張國祥,李麗民,,張成平,曹 鑫

（1.中南大學土木建筑學院,長沙 410075;2.湖南城市學院,湖南益陽 413000;3.北京交通大學隧道及地下工程教育部工程研究中心,北京 100044）

地基穩(wěn)定性是地基設(shè)計中必須考慮的一個重要因素,它不僅控制建筑物的安全,而且客觀上影響工程的經(jīng)濟合理性。因此,合理確定地基承載力,弄清其影響因素,對高層建筑、水利水電、鐵路、公路工程等各種建筑尤為必要。確定地基承載力,一般有現(xiàn)場原位試驗、理論公式以及從地基承載力表中查取3種計算方法。對地基承載力、承載力系數(shù)的理論公式研究主要分為3類：一類是以Prandtl-Reissner為代表的滑移線理論,這種方法沒有考慮土體重量對地基存承載的影響;一類是以 Terzahgi與Meyerhof等學者為代表的極限平衡法,承載力系數(shù)Nq和N c采用平衡方程方法獲得,而承載力系數(shù)Nγ采用經(jīng)驗法獲得;另一類是 M ichalow ski（1997年）[3]等學者根據(jù)上限定理,在相同破壞機制的條件下,對承載力系數(shù)Nq、Nc和Nγ進行研究。但他們的研究都局限于線性M ohr-Coulomb破壞準則。巖土材料的非線性強度是一個非常突出不可忽視的材料強度特性問題,非線性嚴重影響巖土工程的力學行為,但對于非線性強度準則下的地基承載力的研究還很少。有人提出簡單地將非線性強度準則線性平均化,按M ohr-Coulom b線性強度準則確定地基承載力。后來有人提出用單一切線法將非線性強度準則線性化[4-5],然后再按線性強度準則確定地基承載力,只是強度指標隨切點位置而變,實際上是假定求解區(qū)域的法向應(yīng)力相同,這與實際不符。文獻[2]給出了H oek-Brown破壞準則下的地基承載力上下限有限元解,并且非常接近,可以認為它們的平均值接近理論解。在上下限有限單元求解過程中,線性強度準則的處理非常困難,非線性強度準則的處理更加困難,文獻[3]中并沒有介紹如何處理非線性強度準則問題。影響巖石地基極限承載力的因素極其復雜,無論是傳統(tǒng)的理論計算還是現(xiàn)場試驗都會存在一定的局限性,目前對于巖石地基承載力的理論研究還很少。因此,該文考慮巖土材料的非線性破壞準則,運用上限理論[6-7]和多個剛性滑塊破壞機構(gòu)對巖石地基承載力的影響因素進行研究,提出了一種多切線法來處理非線性強度問題,多切線法能充分考慮實際的非均勻應(yīng)力分布,當剛性滑塊細分后,是一種嚴格意義上的非線性極限分析方法。

1 非線性修正Hoek-Brown破壞準則

為排除巖石各向異性的影響,主要分析的是完整巖體和破碎巖體,他們符合Hoek-Brown非線性破壞準則的要求。Hoek.E和Brown.E.T[8-10]通過大量實驗提出了一種非線性破壞準則,并對其不斷的改進和發(fā)展,已得到工程界廣泛認可。其數(shù)學表達式為：

式中m,s為巖體特性參數(shù);σc為巖塊的單軸抗壓強度;σ1和σ3分別為巖體破壞時的最大、最小主應(yīng)力,a為與巖石完整程度有關(guān)的參數(shù)。其中m,s由巖石評分系統(tǒng)GSI來確定：

式中系數(shù)mi可以通過不同圍壓下的三軸試驗確定,一般其變化范圍為4～33左右。D為巖石的擾動系數(shù),對于完整巖體取0,極破碎巖體取1.0,其它內(nèi)插確定。為適應(yīng)傳統(tǒng)分析方法的需要,需要將Hoek-Brow n參數(shù)轉(zhuǎn)化為Mohr-Cou lomb參數(shù)φ,c。為方便計算,需要建立φ,c之間的關(guān)系式,該文采用切線法,即在Hoek-Brown破壞曲線上取一點作其切線,如圖1所示`,其切線方程為：

由于φ,c值的大小與滑動面上的法向應(yīng)力σn有關(guān),所以在地基中的不同位置,由于σn的不同而導致φ,c值的不同,φ,c值均為瞬時值而不是常量,記為ct、φt。經(jīng)推導可得ct、φt之間的關(guān)系為[6]：

2 巖石地基承載力上限分析

該文采用多剛塊法[11-12]和多切線法研究巖石地基承載力問題,切線法得到的強度值實際上是超過了材料的真實強度,得到的解為極限荷載的上限解[5,13]。將地基分成剛性滑塊,然后采用非線性Hoek-Brown破壞準則,劃分示意圖如圖2。由于基礎(chǔ)兩側(cè)地基的劃分方式一致,故只給出了一側(cè)的劃分示意圖,計算時也只需取一半計算即可。由幾何

和φt,在非線性強度曲線上尋找到最恰當?shù)娜舾蓷l外切直線,通過切線引入多組變量Ct和φt使得此時的巖石地基承載力最小。

圖1 Hoek-Brown破壞準則曲線的切線

圖2 地基單元劃分示意圖

根據(jù)相關(guān)聯(lián)流動的正交流動法則,剛體平移時位移速度與剛體界面必成φi角。但由于不同單元邊界處的應(yīng)力狀態(tài)不同,故φi角的取值也是不同的,因此三角形公共邊上的瞬時摩擦角為φi,黏聚力為ci,而底邊的瞬時摩擦角為 φ′i,黏聚力為c′i。由于三角形單元公共邊處存在速度不連續(xù)面,因此每條公共邊上的速度都是相對的,并假定塑性功的耗散只發(fā)生在三角形公共邊和底邊上。每個三角形剛塊形狀由邊長Li,L′i,夾角 αi,βi控制,Vi為第i塊剛體的絕對速度,Vi-1,i為第i-1號塊與第i號塊間的相對速度。速度場應(yīng)符合如圖4所示幾何關(guān)系,由圖2、圖3和圖4可得到：

圖3 地基單元速度場示意圖

圖4 第1號單元和第i號單元速度矢量圖

2.1 內(nèi)能耗散率

由于內(nèi)能的耗散僅發(fā)生在速度不連續(xù)面上,即三角形單元的公共邊和底邊上,故內(nèi)能耗散率為：

2.2 外力做功功率

考慮基底巖體的自重,則外力的做功包括重力、超載和極限荷載的做功,下面分別計算它們的功率。

2.2.1 重力功率 設(shè)基礎(chǔ)的寬度為B,巖石的重度為 γ。則重力功率為：

2.2.2 超載功率 設(shè)地面的均布荷載為q,分布的范圍為第k號三角形單元的邊長Lk+1,位移方向為第k號三角形單元的絕對速度方向,則超載功率為：

2.2.3 極限荷載功率 極限荷載作用于1號單元上,方向與1號單元的絕對速度V1方向一致,故其功率為：

2.3 極限分析上限解的求解

在式（17）中,B、γ、q都是已知量,極限承載力qu僅與f1、f2、f3和f4有關(guān)。而由f1、f2、f3和f4的表達式可以看出,它們分別是所有的三角形單元幾何參數(shù)和巖石物理參數(shù)的函數(shù),取決于變量αi、βi和φi、φ′i及Ci、C′i的大小 。巖石地基的劃分單元數(shù)為K個單元數(shù)時,共有4K個變量。但由式（5）式和（6）式可以看出 ,φ、φ′i和Ci、C′i滿足一定的關(guān)系,并且這些變量應(yīng)滿足以下幾何約束條件和速度場約束條βi+φ′i-φ′i-1 ≤π。不同的變量和變量組合能得到不同的極限土壓力上限解,由于極限分析上限解總是大于真實極限荷載的,所以在上限解中,巖石地基承載土越小,越接近真正的極限荷載值,巖石地基承載力的求解實際上是一個求最小值的問題。本文利用M atlab軟件平臺,采用非線性 “序列二次規(guī)劃”優(yōu)化方法,編制相應(yīng)程序來獲取巖石地基承載力的上限解。

3 計算方法的可行性

引入一個地基承載力系數(shù)Nσ來評價地基極限承載力的大小。對于如圖2所示的寬度為B的條形基礎(chǔ),巖石地基材料的軸向抗壓強度為σci,巖石的地質(zhì)強度指數(shù)由GSI指標來衡量,巖石地基材料的重度為γ,巖石特征參數(shù)為mi,則地基的極限承載力可寫為：

若忽略巖石地基材料的自重,則可用Nσ0來代替Nσ。采用與前人的研究成果進行對比的方法來驗證該方法的可行性,對比結(jié)果見表1和圖5。文獻[1]中,作者采用單切線法來求解Hoek-Brown破壞準則下的地基承載力上限解,文獻[2]給出了Hoek-Brown破壞準則下的地基承載力的上下限有限元解,其上下限解之差在5%左右,可以認為它們的平均值已經(jīng)很接近理論解。因此,從對比結(jié)果可知：單切線法計算的結(jié)果明顯大于該文的計算結(jié)果,最大的差別能達到179.3%,而隨著GSI的增加差別有所減小,但最小的差別也能達到37.6%,若直接采用切線法來計算地基承載力上限解時需要設(shè)置較高的安全系數(shù)方可,否則將導致非常大的誤差,Hoek建議在用切線法得到的c值在采用時應(yīng)至少折減25%;該文計算的結(jié)果與理論解已經(jīng)非常接近,完全能滿足實際工程的要求,并且較之上下限有限元法該文所述的方法則顯得更加簡單奏效,具有一定的實用價值。

表1 不同GSI和mi下地基承載力系數(shù)計算結(jié)果（q0=0,D=0,γ=0）

續(xù)表1

圖5 地基承載力系數(shù)Nσ的比較

4 計算結(jié)果的分析

采用上述方法對地質(zhì)強度指標GSI、完整巖石巖性系數(shù)mi、自重γ、超載q和擾動系數(shù)D對巖石地基承載力的影響進行研究。自重對地基承載力系數(shù)的影響（q=0,D=0）的計算結(jié)果見圖6,超載對地基承載力系數(shù)的影響（γ=0,D=0）的計算結(jié)果見圖7,開挖擾動系數(shù)D對地基承載力的影響（γ=0,q=0）的計算結(jié)果見圖8。

由計算結(jié)果分析發(fā)現(xiàn)：在其他條件不變時,改變m i、GSI、超載q和自重γ中間的任何一個參數(shù),地基承載力系數(shù)都是隨它的增大而增大。當GSI值較小時,自重γ、超載q對地基承載力系數(shù)影響很大,當GSI較大時,自重γ、超載q對地基承載力影響不大,說明自重γ、超載q地基承載力是有一定貢獻的,然而巖石地基承載力的大小主要還是取決于巖石的GSI和mi。當巖石較完整時,其自身的粘聚力和摩擦角都較大,地基承載力也相應(yīng)較大。在其他條件不變時,地基承載力系數(shù)隨著開挖擾動系數(shù)D的增加而減小,隨GSI的增加,開挖擾動系數(shù)對地基承載力的影響力也在不斷的減小影響,當GSI=100時,開挖擾動對地基承載力幾乎沒有影響。

圖6 自重對地基承載力系數(shù)的影響（γ單位為KN/m3）

圖7 超載對地基承載力系數(shù)的影響（q單位為KN/m2）

圖8 開挖擾動系數(shù)對地基承載力系數(shù)的影響

5 結(jié)論

地基承載力問題是巖土工程領(lǐng)域中的基礎(chǔ)性課題之,正確地評價承載力的大小,對于確保工程安全至關(guān)重要,它一直深受國內(nèi)外學者的關(guān)注[15-17]。對于巖土材料而言,引入非線性強度曲線假設(shè)是非常必要的,因為非線性破壞準則更合工程的實際情況,也被許多學者的試驗成果所證實。目前地基承載力理論計算大多采用線性破壞準則,該文在上限定理的基礎(chǔ)上,采用Hoek-Brown非線性破壞準則和“多切線法”,利用M atlab軟件平臺和非線性“序列二次規(guī)劃”優(yōu)化方法,編制相應(yīng)程序來計算巖石地基的承載力,分析巖石地基承載力的影響因素。計算結(jié)果表明：

1）該文計算的結(jié)果與上下限有限元法得出的結(jié)果極為接近,完全能滿足實際工程的要求,并且較之上下限有限元法更加簡單奏效,具有一定的實用價值。

2）單切線法沒有考慮地基不同位置由于法線應(yīng)力 σn的不同而導致Ct、φt值的不同,計算結(jié)果偏大,在實踐中使用會帶來較大的風險。

3）巖石地基承載力的大小主要取決于巖石的GSI和m i,自重 γ、超載q和開挖擾動系數(shù)D對巖石地基承載能力有一定影響,GSI值較小時,自重γ、超載q、開挖擾動系數(shù)D對巖石地基承載力影響很大,GSI較大時,自重 γ、超載q和開挖擾動系數(shù)D對巖石地基承載力影響不大。

[1]YANG XIAO-LI,YIN JIAN-HUA.Upper bound solution for ultimate bearing capacity with a modified H oek-Brow n failure criterion[J].Int.J.Rock.Mech.Sci,2005,42：550-560.

[2]M ERRIFIELD R S,LYAM INB A V.Lim it analysis solutions for the bearing capacity of rock masses using the generalized Hoek-Brown criterion [J].International Journal of Rock Mechanics&M ining Sciences,2006,43（6）：920-937.

[3]M ICHALOWSKIR L.An estimate of the influence of soil weight on bearing capacity using lim it analysis[J].Soils and Foundations,2007,37（4）：57-64.

[4]HOEK E.Estimating Mohr-Coulomb friction and cohesion values from the H oek-Brow n failure criterion[J].International Journal of Rock Mechanics&M ining Sciences,2008,27（3）：227-229.

[5]CA I M,KA ISER P K,TASAKA Y,et a l.Determ ination of residual strength of jointed rock masses using theGSIsystem[J].International Journal of Rock Mechanics and m ining Sciences,2007,44（2）：247-265.

[6]HOEK E,CARRANZE-TORRES C,CORKUM B.H oek-Brow n failure criterion–2002 edition[C]//Proceedings of the North American Rock Mechanics Society Meeting.Toronto,2002：267-273.

[7]YANG XIAO-lI.Upper bound lim it analysis of active earth p ressure considering different fracture surface with non linear yield criterion[J].Theoretical and App lied Fracture Mechanics,2007,47（1）：46-56.

[8]HOEK E.A brief history of the development of the H oek-Brow n failure c riterion[EB/OL].H ttp：//www.rocscience.com,2004.

[9]HOEK E,BROWN E T.Empirical strength criterion for rock masses[J].J Geotech Eng Division,American Society of Civil Engineers,2001,106（1）：128-135.

[10]HOEK E,WOOD D,SHAH S.A modified Hoek-Brow n criterion for jointed rock masses[C]//Proceeding o f Rock Characterization.Sym posium of ISRM：Eurock 92.1992：09-213.

[11]SOUBRA A H.Upper-bound so lutions for bearing capacity of foundations[J].Journal of Geotechnical and Geoen vironmental Engineering,2004,125（1）：59-68.

[12]YANG XIAO-lI,YIN JIAN-HUA.Upper bound so lution for ultimate bearing capacity w ith a modified Hoek-Brown failure criterion[J].International Journal of Rock Mechanics and M ining Sciences,2005,42（4）：550-560.

[13]楊小禮.巖石極限分析非線性理論及其應(yīng)用[J].中南大學學報：自然科學版,2009,40（1）：225-229.

YANG X IAO-LI.Lim it ana lysis with non linear failure criterion in rock masses and its app lications[J].Journal of Central South University：Science and Technology,2009,40（1）：225-229.

[14]SERRANO A,OLALLA C,GONZALEZ J.Ultimate bearing capacity of rock masses based on themodified Hoek-Brown criterion[J].Int.J.Rock Mech M in Sci.2000,37（6）：1013-1018.

[15]梅嶺,梅國雄,宋林輝,等.基于三維破壞面的地基極限承載力計算方法[J].水文地質(zhì)工程地質(zhì),2009,36（2）：52-56.

M EI LING,MEIGUO-XIONG,SONG LIN-HU I,etal.M ethod for the calculation of ultimate bearing capacity o f foundation based on 3D failure sufrace[J].Hydrogeology&Engineering Geology,2009,36（2）：52-56.

[16]梅嶺,梅國雄,宰金珉.埋深基礎(chǔ)地基極限承載力的數(shù)值求解方法[J].巖土力學,2009,30（6）：1810-1814.

MEI LING,M EI GUO-XIONG,ZA I JIN-M IN.Numerica l anaysis of ultimate bearing capacity of ground with deep buried foundation[J].Rock and soil M echanics,2009,30（6）：1810-1814.

[17]秦會來,黃茂松.雙層地基極限承載力的極限分析上限法[J].巖土工程學報,2008,30（4）：611-616.

QIN HUI-LA I,HUANG MAO-SONG.Numerical analysis of ultimate bearing capacity of ground w ith deep buried foundation[J].Rock and Soil Mechanics,2008,30（4）：611-616.

（編輯王秀玲）