案例:一堂二年級(jí)的內(nèi)容為“直角”的數(shù)學(xué)課。教師這樣導(dǎo)入:拿出一個(gè)信封，封面上畫了很多大小不同的角，然后問(wèn)學(xué)生，信封上畫的是什么?學(xué)生說(shuō)是角。接著教師給學(xué)生分小組(4人一組)，每組給他們一個(gè)信封，告訴學(xué)生里面有很多角，請(qǐng)學(xué)生把它分類(老師的意圖是讓學(xué)生按銳角、直角、鈍角進(jìn)行分類，只是沒(méi)有提出這個(gè)要求罷了)。10分鐘過(guò)去了，因?qū)W生無(wú)從著手所以還沒(méi)有得出結(jié)論。我觀察了坐在我邊上的兩組同學(xué)。他們很茫然，有的把顏色一樣的歸為一組;有的把后面數(shù)字(每個(gè)角后面有數(shù)字代號(hào))一樣的歸為一組;有的在看著其他同學(xué)。教師也發(fā)現(xiàn)了同樣的問(wèn)題，無(wú)奈，只好游走于各小組進(jìn)行指導(dǎo)。因?yàn)閷W(xué)生仍不太明白該怎樣做，所以還是出了許多問(wèn)題，老師一一進(jìn)行了糾正。最后引出本節(jié)課內(nèi)容“直角”，并指著黑板上的直角告訴學(xué)生，這些一樣的角叫直角。

作為課程標(biāo)準(zhǔn)所倡導(dǎo)的學(xué)習(xí)方式，動(dòng)手操作被各位數(shù)學(xué)教師擺到了極其重要的位置。如上述案例一般，言必稱操作的課堂教學(xué)也并不少見，教師儼然把操作當(dāng)作解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的一濟(jì)靈丹妙藥。我們知道由于小學(xué)生的年齡特點(diǎn)，他們學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)固然離不開大量的操作，但是，這種操作主要是為了數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，不是為了培養(yǎng)動(dòng)手技能，更不是為了操作而操作。

如何運(yùn)用好這一學(xué)習(xí)方式，使這一學(xué)習(xí)方式真正為數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)服務(wù)?我認(rèn)為，很關(guān)鍵的一點(diǎn)是:要加大操作中的思維含量。也就是說(shuō)，要樹立起一個(gè)“操作活動(dòng)數(shù)學(xué)化、外部活動(dòng)內(nèi)部化”的觀念。

一、加大動(dòng)手操作中“操作活動(dòng)”的思維含量

1.操作活動(dòng)數(shù)學(xué)化

(1)思維外顯——形成數(shù)學(xué)語(yǔ)言

“操作活動(dòng)數(shù)學(xué)化”的第一個(gè)方面，是要通過(guò)操作形成數(shù)學(xué)語(yǔ)言。

例如，20以內(nèi)的進(jìn)位加法，往往是從9加幾開始教學(xué)的，教師常在此時(shí)使用教具和學(xué)具。如9+3:在有10個(gè)格子的盒里放入9個(gè)球，盒子外面放3個(gè)，問(wèn)“一共有多少個(gè)球?”操作的步驟是從盒子外拿一個(gè)球放入盒內(nèi)，裝滿盒湊成10，盒外還剩2個(gè)，計(jì)算結(jié)果自然是“12”，然而僅僅到這個(gè)程度，學(xué)生還沒(méi)有真正掌握湊10的方法，操作的目的還沒(méi)有達(dá)到。要達(dá)到操作的目的，必須在操作的同時(shí)伴隨著數(shù)學(xué)語(yǔ)言。學(xué)生人人動(dòng)手操作，左邊擺9根小棒，右邊擺3根小棒，從右邊拿一根與左邊的9根合在一起，湊成10根打成一捆。邊操作邊表述這樣幾句話:9和1組成10，既然是9和1組成10，所以把3分成1和2，9加1等于10，10再加2等于12。

這里的關(guān)鍵是什么?是湊10。也就是說(shuō)當(dāng)9加幾時(shí)，即需要從另一個(gè)加數(shù)中分出一個(gè)1來(lái)與9湊成10。那么當(dāng)8加幾時(shí)呢?必然是把另一個(gè)加數(shù)分成2和幾，其目的還是為湊10。這就是這一段操作中的思維含量。只有在操作的同時(shí)表述出思路，這個(gè)思維含量才能逐漸落實(shí)在數(shù)學(xué)語(yǔ)言的形成上。

(2)思維提煉——演變數(shù)學(xué)模型

操作活動(dòng)數(shù)學(xué)化的另一個(gè)方面是把操作過(guò)程再演變成一個(gè)數(shù)學(xué)算式。如上題，可將操作過(guò)程、思考過(guò)程變化成這樣的式子:

2.外部活動(dòng)內(nèi)部化

所謂“外部活動(dòng)內(nèi)部化”，是指學(xué)生通過(guò)操作在頭腦中形成一種表象，這種表象可以是生動(dòng)的形象，也可以是數(shù)量和數(shù)量間的一種關(guān)系，充分利用這種表象在形象和抽象之間架起一座過(guò)渡橋梁。

例如:倍的初步認(rèn)識(shí)。

從孩子動(dòng)手操作入手:先擺2朵紅花，把這兩朵紅花看作一份，照這樣，擺出2份黃花，那么黃花的朵數(shù)就是紅花的2倍;照這樣擺出3份即3倍，擺出4份即4倍。

當(dāng)學(xué)生對(duì)于與一份數(shù)相比，“另一個(gè)數(shù)有這樣的幾份就是它的幾倍”已有初步認(rèn)識(shí)后，要求學(xué)生繼續(xù)動(dòng)手?jǐn)[:3個(gè)為一份，擺6個(gè)是幾倍?擺9個(gè)是幾倍?

當(dāng)學(xué)生根據(jù)老師的要求，能夠擺出來(lái)并分成“份”，回答出是“幾倍”后，再問(wèn):“以4朵紅花為一份，黃花是紅花的2倍，黃花應(yīng)該擺幾朵呢?”此時(shí)不允許學(xué)生動(dòng)手?jǐn)[，只能憑借表象去思考來(lái)回答問(wèn)題。這實(shí)際上就是運(yùn)用了表象，使得外部活動(dòng)變?yōu)閮?nèi)部的思考，最終成為智力活動(dòng)。這使學(xué)生對(duì)倍的概念有了清晰的、比較牢固的初步認(rèn)識(shí)和理解，為利用“倍”這個(gè)抽象概念解決問(wèn)題奠定了基礎(chǔ)，避免見到“倍”就乘，或見到“倍”就除的錯(cuò)誤。

由此可見，操作活動(dòng)數(shù)學(xué)化、外部活動(dòng)內(nèi)部化，是加大操作中的思維含量的關(guān)鍵所在，是我們?cè)谝龑?dǎo)孩子們動(dòng)手操作時(shí)必達(dá)的目標(biāo)，不容忽視。

二、加大動(dòng)手操作中“直觀學(xué)習(xí)”的思維含量

除上所述，我認(rèn)為，動(dòng)手操作中的思維含量不僅僅反映在學(xué)生的動(dòng)手操作中，同時(shí)也反映在直觀學(xué)習(xí)方式的運(yùn)用中。

有些數(shù)學(xué)問(wèn)題，借助于直觀的學(xué)習(xí)方式，問(wèn)題本身很容易得到解決，但是具體問(wèn)題的解決，并不意味著學(xué)生能力的提高，反而容易帶來(lái)一個(gè)問(wèn)題:直觀成了拐棍，思維含量明顯降低了。

例如，四年級(jí)教材中有這樣一道題:

洗衣機(jī)廠門市部，上午賣出洗衣機(jī)3臺(tái)，下午賣出同樣的洗衣機(jī)5臺(tái)，下午比上午多收貨款1512元，每臺(tái)洗衣機(jī)多少元?

如下圖:

通過(guò)這幅圖來(lái)解決這道題，簡(jiǎn)單到不能再簡(jiǎn)單的地步了，一眼就可以看出2臺(tái)對(duì)應(yīng)1512元。如果教學(xué)時(shí)，我們僅僅滿足于學(xué)生會(huì)解這道題，那么就是直觀替代了思維含量，起碼是連教材編寫要求的高度都沒(méi)達(dá)到，更甭說(shuō)解決什么更深一層次的問(wèn)題了。

編者為表明自己的意圖，在例題之后專門安排了兩道算一算。其中第一題是:

“洗衣機(jī)廠門市部，上午收貨款2268元，下午收貨款3780元，下午比上午多售出2臺(tái)洗衣機(jī)，每臺(tái)洗衣機(jī)多少元?”第二題是:“洗衣機(jī)廠門市部，上午收貨款2268元，下午收貨款3780元，全體共賣出洗衣機(jī)8臺(tái)。每臺(tái)洗衣機(jī)多少元?”

顯然，這兩道題的解答，不是例題的簡(jiǎn)單模仿，依樣畫葫蘆是畫不出來(lái)的。如果例題的處理不見深度，自然是連教學(xué)任務(wù)都完不成。因此，使用例題的插圖必須注意思維含量，比如此題可以讓學(xué)生在直觀圖的基礎(chǔ)上，理解2臺(tái)洗衣機(jī)對(duì)應(yīng)的價(jià)錢、3臺(tái)洗衣機(jī)對(duì)應(yīng)的價(jià)錢、5臺(tái)洗衣機(jī)對(duì)應(yīng)的價(jià)錢，(3+5)臺(tái)洗衣機(jī)對(duì)應(yīng)的價(jià)錢……由此使學(xué)生領(lǐng)悟到解答此類題的關(guān)鍵是“對(duì)應(yīng)思想”，而此種對(duì)應(yīng)情況無(wú)外乎有3種:和的對(duì)應(yīng)、差的對(duì)應(yīng)、某一部分的對(duì)應(yīng)。

這樣處理問(wèn)題，既充分利用了直觀形象，加深了理解，降低了解答難度，同時(shí)又加大了直觀中的思維含量，直觀學(xué)習(xí)方式很好地運(yùn)用了，更高層次的目標(biāo)也達(dá)到了。

綜上所述，我認(rèn)為要使動(dòng)手操作、運(yùn)用直觀不僅僅流于形式，教師應(yīng)該通過(guò)精心的設(shè)計(jì)，切實(shí)增加動(dòng)手操作中的思維含量，從而架起“動(dòng)手”與“動(dòng)腦”之間的橋梁，這樣，才能真正提升學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)。

作者單位:江蘇省常州市解放路小學(xué)