張國(guó)祥,李麗民,,張成平,曹 鑫

（1.中南大學(xué)土木建筑學(xué)院,長(zhǎng)沙 410075;2.湖南城市學(xué)院,湖南益陽(yáng) 413000;3.北京交通大學(xué)隧道及地下工程教育部工程研究中心,北京 100044）

地基穩(wěn)定性是地基設(shè)計(jì)中必須考慮的一個(gè)重要因素,它不僅控制建筑物的安全,而且客觀上影響工程的經(jīng)濟(jì)合理性。因此,合理確定地基承載力,弄清其影響因素,對(duì)高層建筑、水利水電、鐵路、公路工程等各種建筑尤為必要。確定地基承載力,一般有現(xiàn)場(chǎng)原位試驗(yàn)、理論公式以及從地基承載力表中查取3種計(jì)算方法。對(duì)地基承載力、承載力系數(shù)的理論公式研究主要分為3類：一類是以Prandtl-Reissner為代表的滑移線理論,這種方法沒有考慮土體重量對(duì)地基存承載的影響;一類是以 Terzahgi與Meyerhof等學(xué)者為代表的極限平衡法,承載力系數(shù)Nq和N c采用平衡方程方法獲得,而承載力系數(shù)Nγ采用經(jīng)驗(yàn)法獲得;另一類是 M ichalow ski（1997年）[3]等學(xué)者根據(jù)上限定理,在相同破壞機(jī)制的條件下,對(duì)承載力系數(shù)Nq、Nc和Nγ進(jìn)行研究。但他們的研究都局限于線性M ohr-Coulomb破壞準(zhǔn)則。巖土材料的非線性強(qiáng)度是一個(gè)非常突出不可忽視的材料強(qiáng)度特性問題,非線性嚴(yán)重影響巖土工程的力學(xué)行為,但對(duì)于非線性強(qiáng)度準(zhǔn)則下的地基承載力的研究還很少。有人提出簡(jiǎn)單地將非線性強(qiáng)度準(zhǔn)則線性平均化,按M ohr-Coulom b線性強(qiáng)度準(zhǔn)則確定地基承載力。后來有人提出用單一切線法將非線性強(qiáng)度準(zhǔn)則線性化[4-5],然后再按線性強(qiáng)度準(zhǔn)則確定地基承載力,只是強(qiáng)度指標(biāo)隨切點(diǎn)位置而變,實(shí)際上是假定求解區(qū)域的法向應(yīng)力相同,這與實(shí)際不符。文獻(xiàn)[2]給出了H oek-Brown破壞準(zhǔn)則下的地基承載力上下限有限元解,并且非常接近,可以認(rèn)為它們的平均值接近理論解。在上下限有限單元求解過程中,線性強(qiáng)度準(zhǔn)則的處理非常困難,非線性強(qiáng)度準(zhǔn)則的處理更加困難,文獻(xiàn)[3]中并沒有介紹如何處理非線性強(qiáng)度準(zhǔn)則問題。影響巖石地基極限承載力的因素極其復(fù)雜,無論是傳統(tǒng)的理論計(jì)算還是現(xiàn)場(chǎng)試驗(yàn)都會(huì)存在一定的局限性,目前對(duì)于巖石地基承載力的理論研究還很少。因此,該文考慮巖土材料的非線性破壞準(zhǔn)則,運(yùn)用上限理論[6-7]和多個(gè)剛性滑塊破壞機(jī)構(gòu)對(duì)巖石地基承載力的影響因素進(jìn)行研究,提出了一種多切線法來處理非線性強(qiáng)度問題,多切線法能充分考慮實(shí)際的非均勻應(yīng)力分布,當(dāng)剛性滑塊細(xì)分后,是一種嚴(yán)格意義上的非線性極限分析方法。

1 非線性修正Hoek-Brown破壞準(zhǔn)則

為排除巖石各向異性的影響,主要分析的是完整巖體和破碎巖體,他們符合Hoek-Brown非線性破壞準(zhǔn)則的要求。Hoek.E和Brown.E.T[8-10]通過大量實(shí)驗(yàn)提出了一種非線性破壞準(zhǔn)則,并對(duì)其不斷的改進(jìn)和發(fā)展,已得到工程界廣泛認(rèn)可。其數(shù)學(xué)表達(dá)式為：

式中m,s為巖體特性參數(shù);σc為巖塊的單軸抗壓強(qiáng)度;σ1和σ3分別為巖體破壞時(shí)的最大、最小主應(yīng)力,a為與巖石完整程度有關(guān)的參數(shù)。其中m,s由巖石評(píng)分系統(tǒng)GSI來確定：

式中系數(shù)mi可以通過不同圍壓下的三軸試驗(yàn)確定,一般其變化范圍為4～33左右。D為巖石的擾動(dòng)系數(shù),對(duì)于完整巖體取0,極破碎巖體取1.0,其它內(nèi)插確定。為適應(yīng)傳統(tǒng)分析方法的需要,需要將Hoek-Brow n參數(shù)轉(zhuǎn)化為Mohr-Cou lomb參數(shù)φ,c。為方便計(jì)算,需要建立φ,c之間的關(guān)系式,該文采用切線法,即在Hoek-Brown破壞曲線上取一點(diǎn)作其切線,如圖1所示`,其切線方程為：

由于φ,c值的大小與滑動(dòng)面上的法向應(yīng)力σn有關(guān),所以在地基中的不同位置,由于σn的不同而導(dǎo)致φ,c值的不同,φ,c值均為瞬時(shí)值而不是常量,記為ct、φt。經(jīng)推導(dǎo)可得ct、φt之間的關(guān)系為[6]：

2 巖石地基承載力上限分析

該文采用多剛塊法[11-12]和多切線法研究巖石地基承載力問題,切線法得到的強(qiáng)度值實(shí)際上是超過了材料的真實(shí)強(qiáng)度,得到的解為極限荷載的上限解[5,13]。將地基分成剛性滑塊,然后采用非線性Hoek-Brown破壞準(zhǔn)則,劃分示意圖如圖2。由于基礎(chǔ)兩側(cè)地基的劃分方式一致,故只給出了一側(cè)的劃分示意圖,計(jì)算時(shí)也只需取一半計(jì)算即可。由幾何

和φt,在非線性強(qiáng)度曲線上尋找到最恰當(dāng)?shù)娜舾蓷l外切直線,通過切線引入多組變量Ct和φt使得此時(shí)的巖石地基承載力最小。

圖1 Hoek-Brown破壞準(zhǔn)則曲線的切線

圖2 地基單元?jiǎng)澐质疽鈭D

根據(jù)相關(guān)聯(lián)流動(dòng)的正交流動(dòng)法則,剛體平移時(shí)位移速度與剛體界面必成φi角。但由于不同單元邊界處的應(yīng)力狀態(tài)不同,故φi角的取值也是不同的,因此三角形公共邊上的瞬時(shí)摩擦角為φi,黏聚力為ci,而底邊的瞬時(shí)摩擦角為 φ′i,黏聚力為c′i。由于三角形單元公共邊處存在速度不連續(xù)面,因此每條公共邊上的速度都是相對(duì)的,并假定塑性功的耗散只發(fā)生在三角形公共邊和底邊上。每個(gè)三角形剛塊形狀由邊長(zhǎng)Li,L′i,夾角 αi,βi控制,Vi為第i塊剛體的絕對(duì)速度,Vi-1,i為第i-1號(hào)塊與第i號(hào)塊間的相對(duì)速度。速度場(chǎng)應(yīng)符合如圖4所示幾何關(guān)系,由圖2、圖3和圖4可得到：

圖3 地基單元速度場(chǎng)示意圖

圖4 第1號(hào)單元和第i號(hào)單元速度矢量圖

2.1 內(nèi)能耗散率

由于內(nèi)能的耗散僅發(fā)生在速度不連續(xù)面上,即三角形單元的公共邊和底邊上,故內(nèi)能耗散率為：

2.2 外力做功功率

考慮基底巖體的自重,則外力的做功包括重力、超載和極限荷載的做功,下面分別計(jì)算它們的功率。

2.2.1 重力功率 設(shè)基礎(chǔ)的寬度為B,巖石的重度為 γ。則重力功率為：

2.2.2 超載功率 設(shè)地面的均布荷載為q,分布的范圍為第k號(hào)三角形單元的邊長(zhǎng)Lk+1,位移方向?yàn)榈趉號(hào)三角形單元的絕對(duì)速度方向,則超載功率為：

2.2.3 極限荷載功率 極限荷載作用于1號(hào)單元上,方向與1號(hào)單元的絕對(duì)速度V1方向一致,故其功率為：

2.3 極限分析上限解的求解

在式（17）中,B、γ、q都是已知量,極限承載力qu僅與f1、f2、f3和f4有關(guān)。而由f1、f2、f3和f4的表達(dá)式可以看出,它們分別是所有的三角形單元幾何參數(shù)和巖石物理參數(shù)的函數(shù),取決于變量αi、βi和φi、φ′i及Ci、C′i的大小 。巖石地基的劃分單元數(shù)為K個(gè)單元數(shù)時(shí),共有4K個(gè)變量。但由式（5）式和（6）式可以看出 ,φ、φ′i和Ci、C′i滿足一定的關(guān)系,并且這些變量應(yīng)滿足以下幾何約束條件和速度場(chǎng)約束條βi+φ′i-φ′i-1 ≤π。不同的變量和變量組合能得到不同的極限土壓力上限解,由于極限分析上限解總是大于真實(shí)極限荷載的,所以在上限解中,巖石地基承載土越小,越接近真正的極限荷載值,巖石地基承載力的求解實(shí)際上是一個(gè)求最小值的問題。本文利用M atlab軟件平臺(tái),采用非線性 “序列二次規(guī)劃”優(yōu)化方法,編制相應(yīng)程序來獲取巖石地基承載力的上限解。

3 計(jì)算方法的可行性

引入一個(gè)地基承載力系數(shù)Nσ來評(píng)價(jià)地基極限承載力的大小。對(duì)于如圖2所示的寬度為B的條形基礎(chǔ),巖石地基材料的軸向抗壓強(qiáng)度為σci,巖石的地質(zhì)強(qiáng)度指數(shù)由GSI指標(biāo)來衡量,巖石地基材料的重度為γ,巖石特征參數(shù)為mi,則地基的極限承載力可寫為：

若忽略巖石地基材料的自重,則可用Nσ0來代替Nσ。采用與前人的研究成果進(jìn)行對(duì)比的方法來驗(yàn)證該方法的可行性,對(duì)比結(jié)果見表1和圖5。文獻(xiàn)[1]中,作者采用單切線法來求解Hoek-Brown破壞準(zhǔn)則下的地基承載力上限解,文獻(xiàn)[2]給出了Hoek-Brown破壞準(zhǔn)則下的地基承載力的上下限有限元解,其上下限解之差在5%左右,可以認(rèn)為它們的平均值已經(jīng)很接近理論解。因此,從對(duì)比結(jié)果可知：?jiǎn)吻芯€法計(jì)算的結(jié)果明顯大于該文的計(jì)算結(jié)果,最大的差別能達(dá)到179.3%,而隨著GSI的增加差別有所減小,但最小的差別也能達(dá)到37.6%,若直接采用切線法來計(jì)算地基承載力上限解時(shí)需要設(shè)置較高的安全系數(shù)方可,否則將導(dǎo)致非常大的誤差,Hoek建議在用切線法得到的c值在采用時(shí)應(yīng)至少折減25%;該文計(jì)算的結(jié)果與理論解已經(jīng)非常接近,完全能滿足實(shí)際工程的要求,并且較之上下限有限元法該文所述的方法則顯得更加簡(jiǎn)單奏效,具有一定的實(shí)用價(jià)值。

表1 不同GSI和mi下地基承載力系數(shù)計(jì)算結(jié)果（q0=0,D=0,γ=0）

續(xù)表1

圖5 地基承載力系數(shù)Nσ的比較

4 計(jì)算結(jié)果的分析

采用上述方法對(duì)地質(zhì)強(qiáng)度指標(biāo)GSI、完整巖石巖性系數(shù)mi、自重γ、超載q和擾動(dòng)系數(shù)D對(duì)巖石地基承載力的影響進(jìn)行研究。自重對(duì)地基承載力系數(shù)的影響（q=0,D=0）的計(jì)算結(jié)果見圖6,超載對(duì)地基承載力系數(shù)的影響（γ=0,D=0）的計(jì)算結(jié)果見圖7,開挖擾動(dòng)系數(shù)D對(duì)地基承載力的影響（γ=0,q=0）的計(jì)算結(jié)果見圖8。

由計(jì)算結(jié)果分析發(fā)現(xiàn)：在其他條件不變時(shí),改變m i、GSI、超載q和自重γ中間的任何一個(gè)參數(shù),地基承載力系數(shù)都是隨它的增大而增大。當(dāng)GSI值較小時(shí),自重γ、超載q對(duì)地基承載力系數(shù)影響很大,當(dāng)GSI較大時(shí),自重γ、超載q對(duì)地基承載力影響不大,說明自重γ、超載q地基承載力是有一定貢獻(xiàn)的,然而巖石地基承載力的大小主要還是取決于巖石的GSI和mi。當(dāng)巖石較完整時(shí),其自身的粘聚力和摩擦角都較大,地基承載力也相應(yīng)較大。在其他條件不變時(shí),地基承載力系數(shù)隨著開挖擾動(dòng)系數(shù)D的增加而減小,隨GSI的增加,開挖擾動(dòng)系數(shù)對(duì)地基承載力的影響力也在不斷的減小影響,當(dāng)GSI=100時(shí),開挖擾動(dòng)對(duì)地基承載力幾乎沒有影響。

圖6 自重對(duì)地基承載力系數(shù)的影響（γ單位為KN/m3）

圖7 超載對(duì)地基承載力系數(shù)的影響（q單位為KN/m2）

圖8 開挖擾動(dòng)系數(shù)對(duì)地基承載力系數(shù)的影響

5 結(jié)論

地基承載力問題是巖土工程領(lǐng)域中的基礎(chǔ)性課題之,正確地評(píng)價(jià)承載力的大小,對(duì)于確保工程安全至關(guān)重要,它一直深受國(guó)內(nèi)外學(xué)者的關(guān)注[15-17]。對(duì)于巖土材料而言,引入非線性強(qiáng)度曲線假設(shè)是非常必要的,因?yàn)榉蔷€性破壞準(zhǔn)則更合工程的實(shí)際情況,也被許多學(xué)者的試驗(yàn)成果所證實(shí)。目前地基承載力理論計(jì)算大多采用線性破壞準(zhǔn)則,該文在上限定理的基礎(chǔ)上,采用Hoek-Brown非線性破壞準(zhǔn)則和“多切線法”,利用M atlab軟件平臺(tái)和非線性“序列二次規(guī)劃”優(yōu)化方法,編制相應(yīng)程序來計(jì)算巖石地基的承載力,分析巖石地基承載力的影響因素。計(jì)算結(jié)果表明：

1）該文計(jì)算的結(jié)果與上下限有限元法得出的結(jié)果極為接近,完全能滿足實(shí)際工程的要求,并且較之上下限有限元法更加簡(jiǎn)單奏效,具有一定的實(shí)用價(jià)值。

2）單切線法沒有考慮地基不同位置由于法線應(yīng)力 σn的不同而導(dǎo)致Ct、φt值的不同,計(jì)算結(jié)果偏大,在實(shí)踐中使用會(huì)帶來較大的風(fēng)險(xiǎn)。

3）巖石地基承載力的大小主要取決于巖石的GSI和m i,自重 γ、超載q和開挖擾動(dòng)系數(shù)D對(duì)巖石地基承載能力有一定影響,GSI值較小時(shí),自重γ、超載q、開挖擾動(dòng)系數(shù)D對(duì)巖石地基承載力影響很大,GSI較大時(shí),自重 γ、超載q和開挖擾動(dòng)系數(shù)D對(duì)巖石地基承載力影響不大。

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（編輯王秀玲）