衛(wèi)洪濤，孔憲仁

（哈爾濱工業(yè)大學(xué) 衛(wèi)星技術(shù)研究所，哈爾濱 150001）

0 引言

隨著航天技術(shù)的進(jìn)步，航天器構(gòu)造趨向于復(fù)雜化，其結(jié)構(gòu)的非線性振動(dòng)是航天工程領(lǐng)域一直都非常感興趣的課題，尤其是航天器地面振動(dòng)試驗(yàn)中的頻率漂移現(xiàn)象得到了研究人員的重點(diǎn)關(guān)注。航天器的基頻在星箭力學(xué)環(huán)境中是最重要的參數(shù)之一，因此研究航天器頻率漂移的機(jī)理對(duì)于航天工程具有重要意義，不但能夠?yàn)楹教炱鞯脑O(shè)計(jì)和制造提供重要參考價(jià)值，而且可以為抑制已經(jīng)做好的航天器的頻率漂移提供解決思路。一般認(rèn)為，航天器的組成材料，如蜂窩夾層板以及某些組合的連接結(jié)構(gòu)存在非線性因素，是整個(gè)航天器頻率漂移的主要原因。

本文研究了一個(gè)一端夾支、另一端帶非線性連接結(jié)構(gòu)的梁的非線性振動(dòng)，主要目的是研究連接結(jié)構(gòu)的非線性對(duì)整梁振動(dòng)的幅頻響應(yīng)的影響。非線性邊界條件下梁振動(dòng)研究，前人的文獻(xiàn)中已經(jīng)有很多涉及了，如A. Ferri等在一系列的文章中[1-5]研究了梁的兩端在不同邊界支撐條件下的振動(dòng)情況：文獻(xiàn)[1]提出了一個(gè)航天器上的套筒連接結(jié)構(gòu)的力學(xué)模型，該模型考慮了連接結(jié)構(gòu)的間隙、阻尼及干摩擦力；文獻(xiàn)[2]利用簡化的套筒連接結(jié)構(gòu)研究了柔性梁系統(tǒng)的振動(dòng)，利用單振型近似及數(shù)值方法得到了系統(tǒng)的幅頻響應(yīng)；文獻(xiàn)[3]研究了阻尼和摩擦邊界條件對(duì)梁的振動(dòng)的影響，分別對(duì)3種不同的摩擦力情況進(jìn)行了討論；文獻(xiàn)[4]研究的連接結(jié)構(gòu)模型考慮了面內(nèi)的彈簧力、梁與套筒內(nèi)壁摩擦導(dǎo)致的面內(nèi)摩擦力、套筒連接引入系統(tǒng)的橫向剪切彈力及端點(diǎn)彎矩，利用線性振型，用伽遼金近似法研究了一端夾支、另一端具有套筒連接邊界條件的梁的振動(dòng)，著重討論了系統(tǒng)的阻尼與連接結(jié)構(gòu)模型參數(shù)之間的關(guān)系；文獻(xiàn)[5]考慮了一個(gè)具有特殊邊界條件的梁的振動(dòng)，利用諧波平衡法和多振型近似數(shù)值積分法，研究了系統(tǒng)響應(yīng)和邊界條件參數(shù)之間的關(guān)系，對(duì)比了單振型和多振型研究對(duì)結(jié)果的影響。A. Ferri等的工作在研究間隙的存在對(duì)系統(tǒng)響應(yīng)的影響方面涉及比較少。S. M. Wiedemann研究了幾種非線性邊界條件下梁的振型，并且提出了一種求任意邊界條件梁的振型的方法[6]。在研究梁振動(dòng)系統(tǒng)中間隙對(duì)系統(tǒng)振動(dòng)的影響方面，有如下代表：F. C. Moon等研究了一端夾支、另一端具有阻擋的懸臂梁的受迫振動(dòng)，采取了類似振型轉(zhuǎn)換的方法即單振型近似法和伽遼金方法，利用一個(gè)特殊點(diǎn)的振幅連續(xù)簡化了系統(tǒng)的振動(dòng)方程（這里稱其為連續(xù)振型法以區(qū)別于振型轉(zhuǎn)換法），揭示了系統(tǒng)在此研究下的混沌振動(dòng)[7]；H. Chuang研究了一端夾支、另一端具有帶間隙的單線性彈簧阻擋的非線性振動(dòng)，總結(jié)了在其以前的文獻(xiàn)研究中的兩種方法即力積分法和振型轉(zhuǎn)化法，并分別利用這兩種方法對(duì)其模型進(jìn)行了數(shù)值研究，討論了阻擋彈簧的剛度與間隙大小對(duì)系統(tǒng)響應(yīng)的影響[8]。

本文的研究主要基于A. Ferri的簡化套筒連接模型，僅考慮端點(diǎn)的橫向剪切彈力，給連接結(jié)構(gòu)引入了間隙，利用改進(jìn)的振型轉(zhuǎn)化法以及連續(xù)振型方法，即采用伽遼金法推導(dǎo)了此條件下梁的運(yùn)動(dòng)方程，并且針對(duì)一個(gè)算例，討論了連接結(jié)構(gòu)的間隙對(duì)梁的幅頻響應(yīng)的影響。

1 系統(tǒng)建模

本文用以研究間隙對(duì)梁的非線性振動(dòng)影響的系統(tǒng)模型如圖1所示。

圖1 梁系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖Fig. 1 Schematic diagram of the beam system structure

在圖1中：F為均布載荷激勵(lì)力；P(t)為端點(diǎn)所加的預(yù)緊力；Δ為所加間隙；K為橫向剪切反力剛度。與文獻(xiàn)[8]不同的是，這里的端點(diǎn)邊界條件為上下均有彈簧提供端點(diǎn)反力。

1.1 梁的運(yùn)動(dòng)方程

圖1所示邊界條件的梁系統(tǒng)，根據(jù)端點(diǎn)位移的大小其運(yùn)動(dòng)方程有兩種：懸臂梁運(yùn)動(dòng)方程和受連接結(jié)構(gòu)限制的梁運(yùn)動(dòng)方程。當(dāng)端點(diǎn)在間隙內(nèi)運(yùn)動(dòng)時(shí)，系統(tǒng)可以認(rèn)為是懸臂梁；當(dāng)端點(diǎn)接觸到連接結(jié)構(gòu)的內(nèi)壁時(shí)，是具有非線性連接結(jié)構(gòu)的梁系統(tǒng)。

首先考慮梁連接結(jié)構(gòu)處無預(yù)緊力P( t)作用時(shí)的情況，帶預(yù)緊力的情況在下文中闡述。系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)方程可以表達(dá)為：

1）懸臂梁

2）非線性連接結(jié)構(gòu)梁[4]

在(2)式中：V(t)為端點(diǎn)彈簧提供的橫向反力；δ( x - L)為狄拉克函數(shù)；在下文的數(shù)值求解時(shí)，令激勵(lì)力F( x,t)沿x方向無變化即 F( x,t) = Fc os(Ω t)，其中F為幅值；ρA為單位長度質(zhì)量；A為梁橫截面積；I為慣量；E為彈性模量。利用伽遼金法求上述方程的近似解，不失一般性，假設(shè)時(shí)間t1之前梁的端點(diǎn)在間隙內(nèi)運(yùn)動(dòng)，也就是系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)在懸臂梁狀態(tài)，則梁上任一點(diǎn)的橫向位移可以表示為

式中?n(x)為懸臂梁振型，an( t)為各階振型的振幅，此時(shí)，端點(diǎn)位移 -Δ ＜w( L, t)＜Δ。假設(shè)t1至t2時(shí)間段為梁的端點(diǎn)與連接結(jié)構(gòu)的內(nèi)壁接觸時(shí)間段，也就是系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)處在受限運(yùn)動(dòng)狀態(tài)，那么此段時(shí)間內(nèi)，梁上任一點(diǎn)橫向位移可以表示為

其中

1）懸臂梁

2）非線性連接結(jié)構(gòu)梁

在(6)、(7)式中：

對(duì)于一個(gè)實(shí)際的算例，引入系統(tǒng)參數(shù)后對(duì)上面的微分方程組進(jìn)行數(shù)值求解，當(dāng)系統(tǒng)振動(dòng)在懸臂梁和受限振動(dòng)狀態(tài)之間轉(zhuǎn)換時(shí)，需要知道轉(zhuǎn)換后方程的初值，即t1+、t2+時(shí)刻的位移和速度（作者按：t1、t2時(shí)刻為滿足切換條件的時(shí)刻，是整個(gè)時(shí)間區(qū)間上的一點(diǎn)；而 t1+、t2+是表示過了切換時(shí)刻的時(shí)刻，如果用時(shí)間區(qū)間表示：(0,t1-) t1(t1+,∞)），利用振型的正交性由(4)式得到

將(3)、(5)式代入(8)式中，利用振型的正交性可以得到在t1+時(shí)刻受限運(yùn)動(dòng)狀態(tài)各振型方程的初值：

當(dāng)時(shí)刻t2梁的端點(diǎn)從受限狀態(tài)回到懸臂梁狀態(tài)時(shí)，有

考慮在系統(tǒng)端點(diǎn)處施加預(yù)緊力時(shí)，僅需在 (1)、(2)式右端加入常量力P，后續(xù)處理步驟不變，且轉(zhuǎn)換狀態(tài)時(shí)系統(tǒng)初值也不受影響。即：

1）懸臂梁（帶預(yù)緊力）

2）非線性連接結(jié)構(gòu)梁（帶預(yù)緊力）

后續(xù)處理方法如(3)式至(13)式。

1.2 受限振動(dòng)梁振型

在套筒連接結(jié)構(gòu)內(nèi)有間隙的情況下（見圖1），假設(shè)套筒對(duì)梁施加橫向剪切反力等同于理想彈簧，不考慮沖擊效應(yīng)，當(dāng)梁端點(diǎn)接觸到連接結(jié)構(gòu)內(nèi)壁后，系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)立刻在受限狀態(tài)下振動(dòng)，此時(shí)梁等同于端點(diǎn)處有連接結(jié)構(gòu)的邊界條件，受到套筒的橫向剪切力。根據(jù)S. M. Wiedemann的方法[6]求此邊界條件梁的振型，有邊界條件：

假設(shè) ?n(x)為所要求的振型表達(dá)式，并將上面4個(gè)邊界條件引入到梁振型的一般形式，則

其中 kn、An～Dn為各振型參數(shù)。由(16)式的前兩個(gè)邊界條件可以得到 Ci=-Ai，Di=-Bi，將其代入到(16)式后面的邊界條件中，可以得到矩陣的表達(dá)形式

其中 dij為引入邊界條件后的表達(dá)式，這里用符號(hào)代替。簡單令 Ai= 1，由(18)式可以得到振型函數(shù)系數(shù)Bi的表達(dá)式，至此An、 Bn、 Cn、 Dn均已解出，然后利用式(18)An、 Bn具有非平凡解的條件，矩陣的行列式為零，可解出各階振型表達(dá)式對(duì)應(yīng)的kn。

對(duì)于實(shí)際的系統(tǒng)，可以求得不同彈簧剛度時(shí)受限振動(dòng)梁的振型，如圖2所示。

圖2 不同的邊界彈簧剛度時(shí)梁的一階振型Fig. 2 First order modes for different boundary spring’s stiffness

由圖2可以看出，隨著端點(diǎn)彈簧剛度由0遞增，從振型上看，梁的端點(diǎn)位移實(shí)際上是先增大到一定程度而后開始逐漸減小。

2 算例及討論

針對(duì)一個(gè)實(shí)際的例子來求數(shù)值解。在前人的研究中，為了計(jì)算的方便，往往在一定的假設(shè)條件下對(duì)梁位移進(jìn)行單振型簡化。假定振型之間具有正交性，各振型之間沒有內(nèi)共振；在這樣的前提下[9]，單振型近似的結(jié)果也是有意義的。本文首先利用單振型近似法進(jìn)行研究，研究中還利用改進(jìn)的狀態(tài)轉(zhuǎn)換法和連續(xù)振型法[7]兩種不同的處理方法進(jìn)行求解，并對(duì)比了它們的結(jié)果。系統(tǒng)參數(shù)如下：

單位長度質(zhì)量ρA=3.255 2 kg/m；

梁長L=2 m；

梁橫截面積A=1.470 3×10-4m2；

慣量I=1.014×10-8kg/ m2；

彈性模量E=7.45×1010N/ m2；

端點(diǎn)彈簧剛度K=4.7×102N/ m。

2.1 單振型近似法

如上所述，懸臂梁振型和非線性連接結(jié)構(gòu)振型均取1階。在這種條件下，伽遼金法處理后的系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)方程有（帶預(yù)緊力情況略）

1）懸臂梁

2）非線性連接梁

在(20)、(21)兩式中，下標(biāo)代表一階。

對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行掃頻激勵(lì)，其步驟如下：

1）首先確定掃頻區(qū)間[Ω1, Ω2]、幅值F，將F cos(Ω t ),Ω1＜Ω＜Ω2代入方程，利用 MATLAB，Ode4求解系統(tǒng)，積分步長為10-4s；

2）數(shù)值求解時(shí)，始終檢查梁端點(diǎn)的位移大小，當(dāng)端點(diǎn)位移的絕對(duì)值時(shí)，系統(tǒng)振動(dòng)的狀態(tài)發(fā)生改變，用MATLAB內(nèi)建的Stateflow進(jìn)行邏輯控制，將方程各變量系數(shù)及積分初值轉(zhuǎn)換，可以得到該激勵(lì)頻率Ω下，梁端點(diǎn)位移的時(shí)域響應(yīng)；

3）取20 s的時(shí)間歷程，舍棄前面8 s的數(shù)據(jù)，以保證不受瞬態(tài)響應(yīng)的影響，取保留數(shù)據(jù)的最大值與最小值之差的一半為響應(yīng)幅值；

圖3和圖4分別表示利用振型轉(zhuǎn)換法得到的在有、無預(yù)緊力條件下的幅頻響應(yīng)圖。

圖3 無預(yù)緊力梁端點(diǎn)幅頻響應(yīng)（振型轉(zhuǎn)換法）Fig. 3 Frequency response of the beam end without preload (mode transfer method)

圖4 有預(yù)緊力梁端點(diǎn)幅頻響應(yīng)（振型轉(zhuǎn)換法）Fig. 4 Frequency response of the beam end with preload (mode transfer method)

2.2 帶阻擋的懸臂梁

文獻(xiàn)[7]在研究帶阻擋的懸臂梁的振動(dòng)時(shí)，利用了同上面單振型的振型轉(zhuǎn)換方法類似的方法，巧妙地利用梁上特定長度點(diǎn)的振幅對(duì)系統(tǒng)的振幅進(jìn)行連續(xù)性處理，從而不必求系統(tǒng)切換時(shí)微分方程的初值，這里采用其思想研究單振型時(shí)系統(tǒng)的幅頻響應(yīng)情況，以此與上面的振型轉(zhuǎn)換方法進(jìn)行互相印證。主要方法是，梁任一點(diǎn)的橫向位移可以表達(dá)為：

其中： as?1(L)=Δ?？紤]梁上一個(gè)特殊點(diǎn)x1，該點(diǎn)可令?1(x1)=1，那么在該點(diǎn)，梁的橫向位移可以表達(dá)為：

令 w( x1, t) ＜as時(shí)，該點(diǎn)振幅 a1( t) =a( t)，w( x1, t) ＞as時(shí)，該點(diǎn)振幅 as+a2( t) ?2(x1) =a( t )。可以得到：

利用(24)式，可以將振型轉(zhuǎn)換法的系統(tǒng)方程統(tǒng)一為a( t)變量，從而不必在系統(tǒng)切換時(shí)求a1( t)和a2( t)的初值。

利用上面的處理步驟，數(shù)值求解步驟與上面相同，可以求得系統(tǒng)的幅頻響應(yīng)。圖5和圖6分別表示利用連續(xù)振型法得到的在有、無預(yù)緊力條件下的幅頻響應(yīng)圖。

圖5 有無預(yù)緊力梁端點(diǎn)幅頻響應(yīng)（連續(xù)振型法）Fig. 5 Frequency response of the beam end with and without preload (continuous mode method)

圖6 有預(yù)緊力單振型梁端點(diǎn)幅頻響應(yīng)（連續(xù)振型法）Fig. 6 Frequency response for one mode approximation with preload (continuous mode method)

從上面的結(jié)果看，兩種方法得到在不同量級(jí)激勵(lì)力作用下和在有、無預(yù)緊力前置兩種條件下的系統(tǒng)幅頻響應(yīng)圖幾乎完全相同。單振型方法僅僅是對(duì)實(shí)際模型的一種近似，但其結(jié)果對(duì)于研究間隙對(duì)一端夾支、另一端帶連接結(jié)構(gòu)的梁振動(dòng)的影響是有參考意義的?？梢钥闯?，當(dāng)系統(tǒng)沒有預(yù)緊力時(shí)，間隙的存在令梁系統(tǒng)具有“硬彈簧”屬性，當(dāng)激勵(lì)力增加，端點(diǎn)的振幅響應(yīng)峰值持續(xù)向高頻漂移。當(dāng)系統(tǒng)存在預(yù)緊力時(shí)，其幅頻響應(yīng)圖與無預(yù)緊力時(shí)的結(jié)果對(duì)比相差很大：小激勵(lì)力時(shí)系統(tǒng)的基頻高于無預(yù)緊力時(shí)的情況，端點(diǎn)的幅頻響應(yīng)首先呈現(xiàn)“軟彈簧”特性，隨著激勵(lì)力增大，響應(yīng)峰值向低頻漂移；當(dāng)向低頻漂移一定程度后，繼續(xù)增大激勵(lì)力，系統(tǒng)響應(yīng)反而呈現(xiàn)“硬彈簧”特性，響應(yīng)峰值向高頻漂移。

3 結(jié)論

本文針對(duì)一個(gè)一端夾支，另一端有帶間隙的連接結(jié)構(gòu)的梁系統(tǒng)模型，將系統(tǒng)簡化后研究了連接結(jié)構(gòu)中的間隙對(duì)系統(tǒng)振動(dòng)幅頻響應(yīng)的影響。簡化后的模型僅僅考慮了連接結(jié)構(gòu)對(duì)梁的橫向剪切力。采用了改進(jìn)的振型轉(zhuǎn)換法以及連續(xù)振型法兩種方法，并按伽遼金法處理從而得到數(shù)值求解方程，研究了單振型近似情況下梁在遞增激勵(lì)力作用下的頻率漂移。從結(jié)果來看，間隙的存在結(jié)合有、無預(yù)緊力的前提條件，可以令系統(tǒng)的幅頻響應(yīng)呈現(xiàn)軟彈簧或者硬彈簧的屬性，本文的結(jié)果對(duì)于研究航天器地面振動(dòng)試驗(yàn)中的頻率漂移現(xiàn)象具有參考價(jià)值。

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