羅佩芳,黃 贊

(1.廣東培正學院 計算機科學與工程系, 廣東 廣州 510830;2.廣東培正學院 人文學科與基礎教學部, 廣東 廣州 510830)

離散數(shù)學是計算機科學的重點基礎理論課程.隨著時代的發(fā)展，各行各業(yè)對計算機的需求越來越大，因此作為支撐學科的離散數(shù)學的學習也變得越發(fā)重要.離散數(shù)學課程具有內(nèi)容廣泛，理論抽象，專業(yè)應用性強等特點，它所涉及的概念、方法和理論，大量地應用在數(shù)據(jù)結構、數(shù)據(jù)庫系統(tǒng)、編譯原理、人工智能、計算機體系結構、算法分析與設計、軟件工程、多媒體技術、數(shù)字電路、計算機網(wǎng)絡等專業(yè)課程以及信息管理、信號處理、模式識別、數(shù)據(jù)加密等相關課程中.離散數(shù)學的相關知識非常有益于學生概括抽象能力、邏輯思維能力、歸納構造能力的提高，十分有益于學生嚴謹、完整、規(guī)范的科學態(tài)度的培養(yǎng).這些能力與態(tài)度是一切軟、硬件計算機科學工作者所不可缺少的，也為學習計算機科學的后續(xù)課程、從事科研或工程技術工作以及進一步提高科學技術水平奠定理論基礎.針對計算機科學專業(yè)以及離散數(shù)學課程本身的特點，在實踐教學中，如何能使學生更好地學懂相關知識，培養(yǎng)良好的邏輯性思維和創(chuàng)造性思維，成為教學中一直在攻克的難題.范例教學作為一直很受歡迎的教學模式在許多課程教學中都有應用，在離散數(shù)學中恰當?shù)剡\用范例教學模式同樣可以得到非常理想的教學效果.

1 范例教學在離散數(shù)學教學中的積極作用

在離散數(shù)學教學中，一個恰當?shù)膶嵗梢詫虒W過程起到非常積極的作用，主要表現(xiàn)在以下方面.

1.1 運用范例教學有利于激發(fā)學生的求知欲望[1]

在數(shù)學家的眼中，離散數(shù)學很美，離散數(shù)學很有意思，可是在學生眼中離散數(shù)學卻很枯燥，很沒興趣.“興趣是最好的老師”，布魯納曾經(jīng)指出，最好的學習動機是學生對研究的東西有著內(nèi)在的興趣，學生一旦對所學知識產(chǎn)生興趣，就會產(chǎn)生愉悅的情緒，從而集中注意力去積極地思考問題.

在實際教學中以實例作為課程引入可以很好地激發(fā)學生的求知欲望.講到圖論部分時，在介紹抽象概念之前，先舉哥尼斯堡七橋問題[2]作為引入.當說明這個問題的背景后，提出哥尼斯堡問題：一個散步者能否一次走遍7座橋，而且每座橋只許通過一次，最后仍回到起始地點？當描述完問題后，學生們都躍躍欲試，在練習紙上不停地勾畫，這樣的引入使學生產(chǎn)生深厚的興趣，帶著想要解決問題的求知欲望，進而悅然接受知識，然后教者再將哥尼斯堡七橋問題轉化為對應的圖和圖論問題，既介紹了數(shù)學史的知識，又引入了歐拉圖的一個重要背景.抽象的概念總是相對難以理解和接受，而生動的實例總是更引人入勝的.從而能很大程度上激發(fā)學生的求知欲望.

1.2 運用范例教學有利于對理論知識的深入理解

在離散數(shù)學中概念非常多，很多理論也相對很抽象，學生很難理解，特別是一些有關運算方法理論的教學，方法理論講清楚了，學生會做運算了，但是如果沒有一些相對應的實例進行實際應用去加深知識的理解，學生學過不用多久，如果兩周時間不提這個知識點，就會差不多忘記了，不能真正地建構到學生自己的知識體系中.面對這一問題，范例教學是很好的解決方法.

在講到數(shù)理邏輯中有關主析取范式的求法時，求解方法以及步驟的講解用了大量的時間，從課本求主析取范式的例題到課后作業(yè)，邊講邊總結求法，學生基本都掌握了求解方法，但是學生還是不太清楚如何去用這個知識點，用這個知識做什么？難道只是為了求公式的主析取范式嗎？當然不是，學習這門課程的意義并不在于此，而在于課程中所反映的思想，如何能去真正用到實際問題中.針對這種情況，上課時一個恰當?shù)膶嵗龖?，能讓學生更深一步理解理論知識，同時更有利于理解學習這一知識點的真正意義.實際教學中為了更吸引學生的注意力，舉了有關五個上課同學在內(nèi)的這樣一個實例.

例1 某公司要從趙妍、錢福泰、孫博、李奕欣、周毅峰五名新畢業(yè)的大學生中選派一些人出國學習.選派必須滿足以下條件：

(1)若趙妍去，錢福泰也去；(2)李奕欣、周毅峰兩人中至少有一人去；(3)錢福泰、孫博兩人中有一人去且僅去一人；(4)孫博、李奕欣兩人同去或同不去；(5)若周毅峰去，則趙妍、錢福泰也去.

試用主析取范式法分析該公司如何選派他們出國？

解①設p：派趙去，q：派錢去，r：派孫去，s：派李去，u：派周去.

②(1)(p→q)；(2)(s∨u)；(3)((q∧r)∨(q∧r))；(4)((r∧s)∨(r∧s))；(5)(u→(p∧q)).

③(1)～(5)構成的合取式為

A=(p→q)∧(s∨u)∧((q∧r)∨(q∧r))∧((r∧s)∨(r∧s))∧((u→(p∧q))

④A?(p∧q∧r∧s∧u)∨(p∧q∧r∧s∧u)

⑤結論:由④可知，A的成真賦值為00110與11001，因而派孫博、李奕欣去(趙妍、錢福泰、周毅峰不去)或派趙妍、周毅峰、周去(孫博、李奕欣不去).

這個實際中的問題實質上在運用主析取范式法進行求解的，通過這個實例后，學生對這個知識點有了更深一步的理解，并能運用到實際生活中.由此可見，范例教學有利于對理論知識的深一步理解.

1.3 運用范例教學有利于培養(yǎng)學生多維思維能力

離散數(shù)學所涉及的思想可以培養(yǎng)學生良好的邏輯思維能力與思維的嚴謹性，提升抽象思考和嚴格推理能力，為學生提高專業(yè)理論水平打下堅實的基礎，能為后續(xù)專業(yè)理論課的學習作好準備.而邏輯思維能力的培養(yǎng)與思維嚴謹性的形成是一個漫長而艱難的過程，而一些好的實例則非常有利于這一過程的形成[4].

在實際教學中，抽象思維的鍛煉非常重要，一個恰當?shù)膶嵗?，在學習過程中往往起到事半功倍的作用.在講到圖論部分時，有關“握手定理”的內(nèi)容是很容易理解，教學中經(jīng)常會應用“握手定理”去判斷所給的數(shù)列是否能構成圖的度數(shù)列，這種例子也只是停留在定理表面的應用，為了更深刻地理解定理，訓練學習的抽象思維，可參見以下實例[3].

例2 證明3維空間中不存在具有奇數(shù)個面且每個面都具有奇數(shù)條棱的多面體.

此題剛一看似乎與“握手定理”沒有關系，在實際講解要把握這一點，引導學習進入抽象思維的境界，在這里將多面體中的每個面抽象為圖中的點，而面與面之間的公共的棱抽象為圖的邊，問題就轉化為是否存在具有奇數(shù)個頂點，且每個頂點的度都為奇數(shù)的圖的問題.當如此抽象把問題轉化為已經(jīng)學習過圖的問題時學生們豁然開朗，感覺到思考問題的這樣抽象的過程是一個非常有意思的活動，進而產(chǎn)生積極情緒去完成學習.

上例的證明過程如下：用反證法.假設存在這樣的多面體,作無向圖G=,其中V={v|v為多面體的面},E={(u,v)|u,vV∧u與v有公共的棱∧u≠v}.根據(jù)假設,|V|為奇數(shù)且?v∈V,d(v)為奇數(shù).則可得奇數(shù)個項點每個頂點的度都是奇數(shù)，那么所有頂點的度數(shù)之和一定是奇數(shù)，這與握手定理矛盾所以假設不成立，結論正確.

一個生活中的實際問題的實例，更能讓學生接受，也更有利于培養(yǎng)學生的多維思維的能力.實際生活經(jīng)常會有同學去參加婚禮，而在婚禮中來的賓客都是男女雙方的朋友或親戚，他們不一定都是認識，對于這一大家非常熟悉的現(xiàn)象，引入以下實例.

例3 小王與小趙的結婚宴會上請了一些客人，宴會主持人走到其中一個10人圍成的圓桌前，問他們各自認識其余的9人中的幾個人，結果他們的回答結果各不相同，請問這可能嗎？試說明理由.(注意：這里的“認識”是相互的，即A認識B，B也認識A.)

當問題提出后，學生的思維是活躍的，對于一個實際問題的感興趣是很積極的向導，指導著學生的思維.雖然思考問題的過程是一個復雜的思維過程，但是如果經(jīng)過鍛煉后，思維的趨向性還是很容易形成的，很快學生們就能將10個人抽象為10個點，將兩人之間的認識關系抽象為點與點之間的邊，則問題實際是轉化為討論是否可能存在由10個點且每個點的度都各不相同的簡單無向圖.

對于上述例子的情況是不可能的.學生們利用“握手定理”便可導出矛盾.此例更能體現(xiàn)范例教學有利于培養(yǎng)學生的多維思維能力.

2 范例教學在離散數(shù)學教學中應用時應注意的問題

離散數(shù)學課程的內(nèi)容比較多，反映的原理有些很抽象，很難理解應用，針對這些特點，在離散數(shù)學教學中，適當引入實例有利于教學，能有效地提高教學效率，但在實際教學中應用實例時應把握時機，把握分寸，適時地引入恰當?shù)膶嵗拍芨欣诮虒W.

2.1 范例教學的內(nèi)容引入要適當，盡量有趣

在引入實例時，內(nèi)容至關重要.第一，要考慮有可接受性，盡量有一定的趣味性，同時要適當接受知識的人群，以便引起學生的興趣，產(chǎn)生積極的求知情緒，主動參與到學習活動中.實例中涉及到的知識內(nèi)容應當盡量結合學生已有的知識體系及當前階段正學習的內(nèi)容，問題難度應當適中，處理過程不要過于復雜，以免令學生產(chǎn)生抵觸情緒，反而防礙教學.在內(nèi)容的安排上，所涉及的理論、方法和計算都不要太復雜，要進入的門檻“低”，同時要接近大多數(shù)學生的實際水平，以使他們能切實參加到實例中.第二，在內(nèi)容又應該留有充分余地，以利于不同水平的學生發(fā)揮使他們各得其所，尤其要讓某些同學的創(chuàng)新意識或突出能力有可能在實例中不同環(huán)節(jié)的得到顯示.第三，取材應盡可能廣泛，考慮實際背景，而且盡可能反映多種領域，反映新學科分支，同時要盡可能反映現(xiàn)實生活.在實際教學中，可供選擇的實例很多，有警察推案問題(如“到底誰是小偷的推理問題”)，也有金融問題(“使用二叉樹方法”)，有涉及信息技術的問題(“Hill密碼的加密、解密和破譯”)，也有非線性科學問題.在具體使用時根據(jù)學生的知識背景適當選擇，可以豐富生動的題材有利于擴大學生的知識面，同時提高對數(shù)學作用的認識.

2.2 引入實例要適時，把握時機

離散數(shù)學知識內(nèi)容有些比較抽象，難理解，引入實例來讓學生理解是非常必要的，但要注意把握引入的時機，不要過早，要做到適時.在新課程引入時一般不引入理論性強的實例，如果想引入實例應該考慮一些有關知識背景的數(shù)學史方面的，一些有趣的小故事，往往可以引起學生的興趣，激發(fā)求知欲望；在課程內(nèi)容傳授過程中，要在所學知識的基本理論已經(jīng)講授后，學生對這一方面的知識有一定了解時，再結合所正在學習的知識引入實例，目的是加深前面知識的理解，同時能充分去應用所學知識，為后續(xù)學習打下基礎.當然引入實例時要考慮學生的學習程度，在學生已經(jīng)學習過這一方面知識，并且已經(jīng)達到理解，運用自如時，就不能再引入那些很容易理解，顯然易見的例子，那樣做無非會引起學生的厭煩，沒有積極性，引入實例沒有起到任何實際教學效果，毫無意義，可能還會起到消極影響.所以實例在引入時要注意把握時機，適時地引入恰當?shù)膶嵗拍芴岣呓虒W效果.

2.3 運用范例教學法時要注意講授方法

在選取適當實例的基礎上，并能把握好時機地引入實例，同時也要注意講授實例的方法.針對離散數(shù)學課以及計算機專業(yè)的特點，一般可以采用講授與訓練相結合，課內(nèi)與課外相結合，理論推導及運算與上機操作相結合等方式.當講授到一些理論推理實例時，最好采用講授與訓練相結合，教師講授問題的轉化，然后讓學生嘗試練習完成推理.當引入帶有理論及運算的實例時，最好要與上機操作相結合，教師先講授實例的理論背景與實例考察的知識要求，然后布置任務，讓學生分組討論后再上機操作，比如講授到最佳前綴碼時，這種方法比較好.這樣做可以讓學生在理論指導下解決實例的同時進行上機操作輔導解答或是驗證結論，這樣訓練有助于學生對知識的理解，同時有利于學生將學習的知識應用到計算機專業(yè)的其他課程中，為后續(xù)的學習打下堅實基礎.對于一些需要學生切身參與的實例，可以采用課內(nèi)與課外相結合的方式，教師課內(nèi)布置實例內(nèi)容，然后學生課后切身參與解答，以報告的形式反饋給教師，教師再在課堂內(nèi)總結.總之，在運用范例教學法時，要根據(jù)具體的教學實際內(nèi)容來選擇適當?shù)闹v授方法，但并無定式，目的是為了能讓學生更好地從實例中所反映的知識中受益，更大程度地提高教學效率.

3 結論

離散數(shù)學作為一門計算機科學的重點基礎理論課程，可以培養(yǎng)學生的良好的邏輯思維及嚴謹?shù)倪壿嬐评砟芰Γ転楹罄m(xù)學習其他專業(yè)課打下良好的基礎.在教學中運用范例教學法可以有利于激發(fā)學生的求知欲望，有利于對理論知識的深刻理解，有利于培養(yǎng)學生的多維思維能力，在教學中起著非常積極的作用.同時，在運用范例教學時要注意內(nèi)容的選擇要適當，教師豐富的知識背景也非常重要，實例的獲取可參見文獻[5]，同時引入實例的時機要適時，教師要注意使用適當?shù)闹v授方法，這樣才能更好地提高教學效率.

參考文獻：

[1]仇利克,趙靜,趙揚帆.淺析計算機科學與技術專業(yè)中“離散數(shù)學”教學方法的改進[J].計算機教育,2009(24).

[2]楊炳儒.離散數(shù)學[M].北京:人民郵電出版社,2006:297.

[3]屈婉玲,耿素云,張立昴.離散數(shù)學[M].北京:高等教育出版社,2008:40,292.

[4]王禮萍,徐亞蘭.離散數(shù)學與思維訓練[J].科技信息,2008(30).

[5]王俊邦,羅振聲.趣味離散數(shù)學[M].北京:北京大學出版社,1998.