楊 毅，李光金

（1．四川大學(xué) 工商管理學(xué)院，成都 610064；2．成都紡織高等專(zhuān)科學(xué)校，成都 611731）

1 問(wèn)題的由來(lái)

粗糙集與隨機(jī)集、模糊集有著本質(zhì)的區(qū)別。以一個(gè)現(xiàn)實(shí)生活中常見(jiàn)的規(guī)劃問(wèn)題為例，一個(gè)工廠有（x1,x2,…xn）個(gè)輸入變量，（y1,y2,…ym）個(gè)輸出變量，我們很容易定義xi或yj是隨機(jī)變量、或模糊變量，但卻不好定義它們是粗糙變量?，F(xiàn)有的文獻(xiàn)一般不說(shuō)一個(gè)輸入（或輸出）變量是一個(gè)粗糙變量，而是說(shuō)某個(gè)問(wèn)題可以用粗糙集的方法來(lái)處理[1]～[3]。在文獻(xiàn)[4]～[6]中，則是簡(jiǎn)單的將某些參數(shù)直接定義為粗糙變量，將它強(qiáng)行構(gòu)造成粗糙集的結(jié)構(gòu)，形成一大一小兩個(gè)區(qū)間，大區(qū)間包含小區(qū)間，大區(qū)間為粗糙變量的上近似，小區(qū)間為粗糙變量的下近似。而文中并未解釋這些參數(shù)為什么是粗糙變量。本文認(rèn)為，這種解釋只是人為地將此變量做得與粗糙集的結(jié)構(gòu)一樣，而沒(méi)有真正理解粗糙集在解決不確定問(wèn)題中的意義。當(dāng)這些粗糙變量的由來(lái)語(yǔ)焉不詳?shù)臅r(shí)候，相應(yīng)的粗糙規(guī)劃模型并不比隨機(jī)規(guī)劃或模糊規(guī)劃更能提供幫助，很難對(duì)解決實(shí)際問(wèn)題帶來(lái)實(shí)質(zhì)的幫助。

例1[5]：

假設(shè)共有I個(gè)零售商，零售商采用Newsboy模型來(lái)訂貨，生產(chǎn)廠家生產(chǎn)產(chǎn)品需要J種原材料，市場(chǎng)對(duì)零售商的需求滿足粗糙變量ξ1，ξ2，…，ξI,第i個(gè)售貨商訂貨的數(shù)量為ai。并假設(shè)商品的商場(chǎng)價(jià)格固定，生產(chǎn)商根據(jù)市場(chǎng)價(jià)格制定批發(fā)價(jià)格，生產(chǎn)廠家接到訂單以后根據(jù)訂單進(jìn)行生產(chǎn)，產(chǎn)品有一個(gè)最遲的交貨時(shí)間，生產(chǎn)完成后就可以交貨。在生產(chǎn)過(guò)程中需要儲(chǔ)存原材料，原材料j的存儲(chǔ)采用Mj循環(huán)策略；每Mj天訂貨，j=1,2,…,J。原材料的運(yùn)輸時(shí)間為零，零售商沒(méi)有賣(mài)出的商品，生產(chǎn)商以較低的價(jià)格回收，并且假定在儲(chǔ)存的過(guò)程中，原材料和成品都不會(huì)變質(zhì)。

文獻(xiàn)[5]提到，ξ1，ξ2，…，ξI的取值如下：

?

例中的粗糙變量由兩個(gè)區(qū)間數(shù)組成，已實(shí)現(xiàn)粗糙變量的數(shù)學(xué)要求，但在現(xiàn)實(shí)中，此粗糙變量有什么實(shí)際意義呢？它又是如何得到的？此時(shí)粗糙規(guī)劃建立關(guān)健在如何理解“市場(chǎng)對(duì)零售商的需求滿足粗糙變量 ξ1，ξ2，…，ξIi”，而論文中偏偏沒(méi)有對(duì)此進(jìn)行解釋?zhuān)@個(gè)粗糙變量就有了人為構(gòu)造之嫌。

2 理論背景

2.1 Pawlak粗糙集

首先對(duì)粗糙集進(jìn)行定義。

定義1[7]粗糙集理論中的不確定性和模糊性是一種基于邊界的概念，即一個(gè)模糊的概念具有模糊的邊界，每一個(gè)不確定概念由一對(duì)稱(chēng)為上近似和下近似的精確概念來(lái)表示：設(shè)給定知識(shí)庫(kù)K=(U,R),對(duì)于每個(gè)子集XU和一個(gè)等價(jià)關(guān)系Rind(K),可以根據(jù)R的基本集合來(lái)劃分集合X:

R_(X)=∪{Y∈U/R:Y?X}

R-(X)=∪{Y∈U/R:Y∩X≠φ}

BNR(X)=R-(X)-R_(X)

式中，R_(X)和R-(X)分別稱(chēng)為X的R下近似和R上近似，BNR(X)稱(chēng)為X的邊界。集合的下近似是包含給定集合中所有基本集的集合,集合的上近似是包含給定集合元素中所有基本集的最小集合。顯然,當(dāng)BNR(X)≠0時(shí),X為粗糙集。

定義2[7]具有相同上下近似集的集合被稱(chēng)為粗糙集，用

2.2 實(shí)域粗糙集

DEA模型中的輸入變量或輸出變量一般為連續(xù)變量。為解決經(jīng)典的粗糙集只能處理離散數(shù)據(jù)的局限，有必要將粗糙集推廣到實(shí)數(shù)域中。

Pawlak在1999年[8]將粗糙集的思想推廣到實(shí)數(shù)域中。

設(shè) R 是實(shí)數(shù)集，(a，b)是 R 上的開(kāi)區(qū)間，(a，b)上的實(shí)數(shù)序列 S={x0,x1,…，xn}，使 a=x0＜x1＜…xn=b，則 A=（R，X）稱(chēng)為由 S生成的逼近空間，S稱(chēng)為離散化序列，每個(gè)S都在（a,b）上定義了一個(gè)劃分：π（S）={{x0},{x0,x1},{x1},{x1,x2},{x2},…{xn-1,xn},{xn}}，相當(dāng)于定義了一個(gè)等價(jià)關(guān)系，于是對(duì)于?x∈(a,b)，其在S下的下逼近和上逼近可定義為：

3 本文對(duì)實(shí)域粗糙變量定義的解釋

在實(shí)域范圍內(nèi)，粗糙變量的值域有三個(gè)可能值，分別對(duì)應(yīng)上近似、下近似和近似精度：

大區(qū)間代表上近似，是可能出現(xiàn)的連續(xù)實(shí)值的最大范圍，由實(shí)數(shù)序列的并構(gòu)成；

小區(qū)間代表下近似，是必然出現(xiàn)的實(shí)值范圍，由實(shí)數(shù)序列的交構(gòu)成；

由于上近似和下近似都是實(shí)區(qū)間，我們可較方便的定義粗糙變量的粗糙近似精度：

α(x)=|下近似|/|上近似|

以下都以例1中的粗糙變量ξi為例。

3.1 以任意兩期的需求量為區(qū)間數(shù)來(lái)構(gòu)造粗糙變量

假設(shè)市場(chǎng)對(duì)零售商i的需求為粗糙變量ξi，它由任意兩期的需求為實(shí)區(qū)間[a,c],[b,d]構(gòu)成，其中a≤b≤c≤d。

從pawlak實(shí)域粗糙集定義來(lái)看，實(shí)域粗糙集的上近似是

實(shí)域粗糙集的下近似是

則ξi=([b,c],[a,d])，實(shí)域粗糙集的近似精度是

α(x)=(c-b)/(d-a)

設(shè)市場(chǎng)對(duì)零售商1的需求為粗糙變量ξ1，它由任意兩期的需求為實(shí)區(qū)間構(gòu)成，這兩個(gè)區(qū)間的并構(gòu)成粗糙變量ξ1的上近似，它們的交構(gòu)成下近似。即ξ1=([200,210],[190,220])。

它的近似精度是

若實(shí)際情況為a≤c≤b≤d，即兩個(gè)實(shí)區(qū)間交集為空，則實(shí)域粗糙集的上近似是

實(shí)域粗糙集的下近似是

則 ξi=([φ]，[a,d])，仍然滿足粗糙集的要求。

設(shè)市場(chǎng)對(duì)零售商1的需求為粗糙變量ξi，它由任意兩期的需求為實(shí)區(qū)間[190,200],[210,220]構(gòu)成，這兩個(gè)區(qū)間的并構(gòu)成粗糙變量ξ1的上近似，它們的交構(gòu)成下近似。即ξi=([φ]，[190,220])。

3.2 以n期需求量為區(qū)間數(shù)來(lái)構(gòu)造粗糙變量

假設(shè)市場(chǎng)對(duì)零售商i的需求為粗糙變量ξi，它由n期的需求為實(shí)區(qū)間[a1,b1],[a2,b2],…，[an,bn]構(gòu)成。

則實(shí)域粗糙集的上近似是

實(shí)域粗糙集的下近似是市場(chǎng)對(duì)零售商1的需求如下表：

月份年份123456789 2005 2006 2007 2008 195 200 211 208 198 205 212 210 197 205 200 214 191 212 199 210 193 208 198 215 199 213 214 220 200 200 215 218 198 195 206 210 190 196 202 217 10 202 200 210 216 11 194 199 209 219 12 196 202 205 213

可知市場(chǎng)對(duì)零售商1的每月需求都是一個(gè)區(qū)間數(shù)，12個(gè)月可得12個(gè)區(qū)間數(shù)：

月份需求量月份需求量123456[195,211]7[200,218][198,212]8[195,210][197,214]9[190,217][191,212]10[200,216][193,215]11[194,219][199,220]12[196,213]

從上面的分析可看出，上近似由每月需求量數(shù)值的并構(gòu)成，是需求量的波動(dòng)范圍；而下近似是由每月需求量數(shù)值的交構(gòu)成，是需求量最大可能范圍。最大可能范圍在波動(dòng)范圍內(nèi)出現(xiàn)的可能性為0.333。這樣，就真正解釋了在應(yīng)用中實(shí)域廣義粗糙變量的由來(lái)和它的意義。

4 粗糙變量的求解

5 結(jié)束語(yǔ)

粗糙變量不象隨機(jī)變量或模糊變量一樣在數(shù)學(xué)規(guī)劃中得到大量的應(yīng)用。本文認(rèn)為現(xiàn)有的文獻(xiàn)并未從粗糙集本身的特點(diǎn)去解釋粗糙變量的意義，而是簡(jiǎn)單模仿隨機(jī)變量或模糊變量，同時(shí)在數(shù)學(xué)上構(gòu)造一個(gè)滿足粗糙集形式的變量，得到的結(jié)論非常牽強(qiáng)。本文通過(guò)對(duì)基于實(shí)數(shù)域的廣義粗糙變量的分析，用零售商需求模型對(duì)如何得到此粗糙變量給出了一個(gè)實(shí)例解釋。并在此基礎(chǔ)上，提出了粗糙變量的求解。實(shí)域廣義粗糙變量能比區(qū)間變量處理更復(fù)雜的不確定信息，必然在更多的領(lǐng)域中得到應(yīng)用。

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