王麗梅， 武志濤， 孫宜標(biāo)， 金撫穎

（沈陽工業(yè)大學(xué)電氣工程學(xué)院，遼寧沈陽 110178）

0 引言

隨著復(fù)雜型面零件加工精度要求的不斷提高，機(jī)床進(jìn)給系統(tǒng)的輪廓加工精度已成為其重要的精度指標(biāo)。XY平臺系統(tǒng)的輪廓誤差是由輪廓運動所涉及的X、Y兩軸的位置誤差共同決定。在直線電機(jī)直接驅(qū)動XY平臺的機(jī)械加工中，負(fù)載擾動、進(jìn)給系統(tǒng)的機(jī)械延遲以及兩軸驅(qū)動系統(tǒng)參數(shù)不匹配等因素對XY平臺的輪廓加工精度產(chǎn)生較大影響［1］。

為提高XY平臺系統(tǒng)的輪廓精度，許多研究方法側(cè)重于設(shè)計控制器以減小單軸的跟蹤誤差，進(jìn)而減小整個系統(tǒng)的輪廓誤差［2］。Koren首先提出了交叉耦合（Cross-coupled）控制以減小輪廓誤差的思想［3］。文獻(xiàn)［4－5］設(shè)計了交叉耦合輪廓控制器以提高多軸CNC機(jī)床的輪廓精度。已有的研究表明，傳統(tǒng)交叉耦合控制系統(tǒng)較之常規(guī)的非耦合控制系統(tǒng)有更好的輪廓精度，但不足在于對任意曲線軌跡輪廓誤差系數(shù)的計算量較大，控制器設(shè)計復(fù)雜。

本文將永磁同步直線電機(jī)（PMLSM）作為XY平臺的驅(qū)動部件以發(fā)揮其可直接驅(qū)動的優(yōu)點，采用H∞速度反饋控制、零相位誤差跟蹤控制（ZPETC）與法向交叉耦合控制相結(jié)合的策略對兩軸的運動進(jìn)行協(xié)調(diào)控制，實現(xiàn)跟蹤精度與輪廓精度的同時提高。H∞速度反饋控制具有較強(qiáng)的魯棒性，可消除擾動對系統(tǒng)的影響。在單軸控制回路中引入ZPETC以削弱系統(tǒng)的機(jī)械延遲效應(yīng)，提高系統(tǒng)的跟蹤精度。法向交叉耦合控制器作用于兩軸之間，將輪廓誤差作為直接被控目標(biāo)，根據(jù)各軸的反饋信息，進(jìn)行實時補償控制，可有效提高輪廓精度。

1 XY平臺的輪廓誤差分析

XY平臺由兩臺PMLSM直接驅(qū)動軸向相互垂直的XY兩軸進(jìn)行平面運動，以完成精密軌跡運動。運動中各軸的跟蹤誤差不協(xié)調(diào)反映到軌跡曲線輪廓上形成輪廓誤差，如圖1所示，其中R為指令位置，P為實際加工位置，ε為輪廓誤差，e為跟蹤誤差。

圖1 跟蹤誤差與輪廓誤差Fig．1 Tracking error and contour error

對于任意曲線軌跡輪廓，如圖2所示，P（Xa，Ya）為實際加工位置，（Xo，Yo）為實際位置的曲率中心，ρ為曲率半徑，θ為期望軌跡R點的切線與X軸的夾角，ex為X軸位置誤差，ey為Y軸位置誤差，ε'為近似輪廓誤差。

圖2 任意輪廓曲線的輪廓誤差Fig．2 Contour error of arbitrary contour trajectory

傳統(tǒng)輪廓誤差計算為

達(dá)到XY平臺的高精度要求需要同時滿足跟蹤精度和輪廓精度。單獨提高各軸的跟蹤精度并不能很有效地解決兩軸共同作用時的輪廓精度問題，圖1中，A1與A2比較，A1點的跟蹤誤差e1小，但其輪廓誤差ε1大于ε2，因此需要綜合考慮設(shè)計輪廓控制器與單軸控制器協(xié)調(diào)配合，使實際位置盡可能趨近于指令位置，達(dá)到高精度要求。

2 XY平臺的控制器設(shè)計

對于PMLSM采用d-q坐標(biāo)系下的模型，電流內(nèi)環(huán)采用電流在d軸上的分量id=0的控制策略，使定子電流矢量與永磁體磁場在空間上正交，其機(jī)械運動方程為

式中:iq為q軸上的定子電流;B為黏滯摩擦系數(shù);Fe為電磁推力;FL為負(fù)載阻力;Kf為推力系數(shù);M為動子及所帶負(fù)載的總質(zhì)量;v為速度。令iq為輸入量，v為輸出，則被控對象模型的傳遞函數(shù)為

2.1 H∞速度反饋控制

為了減小或消除PMLSM存在的負(fù)載擾動對系統(tǒng)魯棒性的影響，設(shè)計速度環(huán)H∞反饋控制器，使實際被控對象的輸出趨近于標(biāo)稱被控對象的輸出［6］。設(shè)δ1（t），δ2（t）分別為系統(tǒng)中B/M和1/M的不確定攝動參數(shù)，依據(jù)PMLSM運動方程可寫出增廣被控對象的狀態(tài)空間方程為

式中:狀態(tài)變量x=[X1X2]T，X1為標(biāo)稱被控對象與實際被控對象的速度輸出誤差，X2為該誤差的積分項;ξ為干擾信號;u為控制輸入信號;z為評價信號;加權(quán)系數(shù)q1＞0，q2＞0用來調(diào)整允許誤差量。為充分考慮擾動的影響，ξ項的系數(shù)取攝動范圍內(nèi)的最大值，則可將問題歸結(jié)為如下的H∞魯棒性能準(zhǔn)則設(shè)計問題。

設(shè)具有參數(shù)攝動及外部擾動的被控對象

有正定解 X＞0，其中 R2=I+λ－2FTbFb，則狀態(tài)反饋控制器為

控制輸入為u=Kx，K=［K1K2］，使得閉環(huán)系統(tǒng)滿足H∞魯棒性能準(zhǔn)則:對于任意的Q∈Ω，閉環(huán)系統(tǒng)內(nèi)部穩(wěn)定;ξ到 z的傳函 Tzξ（s）滿足‖Tzξ（s）‖ ＜1。

假設(shè)攝動最大值已知，即|δ1（t）|≤σ1，|δ2（t）|≤σ2，且 σ1＞0，σ2＞0 為已知常數(shù)，取

則有Q∈Ω且ΔA和ΔB滿足式（8）。利用MATLAB求解式（9）、（10）即可求得需要的控制器K。

2.2 零相位誤差跟蹤控制（ZPETC）

XY平臺驅(qū)動系統(tǒng)在跟蹤控制時，由于存在著電磁慣性和機(jī)械慣性使輸出響應(yīng)和輸入指令之間存在滯后現(xiàn)象，兩信號間存在著較大的相位誤差。為補償時間延時對系統(tǒng)跟蹤精度的影響，采用Tomizuka提出的零相位誤差跟蹤控制（ZPETC），它是一種結(jié)合零、極點對消和相位對消，能在較大的帶寬范圍內(nèi)對閉環(huán)動態(tài)系統(tǒng)進(jìn)行逆處理的前饋控制［7］。實際被控對象的傳遞函數(shù)為式（5）中的G（s），標(biāo)稱對象傳遞函數(shù)為G（s）=，單軸位置控制器參數(shù)

n為K，則基于H∞速度反饋控制的閉環(huán)系統(tǒng)傳遞函數(shù)為

2.3 法向交叉耦合控制

為了解決兩軸驅(qū)動系統(tǒng)參數(shù)不匹配對輪廓精度的影響，在單軸控制的基礎(chǔ)上采用交叉耦合控制方法進(jìn)行實時補償控制，實現(xiàn)跟蹤誤差與輪廓誤差的同時減小［8］，其控制思想是將各軸的誤差在耦合控制器中首先進(jìn)行綜合，然后將綜合后的誤差信息分配給各軸以產(chǎn)生相應(yīng)的實時附加補償作用。設(shè)Cx和Cy為交叉耦合控制器的耦合增益［4］，則

傳統(tǒng)輪廓耦合增益需要計算輪廓軌跡的二階微分，本文采用一種簡單近似算法將其化為只需計算一階微分的法向單位向量?？紤]實際位置、指令位置及期望軌跡之間的幾何關(guān)系，將實際位置與過期望軌跡上指令位置點的切線的垂直距離向量定義為估計輪廓誤差向量。在高精度直線伺服系統(tǒng)中，跟蹤誤差較小，估計輪廓誤差向量可以近似為實際輪廓誤差向量，如圖2所示，可以直接計算輪廓誤差向量的幅值ε·為

設(shè)跟蹤誤差向量e和期望軌跡上指令位置處的法向向量n為

基于H∞速度反饋控制和ZPETC的XY平臺法向交叉耦合控制框圖如圖3所示，Xd，Yd和 Xa，Ya分別表示各軸的位置輸入輸出，ξx和ξy為X、Y軸的擾動項，Kx與Ky為X、Y軸的位置控制器，Ⅰ、Ⅱ表示X、Y軸的零相位跟蹤控制器，Ⅲ、Ⅳ表示X、Y軸的H∞速度反饋控制器，Ⅴ表示法向交叉耦合控制器。

以內(nèi)蒙古自治區(qū)阿榮旗為研究區(qū)域，以自治區(qū)全國第一次地理國情普查數(shù)據(jù)、森林資源二類調(diào)查小班數(shù)據(jù)、Landsat-OLI遙感影像為研究資料，設(shè)置并提取RS與GIS因子作為自變量，以小班的平均平方千米蓄積量作為因變量建立基于最小二乘估計的多元線性回歸模型，反演2016年立木蓄積量，對森林蓄積量的遙感估測做了相關(guān)研究。

圖3 XY平臺綜合控制框圖Fig．3 Block diagram for XY table control system

3 仿真結(jié)果及分析

采用2臺參數(shù)相同的永磁同步直線電機(jī)作為XY平臺的驅(qū)動部件進(jìn)行仿真研究，電機(jī)參數(shù)為Mn=11.0 kg，B=8 N·s/m，Kf=29 N/A，動子質(zhì)量變化為M=1.1 Mn（Mn為動子質(zhì)量，B表示粘滯摩擦系數(shù)，Kf`表示推力系數(shù)，M代表變化后的動子質(zhì)量）。X、Y軸的期望軌跡分別為Xd（t）=10sin（πt）mm，Yd（t）=10sin（π（t+0.5））mm，即輪廓軌跡為不規(guī)則橢圓，采樣周期為0.001 s。

選取B/M和1/M的不確定攝動參數(shù)最大值為σ1=0.25，σ2=0.125，反復(fù)試選加權(quán)系數(shù)得到q1=50，q2=2500，λ=3.1。根據(jù)式（9）（10）通過MATLAB 求得H∞控制器為［K1xK1y］=［K2xK2y］=［72 2511］。

為便于比較，對傳統(tǒng)PI控制的系統(tǒng)也進(jìn)行了仿真，權(quán)衡穩(wěn)定性和跟蹤性的要求，其比例、積分增益分別為kpx=69，kix=28，kpy=71，kiy=28.7，仿真結(jié)果如圖4和圖5所示。

圖4 不同控制方法在負(fù)載擾動下的X、Y軸位移輸出曲線Fig．4 Position responses of X axis and Y axis using different controllers with load

圖5 不同控制方法在負(fù)載擾動下的單軸跟蹤誤差輸出曲線Fig．5 Tracking errors of X axis and Y axis using different controllers with load

由圖4、圖5可看出，傳統(tǒng)PI控制下的輸出響應(yīng)具有一定的延遲，并且在突加擾動后波動較大，恢復(fù)時間較長，而ZPETC與H∞速度反饋控制下的系統(tǒng)位移基本無滯后，跟蹤誤差較小，具有較強(qiáng)的跟蹤性和抗擾性。

由于系統(tǒng)實時性較強(qiáng)，交叉耦合控制器Gccc采用PID控制形式，針對上述兩軸參數(shù)不匹配情況，經(jīng)反復(fù)調(diào)試得其比例、積分、微分增益分別為kp=1 255.4，ki=100 000，kd=42，仿真結(jié)果如圖6所示。

圖6 不同控制器在參數(shù)不匹配時的輪廓誤差輸出曲線Fig．6 Contour errors of XY table using different controllers with parameter mismatch of two axes

由圖6可看出，單軸ZPETC與H∞速度反饋控制雖能保證系統(tǒng)的跟蹤精度和抗擾性，但其輪廓誤差仍然很大，而加入法向交叉耦合控制的系統(tǒng)輪廓精度大幅度提高，能夠達(dá)到系統(tǒng)高精度要求。

4 結(jié)論

采用ZPETC控制、H∞速度反饋控制及法向交叉耦合控制相結(jié)合的策略有效地削弱機(jī)械系統(tǒng)的時間延遲效應(yīng)、負(fù)載擾動以及兩軸驅(qū)動系統(tǒng)參數(shù)不匹配等因素對直線電機(jī)直接驅(qū)動XY平臺輪廓加工精度的影響。H∞速度反饋控制提高了系統(tǒng)的魯棒性，ZPETC實現(xiàn)了快速準(zhǔn)確跟蹤，基于ZPETC與H∞速度反饋控制的法向交叉耦合控制在保證系統(tǒng)跟蹤性和魯棒性的同時大幅度減小了系統(tǒng)輪廓誤差。仿真結(jié)果表明，所設(shè)計控制系統(tǒng)具有較好的跟蹤性、魯棒性和輪廓精度。

［1］王廣炎，張潤孝，帥梅，等．?dāng)?shù)控機(jī)床的輪廓誤差的控制［J］．機(jī)床與液壓，1999，6（1）:59－61．

WANG Guangyan，ZHANG Runxiao，SHUAI Mei，et al．Contour error controller in NC machine tools［J］．Machine Tool＆Hydraulics，1999，6（1）:59 －61．

［2］王波，梁迎春，董申．超精密機(jī)床模糊輪廓控制技術(shù)研究［J］．哈爾濱工業(yè)大學(xué)學(xué)報，2005，37（6）:830－832．

WANG Bo，LIANG Yingchun，DONG Shen．Fuzzy contour control strategy for the ultra precision machine tool［J］．Journal of Harbin Institute of Technology，2005，37（6）:830 －832．

［3］曲永印，趙希梅，郭慶鼎．基于零相位誤差跟蹤控制器的輪廓誤差交叉耦合控制［J］．中國機(jī)械工程，2006，17（11）:1135－1137．

QU Yongyin，ZHAO Ximei，GUO Qingding．Cross coupling control of contour errors based on zero phase error tracking controller［J］．China Mechanical Engineering，2006，17（11）:1135 －1137．

［4］SUN Dong，SHAO Xiaoyin，F(xiàn)ENG Gang．A model-free cross-coupled control for position synchronization of multi-axis motions［J］．IEEE Transactions on Control Systems Technology，2007，15（2）:306－314．

［5］CHENG Mingyang，LEE Chengchien．Motion controller design for contour-following tasks based on real-time contour error estimation［J］．IEEE Trans．on Industrial Electronics，2007，54（3）:1686－1695．

［6］藍(lán)益鵬，郭慶鼎．直線電動機(jī)伺服系統(tǒng)的魯棒H∞控制［J］．電工技術(shù)學(xué)報，2003，18（5）:54－58．

LAN Yipeng，GUO Qingding．Robust H∞control for linear motor servo system［J］．Transactions of China Electrotechnical Society，2003，18（5）:54－58．

［7］趙希梅，郭慶鼎．為提高輪廓加工精度采用 DOB和ZPETC的直線伺服魯棒跟蹤控制［J］．電工技術(shù)學(xué)報，2006，21（6）:111－114．

ZHAO Ximei，GUO Qingding．Linear servo robust tracking control based on DOB and ZPETC to improve the contour machining precision［J］．Transactions of China Electrotechnical Society，2006，21（6）:111－114．

［8］YEH Syh-Shiuh，HSU Pau-Lo．Estimation of the contouring error vector for the cross-coupled control design［J］．IEEE/ASME Trans．on Mechatronics，2002，7（1）:44 －51．

（編輯:張靜）