)F(Q)=(VM-VS)F(Q)

當(dāng)VM≥VS時(shí)，上式等號(hào)左邊各項(xiàng)都是非負(fù)的（前面已經(jīng)說(shuō)明Q是c的增函數(shù)），此時(shí)≥0，采購(gòu)商希望期權(quán)的交割價(jià)格盡可能的大，為了同時(shí)滿足（7）式的約束，采購(gòu)商會(huì)令期權(quán)價(jià)格盡可能接近零，以便X可以盡可能的最大化。當(dāng)VM＜VS時(shí)供應(yīng)商對(duì)期權(quán)的最優(yōu)定價(jià)決策就符合（14）（15）兩式。

4 算例研究

為了驗(yàn)證上文中建立的供應(yīng)商、采購(gòu)商之間的Stackelberg博弈模型，可以用于求解采購(gòu)商對(duì)現(xiàn)貨和期權(quán)合同的最優(yōu)采購(gòu)決策，以及供應(yīng)商對(duì)期權(quán)價(jià)格和期權(quán)執(zhí)行價(jià)格的最優(yōu)決策，通過(guò)一個(gè)算例加以分析。

假設(shè) m=30,r=85,SM=30,υs=10,VM=5,Vw=45，經(jīng)檢驗(yàn)假設(shè)的數(shù)值均滿足條件（1）、（7）的要求。同時(shí)假設(shè)隨機(jī)變量顧客需求D服從[500,1000]上的均勻分布。

根據(jù)供應(yīng)商的定價(jià)決策分析知道當(dāng)VM＜VS時(shí)供應(yīng)商對(duì)期權(quán)的最優(yōu)定價(jià)決策就符合（14）、（15）兩式。因此把假設(shè)的數(shù)值代入（14）、（15）進(jìn)行計(jì)算可得供應(yīng)商對(duì)期權(quán)價(jià)格和期權(quán)執(zhí)行價(jià)格的最優(yōu)決策分別為c*=20,X*=55。

將供應(yīng)商的最優(yōu)定價(jià)決策代入采購(gòu)商的反應(yīng)函數(shù)（5）、（6）兩式中?？梢郧蠼獾玫讲少?gòu)商的對(duì)現(xiàn)貨和期權(quán)合同的最優(yōu)采購(gòu)決策分別為Q*=800,q*=33。

5 小結(jié)

目前許多文獻(xiàn)已經(jīng)證明期權(quán)合同在分散采購(gòu)風(fēng)險(xiǎn)和提高供應(yīng)鏈效率上確實(shí)有重要作用，但是能夠合理地確定期權(quán)合同的價(jià)格是在實(shí)務(wù)中應(yīng)用期權(quán)合同的前提，研究期權(quán)價(jià)格的最優(yōu)決策具有重要的現(xiàn)實(shí)意義和理論價(jià)值，而已有文獻(xiàn)對(duì)這方面關(guān)注比較少。為了更好地實(shí)現(xiàn)風(fēng)險(xiǎn)規(guī)避和共享，本文初步探討了期權(quán)合同價(jià)格的最優(yōu)決策方法，希望能為進(jìn)一步的研究奠定基礎(chǔ)。不過(guò)本文中假設(shè)的市場(chǎng)環(huán)境和采購(gòu)問(wèn)題較為簡(jiǎn)單，考慮了一個(gè)采購(gòu)商和一個(gè)供應(yīng)商的情況，沒(méi)有涉及一對(duì)多甚至是多對(duì)多的情況；并假設(shè)市場(chǎng)中產(chǎn)品的銷售價(jià)格固定，不會(huì)受市場(chǎng)需求變動(dòng)的影響，這些都是需要進(jìn)一步研究探討的問(wèn)題。

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