■王慶明羅蘭香

巧用方法 妙在變形
——談?wù)勄箨幱皥D形面積的十二種技巧

■王慶明羅蘭香

求組合圖形的面積是小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的難點之一。這類題目由于融識圖分析、基本幾何圖形的特性及計算、空間想象能力于一體，知識、能力的綜合性強。對于這類問題的解答，除了要熟練地掌握平面圖形的概念和面積公式之外，還要利用圖形運動變化的規(guī)律來尋求解答途徑，使一些表面上看來條件不足、不能計算的求積問題，通過轉(zhuǎn)化使圖形化繁為簡，使解題思路更加簡捷。這樣不僅能使我們熟練地掌握分析圖形和進(jìn)行面積計算的方法和技巧，還能有效地提高我們的識圖能力、分析綜合能力和空間想象能力。根據(jù)長期的教學(xué)實踐的探索與研究，下面談?wù)勂矫娼M合圖形求積的幾種方法。

一、去空求差法

去空求差即一個圖形由陰影部分和空白部分組成，從整個圖形中去掉空白部分而求得陰影部分面積的一種方法。

例1求陰影面積（單位：厘米）

分析與解答：此題的解題思路為：S陰影=S梯形-S扇形，已知：a=8 b=4 h=4 r=4 n=90°+90°÷2=135°所以：S陰影=（8+4）×4÷2-× 135=18.84（平方厘米）。

二、等分法

等分法是將所求部分等分成若干份，先求出一份，再求出要求圖形面積的方法。

例2在長方形ABCD中，Q為長邊的中點，P為寬為的中點，問下圖陰影部分面積占長方形的幾分之幾？

分析與解答：作輔助線QM、PN、MN，把長方形分為8等份，陰影部分的面積占3等份，故陰影部分的面積占長方形的。

三、割補法

割補法指在組合圖形中，把其中一部分圖形割下來，補在另一部分圖形有適當(dāng)位置上，使兩部分的陰影圖形相拼后，組成一個求積運算比較簡單的圖形。

例3求陰影部分的面積（單位：厘米）

分析與解答：把陰影部分的小半圓割下，補在上面的空白小半圓處。兩部分陰影圖形相拼，拼合成一個直徑是4厘米的半圓。

所以：S陰影=3.14×（4÷2）2÷ 2=6.28（平方厘米）

四、擴倍法

擴倍法是把圖形擴大倍數(shù)，先求擴倍的面積，再求原圖面積的方法。

例4求陰影部分的面積（單位：厘米）

分析與解答：將圖1擴大一倍變?yōu)閳D2，所以圖1陰影部分的面積為：10×10-3.14×5×5=21.5（平方厘米）。

五、平移法

平移法即把組合圖形中的一部分陰影圖形作水平移動，與另一部分陰影圖形相拼，組成一個求積運算比較簡單的圖形。

例5求下圖陰影部分的面積（單位：厘米）

分析與解答：把圖中左邊的陰影圖形向右作水平移動，與右邊的陰影圖形相拼，拼合成一個直角梯形。S陰影= [（6-2）+（4-2）]×2÷2=6（平方厘米）。

六、翻折法

翻折是指把一個圖形按某一直線翻折180°后所形成的新圖形的變化。在較復(fù)雜的計算陰影部分面積的幾何題中，有些題目運用分解法求解非常麻煩，但若能根據(jù)圖形及數(shù)據(jù)的特點，運用翻折法便可十分簡捷地得出解答。

例6求下圖陰影部分的面積（單位：厘米）

分析與解答：沿著OA把上面的圖形向下翻折，兩邊的陰影圖形拼合成一個三角形。所以S陰影=3×（3÷2）÷ 2=2.25（平方厘米）。

七、旋轉(zhuǎn)法

旋轉(zhuǎn)法是以組合圖形中的某一點為旋轉(zhuǎn)中心，把組合圖形中的一部分圖形旋轉(zhuǎn)，與另一部分圖形相拼，使陰影圖形變成一個求積運算比較簡單的圖形。

例7如圖，正方形ABCD的面積是36平方厘米，求陰影部分的面積。

分析與解答：設(shè)小圓半徑為r，4r2=36，r=3，大圓半徑為R，R2=2r2=18，將陰影部分通過轉(zhuǎn)動移在一起構(gòu)成半個圓環(huán)，所以陰影部分的面積為：

π（R2-r2）÷2=4.5π=14.13

八、等積變形法

等積變形法是通過圖形之間的等積變形而獲得其解的方法。

例8下圖梯形中兩個陰影部面積的和應(yīng)是多少平方厘米？

分析與解答：可根據(jù)同底等高的三角形面積相等，用添輔助線進(jìn)行等變形來解此題。因梯形的高為3×4÷ 5=厘米，連接BE，那么S三角形ASC= S三角形BCE，所以S陰影=S三角形BED=×（平方厘米）。

九、比例法

比例法是利用圖形之間的比例關(guān)系來解題的一種方法。

例9一塊長方形耕地，它由四個小長方形拼合而成，其中三個小長方形的面積分別為15、18、30公頃，圖中陰影部分的面積是多少？

分析與解答：因為陰影部分也是一長方形，所以只要求出它的長、寬是多少就行，為此設(shè)它的長、寬分別為a、b，面積為18公頃的長方形的長、寬分別為c、d，按公式便有：

a×c=15，c×d=18，b×d=30，

因為（a×c）×（b×d）=15×30，

而（a×c）×（b×d）=（a×b）×（c× d）=18×（a×b）

所以a×b=15×30÷18=25

陰影部分的面積為25公頃。

此題可以直接按比例關(guān)系來理解。因為（a×c）：（d×c）=（a×b）：（d×b），a：d=15：18=陰影面積：30，求出陰影面積為15×30÷18=25（公頃）。

十、等量代換法

等量代換法指一個圖形可以用與它相等的另一個圖形替換，如果甲乙大小相等，那么求出乙的大小，就知道甲的大?。粌蓚€圖形同時增加或減少相同的面積，它們的差不變。

例10平行四邊形ABCD的邊BC長8厘米，直角三角形ECB的直角邊EC長為6厘米。已知陰影部分的總面積比三角形EFG的面積大8平方厘米，平行四邊形ABCD的面積是多少？

分析與解答：陰影部分的總面積比三角形EFG的面積大8平方厘米，分別加上梯形FBCG，得出的平行四邊形ABCD比三角形EBC的面積大8平方厘米。

平行四邊形ABCD的面積：8×6÷ 2+8=32（平方厘米）。

十一、布列方程法

布列方程法是通過設(shè)未知數(shù)、布列方程而使問題獲得解答的方法。

例11 ABCD是一個長方形，BC=9厘米，CD=6厘米，且三角形ABE、三角形ADF和四邊形ABCF的面積彼此相等，求三角形AEF的面積是多少？

分析與解答：從圖中可以看出，三角形AEF的面積，等于四等邊AECF的面積與三角形ECF面積之差，由于三角形ABE、三角形ADF和四邊形AECF的面積彼此相等，而長方形ABCD的面積為6×9=54（平方厘米），所以四邊形AECF的面積為54÷3=18（平方厘米）。另外只要算出EC、FC的長度，便能求出三角形CEF的面積。

因為三角形ABE、ADF是直角三角形，面積都是18平方厘米。而根據(jù)面積公式有18=×AB×BE，18=× AD×DE，AB=6厘米，AD=9厘米，即得兩個簡易方程：×6×BE=18，× 9×DF=18，BE=6厘米，DF=4厘米。EC=BC-BE=9-6=3（厘米），CF=CDDF=6-4=2（厘米）。

十二、參數(shù)過渡法

有些題初看起來比較麻煩，一時難以找到解題途徑，如果通過一些字母（即參數(shù)）作為過渡，往往能迎刃而解，這樣的方法稱為參數(shù)過渡法。

例12在下圖中，正方形的面積是24平方厘米，求陰影部分的面積。

分析與解答：因圓的直徑正好是正方形的對角線，設(shè)圓的半徑為r，則正方形的面積為：r×2r××2=24，所以r=24÷（r×2r××2×）=12，因此陰影部分的面積為：S陰影=S圓-S正方形=3.14×12-24=13.68（平方厘米）。

除以上常用的12種方法外，還有重疊法、假設(shè)法、代數(shù)法和添輔助線法等等。由于組合圖形千變?nèi)f化，不可能有一固定的解題模式，所以應(yīng)對具體的問題進(jìn)行具體的分析。在認(rèn)真分析題意的基礎(chǔ)上，靈活發(fā)揮和借鑒上述解題的思想方法，一般的組合圖形面積問題都可以順利求解。

武漢市新洲區(qū)辛沖鎮(zhèn)河?xùn)|中心小學(xué)）

責(zé)任編輯 廖林