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        一個(gè)帶間隙連接結(jié)構(gòu)對(duì)梁基頻漂移影響研究

        2010-03-20 08:23:22衛(wèi)洪濤孔憲仁
        航天器環(huán)境工程 2010年6期
        關(guān)鍵詞:幅頻端點(diǎn)邊界條件

        衛(wèi)洪濤,孔憲仁

        (哈爾濱工業(yè)大學(xué) 衛(wèi)星技術(shù)研究所,哈爾濱 150001)

        0 引言

        隨著航天技術(shù)的進(jìn)步,航天器構(gòu)造趨向于復(fù)雜化,其結(jié)構(gòu)的非線性振動(dòng)是航天工程領(lǐng)域一直都非常感興趣的課題,尤其是航天器地面振動(dòng)試驗(yàn)中的頻率漂移現(xiàn)象得到了研究人員的重點(diǎn)關(guān)注。航天器的基頻在星箭力學(xué)環(huán)境中是最重要的參數(shù)之一,因此研究航天器頻率漂移的機(jī)理對(duì)于航天工程具有重要意義,不但能夠?yàn)楹教炱鞯脑O(shè)計(jì)和制造提供重要參考價(jià)值,而且可以為抑制已經(jīng)做好的航天器的頻率漂移提供解決思路。一般認(rèn)為,航天器的組成材料,如蜂窩夾層板以及某些組合的連接結(jié)構(gòu)存在非線性因素,是整個(gè)航天器頻率漂移的主要原因。

        本文研究了一個(gè)一端夾支、另一端帶非線性連接結(jié)構(gòu)的梁的非線性振動(dòng),主要目的是研究連接結(jié)構(gòu)的非線性對(duì)整梁振動(dòng)的幅頻響應(yīng)的影響。非線性邊界條件下梁振動(dòng)研究,前人的文獻(xiàn)中已經(jīng)有很多涉及了,如A. Ferri等在一系列的文章中[1-5]研究了梁的兩端在不同邊界支撐條件下的振動(dòng)情況:文獻(xiàn)[1]提出了一個(gè)航天器上的套筒連接結(jié)構(gòu)的力學(xué)模型,該模型考慮了連接結(jié)構(gòu)的間隙、阻尼及干摩擦力;文獻(xiàn)[2]利用簡化的套筒連接結(jié)構(gòu)研究了柔性梁系統(tǒng)的振動(dòng),利用單振型近似及數(shù)值方法得到了系統(tǒng)的幅頻響應(yīng);文獻(xiàn)[3]研究了阻尼和摩擦邊界條件對(duì)梁的振動(dòng)的影響,分別對(duì)3種不同的摩擦力情況進(jìn)行了討論;文獻(xiàn)[4]研究的連接結(jié)構(gòu)模型考慮了面內(nèi)的彈簧力、梁與套筒內(nèi)壁摩擦導(dǎo)致的面內(nèi)摩擦力、套筒連接引入系統(tǒng)的橫向剪切彈力及端點(diǎn)彎矩,利用線性振型,用伽遼金近似法研究了一端夾支、另一端具有套筒連接邊界條件的梁的振動(dòng),著重討論了系統(tǒng)的阻尼與連接結(jié)構(gòu)模型參數(shù)之間的關(guān)系;文獻(xiàn)[5]考慮了一個(gè)具有特殊邊界條件的梁的振動(dòng),利用諧波平衡法和多振型近似數(shù)值積分法,研究了系統(tǒng)響應(yīng)和邊界條件參數(shù)之間的關(guān)系,對(duì)比了單振型和多振型研究對(duì)結(jié)果的影響。A. Ferri等的工作在研究間隙的存在對(duì)系統(tǒng)響應(yīng)的影響方面涉及比較少。S. M. Wiedemann研究了幾種非線性邊界條件下梁的振型,并且提出了一種求任意邊界條件梁的振型的方法[6]。在研究梁振動(dòng)系統(tǒng)中間隙對(duì)系統(tǒng)振動(dòng)的影響方面,有如下代表:F. C. Moon等研究了一端夾支、另一端具有阻擋的懸臂梁的受迫振動(dòng),采取了類似振型轉(zhuǎn)換的方法即單振型近似法和伽遼金方法,利用一個(gè)特殊點(diǎn)的振幅連續(xù)簡化了系統(tǒng)的振動(dòng)方程(這里稱其為連續(xù)振型法以區(qū)別于振型轉(zhuǎn)換法),揭示了系統(tǒng)在此研究下的混沌振動(dòng)[7];H. Chuang研究了一端夾支、另一端具有帶間隙的單線性彈簧阻擋的非線性振動(dòng),總結(jié)了在其以前的文獻(xiàn)研究中的兩種方法即力積分法和振型轉(zhuǎn)化法,并分別利用這兩種方法對(duì)其模型進(jìn)行了數(shù)值研究,討論了阻擋彈簧的剛度與間隙大小對(duì)系統(tǒng)響應(yīng)的影響[8]。

        本文的研究主要基于A. Ferri的簡化套筒連接模型,僅考慮端點(diǎn)的橫向剪切彈力,給連接結(jié)構(gòu)引入了間隙,利用改進(jìn)的振型轉(zhuǎn)化法以及連續(xù)振型方法,即采用伽遼金法推導(dǎo)了此條件下梁的運(yùn)動(dòng)方程,并且針對(duì)一個(gè)算例,討論了連接結(jié)構(gòu)的間隙對(duì)梁的幅頻響應(yīng)的影響。

        1 系統(tǒng)建模

        本文用以研究間隙對(duì)梁的非線性振動(dòng)影響的系統(tǒng)模型如圖1所示。

        圖1 梁系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖Fig. 1 Schematic diagram of the beam system structure

        在圖1中:F為均布載荷激勵(lì)力;P(t)為端點(diǎn)所加的預(yù)緊力;Δ為所加間隙;K為橫向剪切反力剛度。與文獻(xiàn)[8]不同的是,這里的端點(diǎn)邊界條件為上下均有彈簧提供端點(diǎn)反力。

        1.1 梁的運(yùn)動(dòng)方程

        圖1所示邊界條件的梁系統(tǒng),根據(jù)端點(diǎn)位移的大小其運(yùn)動(dòng)方程有兩種:懸臂梁運(yùn)動(dòng)方程和受連接結(jié)構(gòu)限制的梁運(yùn)動(dòng)方程。當(dāng)端點(diǎn)在間隙內(nèi)運(yùn)動(dòng)時(shí),系統(tǒng)可以認(rèn)為是懸臂梁;當(dāng)端點(diǎn)接觸到連接結(jié)構(gòu)的內(nèi)壁時(shí),是具有非線性連接結(jié)構(gòu)的梁系統(tǒng)。

        首先考慮梁連接結(jié)構(gòu)處無預(yù)緊力P( t)作用時(shí)的情況,帶預(yù)緊力的情況在下文中闡述。系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)方程可以表達(dá)為:

        1)懸臂梁

        2)非線性連接結(jié)構(gòu)梁[4]

        在(2)式中:V(t)為端點(diǎn)彈簧提供的橫向反力;δ( x - L)為狄拉克函數(shù);在下文的數(shù)值求解時(shí),令激勵(lì)力F( x,t)沿x方向無變化即 F( x,t) = Fc os(Ω t),其中F為幅值;ρA為單位長度質(zhì)量;A為梁橫截面積;I為慣量;E為彈性模量。利用伽遼金法求上述方程的近似解,不失一般性,假設(shè)時(shí)間t1之前梁的端點(diǎn)在間隙內(nèi)運(yùn)動(dòng),也就是系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)在懸臂梁狀態(tài),則梁上任一點(diǎn)的橫向位移可以表示為

        式中?n(x)為懸臂梁振型,an( t)為各階振型的振幅,此時(shí),端點(diǎn)位移 -Δ <w( L, t)<Δ。假設(shè)t1至t2時(shí)間段為梁的端點(diǎn)與連接結(jié)構(gòu)的內(nèi)壁接觸時(shí)間段,也就是系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)處在受限運(yùn)動(dòng)狀態(tài),那么此段時(shí)間內(nèi),梁上任一點(diǎn)橫向位移可以表示為

        其中

        1)懸臂梁

        2)非線性連接結(jié)構(gòu)梁

        在(6)、(7)式中:

        對(duì)于一個(gè)實(shí)際的算例,引入系統(tǒng)參數(shù)后對(duì)上面的微分方程組進(jìn)行數(shù)值求解,當(dāng)系統(tǒng)振動(dòng)在懸臂梁和受限振動(dòng)狀態(tài)之間轉(zhuǎn)換時(shí),需要知道轉(zhuǎn)換后方程的初值,即t1+、t2+時(shí)刻的位移和速度(作者按:t1、t2時(shí)刻為滿足切換條件的時(shí)刻,是整個(gè)時(shí)間區(qū)間上的一點(diǎn);而 t1+、t2+是表示過了切換時(shí)刻的時(shí)刻,如果用時(shí)間區(qū)間表示:(0,t1-) t1(t1+,∞)),利用振型的正交性由(4)式得到

        將(3)、(5)式代入(8)式中,利用振型的正交性可以得到在t1+時(shí)刻受限運(yùn)動(dòng)狀態(tài)各振型方程的初值:

        當(dāng)時(shí)刻t2梁的端點(diǎn)從受限狀態(tài)回到懸臂梁狀態(tài)時(shí),有

        考慮在系統(tǒng)端點(diǎn)處施加預(yù)緊力時(shí),僅需在 (1)、(2)式右端加入常量力P,后續(xù)處理步驟不變,且轉(zhuǎn)換狀態(tài)時(shí)系統(tǒng)初值也不受影響。即:

        1)懸臂梁(帶預(yù)緊力)

        2)非線性連接結(jié)構(gòu)梁(帶預(yù)緊力)

        后續(xù)處理方法如(3)式至(13)式。

        1.2 受限振動(dòng)梁振型

        在套筒連接結(jié)構(gòu)內(nèi)有間隙的情況下(見圖1),假設(shè)套筒對(duì)梁施加橫向剪切反力等同于理想彈簧,不考慮沖擊效應(yīng),當(dāng)梁端點(diǎn)接觸到連接結(jié)構(gòu)內(nèi)壁后,系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)立刻在受限狀態(tài)下振動(dòng),此時(shí)梁等同于端點(diǎn)處有連接結(jié)構(gòu)的邊界條件,受到套筒的橫向剪切力。根據(jù)S. M. Wiedemann的方法[6]求此邊界條件梁的振型,有邊界條件:

        假設(shè) ?n(x)為所要求的振型表達(dá)式,并將上面4個(gè)邊界條件引入到梁振型的一般形式,則

        其中 kn、An~Dn為各振型參數(shù)。由(16)式的前兩個(gè)邊界條件可以得到 Ci=-Ai,Di=-Bi,將其代入到(16)式后面的邊界條件中,可以得到矩陣的表達(dá)形式

        其中 dij為引入邊界條件后的表達(dá)式,這里用符號(hào)代替。簡單令 Ai= 1,由(18)式可以得到振型函數(shù)系數(shù)Bi的表達(dá)式,至此An、 Bn、 Cn、 Dn均已解出,然后利用式(18)An、 Bn具有非平凡解的條件,矩陣的行列式為零,可解出各階振型表達(dá)式對(duì)應(yīng)的kn。

        對(duì)于實(shí)際的系統(tǒng),可以求得不同彈簧剛度時(shí)受限振動(dòng)梁的振型,如圖2所示。

        圖2 不同的邊界彈簧剛度時(shí)梁的一階振型Fig. 2 First order modes for different boundary spring’s stiffness

        由圖2可以看出,隨著端點(diǎn)彈簧剛度由0遞增,從振型上看,梁的端點(diǎn)位移實(shí)際上是先增大到一定程度而后開始逐漸減小。

        2 算例及討論

        針對(duì)一個(gè)實(shí)際的例子來求數(shù)值解。在前人的研究中,為了計(jì)算的方便,往往在一定的假設(shè)條件下對(duì)梁位移進(jìn)行單振型簡化。假定振型之間具有正交性,各振型之間沒有內(nèi)共振;在這樣的前提下[9],單振型近似的結(jié)果也是有意義的。本文首先利用單振型近似法進(jìn)行研究,研究中還利用改進(jìn)的狀態(tài)轉(zhuǎn)換法和連續(xù)振型法[7]兩種不同的處理方法進(jìn)行求解,并對(duì)比了它們的結(jié)果。系統(tǒng)參數(shù)如下:

        單位長度質(zhì)量ρA=3.255 2 kg/m;

        梁長L=2 m;

        梁橫截面積A=1.470 3×10-4m2;

        慣量I=1.014×10-8kg/ m2;

        彈性模量E=7.45×1010N/ m2;

        端點(diǎn)彈簧剛度K=4.7×102N/ m。

        2.1 單振型近似法

        如上所述,懸臂梁振型和非線性連接結(jié)構(gòu)振型均取1階。在這種條件下,伽遼金法處理后的系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)方程有(帶預(yù)緊力情況略)

        1)懸臂梁

        2)非線性連接梁

        在(20)、(21)兩式中,下標(biāo)代表一階。

        對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行掃頻激勵(lì),其步驟如下:

        1)首先確定掃頻區(qū)間[Ω1, Ω2]、幅值F,將F cos(Ω t ),Ω1<Ω<Ω2代入方程,利用 MATLAB,Ode4求解系統(tǒng),積分步長為10-4s;

        2)數(shù)值求解時(shí),始終檢查梁端點(diǎn)的位移大小,當(dāng)端點(diǎn)位移的絕對(duì)值時(shí),系統(tǒng)振動(dòng)的狀態(tài)發(fā)生改變,用MATLAB內(nèi)建的Stateflow進(jìn)行邏輯控制,將方程各變量系數(shù)及積分初值轉(zhuǎn)換,可以得到該激勵(lì)頻率Ω下,梁端點(diǎn)位移的時(shí)域響應(yīng);

        3)取20 s的時(shí)間歷程,舍棄前面8 s的數(shù)據(jù),以保證不受瞬態(tài)響應(yīng)的影響,取保留數(shù)據(jù)的最大值與最小值之差的一半為響應(yīng)幅值;

        圖3和圖4分別表示利用振型轉(zhuǎn)換法得到的在有、無預(yù)緊力條件下的幅頻響應(yīng)圖。

        圖3 無預(yù)緊力梁端點(diǎn)幅頻響應(yīng)(振型轉(zhuǎn)換法)Fig. 3 Frequency response of the beam end without preload (mode transfer method)

        圖4 有預(yù)緊力梁端點(diǎn)幅頻響應(yīng)(振型轉(zhuǎn)換法)Fig. 4 Frequency response of the beam end with preload (mode transfer method)

        2.2 帶阻擋的懸臂梁

        文獻(xiàn)[7]在研究帶阻擋的懸臂梁的振動(dòng)時(shí),利用了同上面單振型的振型轉(zhuǎn)換方法類似的方法,巧妙地利用梁上特定長度點(diǎn)的振幅對(duì)系統(tǒng)的振幅進(jìn)行連續(xù)性處理,從而不必求系統(tǒng)切換時(shí)微分方程的初值,這里采用其思想研究單振型時(shí)系統(tǒng)的幅頻響應(yīng)情況,以此與上面的振型轉(zhuǎn)換方法進(jìn)行互相印證。主要方法是,梁任一點(diǎn)的橫向位移可以表達(dá)為:

        其中: as?1(L)=Δ??紤]梁上一個(gè)特殊點(diǎn)x1,該點(diǎn)可令?1(x1)=1,那么在該點(diǎn),梁的橫向位移可以表達(dá)為:

        令 w( x1, t) <as時(shí),該點(diǎn)振幅 a1( t) =a( t),w( x1, t) >as時(shí),該點(diǎn)振幅 as+a2( t) ?2(x1) =a( t )。可以得到:

        利用(24)式,可以將振型轉(zhuǎn)換法的系統(tǒng)方程統(tǒng)一為a( t)變量,從而不必在系統(tǒng)切換時(shí)求a1( t)和a2( t)的初值。

        利用上面的處理步驟,數(shù)值求解步驟與上面相同,可以求得系統(tǒng)的幅頻響應(yīng)。圖5和圖6分別表示利用連續(xù)振型法得到的在有、無預(yù)緊力條件下的幅頻響應(yīng)圖。

        圖5 有無預(yù)緊力梁端點(diǎn)幅頻響應(yīng)(連續(xù)振型法)Fig. 5 Frequency response of the beam end with and without preload (continuous mode method)

        圖6 有預(yù)緊力單振型梁端點(diǎn)幅頻響應(yīng)(連續(xù)振型法)Fig. 6 Frequency response for one mode approximation with preload (continuous mode method)

        從上面的結(jié)果看,兩種方法得到在不同量級(jí)激勵(lì)力作用下和在有、無預(yù)緊力前置兩種條件下的系統(tǒng)幅頻響應(yīng)圖幾乎完全相同。單振型方法僅僅是對(duì)實(shí)際模型的一種近似,但其結(jié)果對(duì)于研究間隙對(duì)一端夾支、另一端帶連接結(jié)構(gòu)的梁振動(dòng)的影響是有參考意義的??梢钥闯?,當(dāng)系統(tǒng)沒有預(yù)緊力時(shí),間隙的存在令梁系統(tǒng)具有“硬彈簧”屬性,當(dāng)激勵(lì)力增加,端點(diǎn)的振幅響應(yīng)峰值持續(xù)向高頻漂移。當(dāng)系統(tǒng)存在預(yù)緊力時(shí),其幅頻響應(yīng)圖與無預(yù)緊力時(shí)的結(jié)果對(duì)比相差很大:小激勵(lì)力時(shí)系統(tǒng)的基頻高于無預(yù)緊力時(shí)的情況,端點(diǎn)的幅頻響應(yīng)首先呈現(xiàn)“軟彈簧”特性,隨著激勵(lì)力增大,響應(yīng)峰值向低頻漂移;當(dāng)向低頻漂移一定程度后,繼續(xù)增大激勵(lì)力,系統(tǒng)響應(yīng)反而呈現(xiàn)“硬彈簧”特性,響應(yīng)峰值向高頻漂移。

        3 結(jié)論

        本文針對(duì)一個(gè)一端夾支,另一端有帶間隙的連接結(jié)構(gòu)的梁系統(tǒng)模型,將系統(tǒng)簡化后研究了連接結(jié)構(gòu)中的間隙對(duì)系統(tǒng)振動(dòng)幅頻響應(yīng)的影響。簡化后的模型僅僅考慮了連接結(jié)構(gòu)對(duì)梁的橫向剪切力。采用了改進(jìn)的振型轉(zhuǎn)換法以及連續(xù)振型法兩種方法,并按伽遼金法處理從而得到數(shù)值求解方程,研究了單振型近似情況下梁在遞增激勵(lì)力作用下的頻率漂移。從結(jié)果來看,間隙的存在結(jié)合有、無預(yù)緊力的前提條件,可以令系統(tǒng)的幅頻響應(yīng)呈現(xiàn)軟彈簧或者硬彈簧的屬性,本文的結(jié)果對(duì)于研究航天器地面振動(dòng)試驗(yàn)中的頻率漂移現(xiàn)象具有參考價(jià)值。

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