孫玉嬌， 劉鋒， 梅生偉

（清華大學(xué)電機(jī)系電力系統(tǒng)國家重點(diǎn)實驗室，北京 100084）

0 引言

在電力系統(tǒng)暫態(tài)穩(wěn)定分析方法中，時域仿真法受系統(tǒng)規(guī)模及計算速度的限制，難以提供定量分析的相關(guān)信息;而直接法則可避免大量的積分過程，可利用系統(tǒng)的自身結(jié)構(gòu)及動態(tài)特性來分析電力系統(tǒng)暫態(tài)穩(wěn)定性，但其缺點(diǎn)是受系統(tǒng)模型的限制。

直接法中存在兩個關(guān)鍵性問題:一是平衡點(diǎn)求取;二是穩(wěn)定域邊界近似。其中，平衡點(diǎn)求取是直接法中的關(guān)鍵，目前雖然已提出多種方法［1－10］，但卻仍是一個未能解決的難題，主要原因在于:1）電力系統(tǒng)中平衡點(diǎn)個數(shù)為無限個;2）無法確定電力系統(tǒng)暫態(tài)穩(wěn)定域邊界上平衡點(diǎn)個數(shù)及分布情況。

為克服平衡點(diǎn)求解的困難，文獻(xiàn)［11］提出了利用多項式近似系統(tǒng)研究電力系統(tǒng)平衡點(diǎn)及其穩(wěn)定域邊界近似的方法，并在理論上證明了該方法的合理性。本文結(jié)合多項式系統(tǒng)平衡點(diǎn)求解的優(yōu)勢及電力系統(tǒng)自身的特點(diǎn)，利用多項式近似系統(tǒng)研究原系統(tǒng)的平衡點(diǎn)及穩(wěn)定域邊界近似，并以一個單機(jī)無窮大系統(tǒng)及一個三機(jī)系統(tǒng)為例，驗證了所提方法的有效性。下面將分別介紹電力系統(tǒng)模型的多項式近似表示及多項式近似系統(tǒng)與原系統(tǒng)的關(guān)系，最后給出算例結(jié)果并得出結(jié)論。

1 電力系統(tǒng)模型的多項式近似表示

考慮一般的經(jīng)典n機(jī)電力系統(tǒng)非線性模型對上述系統(tǒng)，在穩(wěn)定平衡點(diǎn)（SEP）處進(jìn)行s階Taylor展開，利用半張量積［12］方法，可得近似系統(tǒng)

式中:H1為系統(tǒng)（1）在SEP處的一階導(dǎo)數(shù)，即傳統(tǒng)的Jacobi矩陣;Hk是系統(tǒng)（1）在 SEP處的k階導(dǎo)數(shù)，為2×2k維的二維矩陣，即式中:δeij= δei－ δej;01×2（k－1）表示 1 ×2（k－1）維且元素均為0的矩陣，稱其為0矩陣，是為文章表述方便而簡寫。本文其余用到0矩陣的地方，意義與此相同，不再作解釋。

可以看出，高維系統(tǒng)高階導(dǎo)數(shù)利用半張量積方法可進(jìn)行方便的表達(dá)與操作，因此可克服傳統(tǒng)方法中對高維高階導(dǎo)數(shù)表達(dá)及操作困難的缺點(diǎn)。

由電力系統(tǒng)自身的特點(diǎn)及文獻(xiàn)［11］所述多項式近似系統(tǒng)與原非線性系統(tǒng)的關(guān)系可知電力系統(tǒng)模型的多項式近似系統(tǒng)有如下特點(diǎn):a）在較大范圍內(nèi)可保證良好的近似精度。通常Taylor展開的范圍局限為展開點(diǎn)（或平衡點(diǎn)）的一個鄰域，但電力系統(tǒng)模型主要包含正弦及余弦函數(shù)，對此類函數(shù)多項式可在較大范圍內(nèi)實現(xiàn)很好的近似;b）在足夠高的近似階數(shù)下，多項式近似系統(tǒng)平衡點(diǎn)與原系統(tǒng)平衡點(diǎn)可任意接近［11］;c）在足夠高的近似階數(shù)下，多項式近似系統(tǒng)平衡點(diǎn)與原系統(tǒng)相應(yīng)平衡點(diǎn)類型可保持一致［11］。

2 多項式近似系統(tǒng)平衡點(diǎn)的求解

目前，電力系統(tǒng)暫態(tài)穩(wěn)定分析中平衡點(diǎn)的求取是一個難點(diǎn)，其主要原因在于穩(wěn)定域邊界上平衡點(diǎn)總數(shù)及分布情況未知。而多項式系統(tǒng)則可在一定程度上減弱這一困難。原因如下:a）根據(jù)代數(shù)幾何理論，多項式系統(tǒng)實根個數(shù)或其上界可確定［13－14］;b）目前多項式求解算法已有深入研究，對于某些多項式系統(tǒng)存在有效方法求出其全部實根。多項式系統(tǒng)求解方法可分為代數(shù)方法及數(shù)值方法，二者均可求出多項式系統(tǒng)的全部根，但代數(shù)方法計算量大，不適用于大系統(tǒng)，而數(shù)值方法中的同倫法［15－16］（或稱連續(xù)法）則因其強(qiáng)大的理論基礎(chǔ)及計算優(yōu)勢得到認(rèn)同。最初同倫法路徑數(shù)由多項式系統(tǒng)根的最大個數(shù)——Bezout數(shù)決定，即由多項式系統(tǒng)中各多項式的最高階數(shù)之積決定，但實際系統(tǒng)中根的個數(shù)通常遠(yuǎn)小于Bezout數(shù)，由此導(dǎo)致同倫法中大量路徑發(fā)散，引起不必要的計算支出，文獻(xiàn)［16］采用齊次化方法減少同倫路徑數(shù)從而提高計算速度并通過確定求解多項式系統(tǒng)全部根所需的最大路徑數(shù)來避免盲目求解，由此克服已有同倫法的不足。此外，同倫法目前已在并行計算中實現(xiàn)并可解決實際中較大系統(tǒng)的求解問題［17］。

由此可見，多項式近似系統(tǒng)由于其結(jié)構(gòu)的特殊性，可以在平衡點(diǎn)求解上具有一定的優(yōu)勢;而文獻(xiàn)［11］已經(jīng)證明當(dāng)近似階數(shù)足夠高時近似系統(tǒng)與原系統(tǒng)平衡點(diǎn)可以任意接近且類型保持一致，這就為我們利用多項式近似系統(tǒng)研究原系統(tǒng)的平衡點(diǎn)及穩(wěn)定域邊界近似提供了理論基礎(chǔ)及技術(shù)上的可行性。

3 多項式近似系統(tǒng)的能量函數(shù)

對于s階近似系統(tǒng)（2），可構(gòu)造其能量函數(shù)

4 算例分析

4.1 單機(jī)系統(tǒng)穩(wěn)定性分析

1）單機(jī)系統(tǒng)的多項式近似表示

考慮如下的單機(jī)無窮大系統(tǒng)（D=0）·

系統(tǒng)存在一個SEP（0.729 1，0），一個不穩(wěn)定平衡點(diǎn)（UEP）（2.412 5，0）。采用半張量積方法得到其在SEP處的s階近似系統(tǒng)

2）單機(jī)系統(tǒng)平衡點(diǎn)研究

對單機(jī)系統(tǒng)在SEP處分別作2～8階Taylor展開，得7個近似系統(tǒng)，比較各近似系統(tǒng)平衡點(diǎn)與原系統(tǒng)平衡點(diǎn)之間的關(guān)系如下:a）SEP相同，各近似系統(tǒng)均在SEP處Taylor展開得到，因此其SEP與原系統(tǒng)相同;b）UEP隨近似階數(shù)的增高與原系統(tǒng)UEP越來越接近，具體地，比較2～8階近似系統(tǒng)UEP與原系統(tǒng)UEP之間的誤差，得到如表1所示結(jié)果。從表中可見，隨近似階數(shù)的增高，近似系統(tǒng)UEP越來越接近于原系統(tǒng)UEP。同時，以近似系統(tǒng)UEP為初值對原系統(tǒng)UEP求解時原系統(tǒng)均能收斂到其UEP;因此，可利用近似系統(tǒng)UEP近似替代原系統(tǒng)UEP或為初值求取原系統(tǒng)UEP。

表1 單機(jī)無窮大近似系統(tǒng)與原系統(tǒng)UEP比較Table 1 Single-machine infinite-bus（SMIB）system’s UEP and its approximate systems’UEPs

3）單機(jī)系統(tǒng)能量函數(shù)的構(gòu)造

對于近似系統(tǒng)（4），構(gòu)造其能量函數(shù)

4）單機(jī)系統(tǒng)穩(wěn)定域邊界刻畫

穩(wěn)定域邊界近似通常有兩類方法:①基于等能量曲面近似穩(wěn)定域邊界［1－2］，采用的是經(jīng)過 Closest UEP的等能量曲面來近似系統(tǒng)的穩(wěn)定域邊界，該方法具有一定保守性;② 利用穩(wěn)定域邊界上的Controlling UEP的穩(wěn)定流形的局部近似［18］或者等能量面來近似穩(wěn)定域邊界，可減少保守性。

下面首先利用穩(wěn)定流形局部近似法求單機(jī)無窮大系統(tǒng)及其5～7階近似系統(tǒng)的穩(wěn)定域邊界局部近似。計算結(jié)果如圖1所示，其中UEP采用原系統(tǒng)的UEP。實線為原系統(tǒng)準(zhǔn)確的穩(wěn)定域邊界及其一次、二次局部近似。虛線分別為5～7階近似系統(tǒng)的穩(wěn)定域邊界一次、二次局部近似。從圖1中可以看出:a）穩(wěn)定流形局部近似在平衡點(diǎn)附近可較好地近似原系統(tǒng)的穩(wěn)定域邊界;b）隨著近似階數(shù)的增高，近似系統(tǒng)穩(wěn)定域邊界局部近似與原系統(tǒng)穩(wěn)定域邊界局部近似越來越接近。

圖1 單機(jī)無窮大及近似系統(tǒng)穩(wěn)定域邊界局部近似Fig．1 Local approximation of transient stability region boundary for SMIB system and its approximate systems

下面考慮用等能量函數(shù)曲面方法近似穩(wěn)定域邊界。具體地，近似系統(tǒng)（4）穩(wěn)定域邊界近似可取為過其UEP的能量函數(shù)曲線，即曲線 －c=0，其中c 為過 UEP 的能量值，即 c=|（δuep，ωuep）。

比較2～8階近似系統(tǒng)穩(wěn)定域邊界與原系統(tǒng)穩(wěn)定域邊界的關(guān)系，如圖2所示，其中實線為原系統(tǒng)穩(wěn)定域邊界，虛線為各階近似系統(tǒng)的穩(wěn)定域邊界近似。

圖2 單機(jī)無窮大及2～8階近似系統(tǒng)穩(wěn)定域邊界比較Fig．2 Comparison of transient stability region boundaries between SMIB system and its 2nd-order to 8th-order approximate systems

由圖2可見:a）采用能量函數(shù)曲線近似系統(tǒng)穩(wěn)定域邊界可在較大范圍內(nèi)近似原系統(tǒng)穩(wěn)定域邊界;b）采用能量函數(shù)曲線近似系統(tǒng)穩(wěn)定域邊界時，隨著近似階數(shù)的增高，近似系統(tǒng)的穩(wěn)定域邊界近似越來越接近于原系統(tǒng)的穩(wěn)定域邊界。以上兩種方法驗證了利用多項式近似系統(tǒng)研究原系統(tǒng)穩(wěn)定域邊界近似的合理性。

4.2 多機(jī)系統(tǒng)穩(wěn)定性分析

1）三機(jī)系統(tǒng)的多項式近似表示

考察文獻(xiàn)［1］中的三機(jī)系統(tǒng)模型

2）三機(jī)系統(tǒng)平衡點(diǎn)的求取

三機(jī)系統(tǒng)（5）共13個平衡點(diǎn)，其中一個SEP，12個UEP，圖3給出了三機(jī)系統(tǒng)穩(wěn)定域邊界在角度面上的投影，并標(biāo)注了各平衡點(diǎn)的類型。

圖3 三機(jī)系統(tǒng)平衡點(diǎn)及暫態(tài)穩(wěn)定域邊界Fig．3 EPs and transient stability region boundary of three-machine system

求取該系統(tǒng)在SEP處的13階近似系統(tǒng)，并求解其平衡點(diǎn)。圖4給出了13階近似系統(tǒng)與原系統(tǒng)平衡點(diǎn)的關(guān)系。其中，圓圈表示原系統(tǒng)平衡點(diǎn)，星形表示近似系統(tǒng)平衡點(diǎn)。從圖中標(biāo)注的平衡點(diǎn)類型可以看出，近似系統(tǒng)與原系統(tǒng)平衡點(diǎn)類型一致。

圖4 13階近似系統(tǒng)與原系統(tǒng)UEP比較圖Fig．4 Comparison of UEPs between three-machine system and its 13th-order approximate system

分析圖4可知，系統(tǒng)（5）與近似系統(tǒng)（6）的平衡點(diǎn)有如下關(guān)系:a）SEP不變;b）近似系統(tǒng)與原系統(tǒng)UEP位置非常接近;c）近似系統(tǒng)雙曲UEP性質(zhì)與原系統(tǒng)一致。這就驗證了文獻(xiàn)［11］所提到的近似系統(tǒng)與原系統(tǒng)的平衡點(diǎn)的關(guān)系，為利用近似系統(tǒng)研究原系統(tǒng)的穩(wěn)定域邊界奠定了基礎(chǔ)。

3）三機(jī)系統(tǒng)能量函數(shù)的構(gòu)造

對多項式近似系統(tǒng)（6），構(gòu)造能量函數(shù)

4）多機(jī)系統(tǒng)穩(wěn)定域邊界刻畫

與單機(jī)情況相似，本文基于穩(wěn)定域邊界近似的兩類方法對13階近似系統(tǒng)進(jìn)行了測試，得到如圖5和圖6所示的結(jié)果。

圖5 三機(jī)系統(tǒng)13階近似系統(tǒng)穩(wěn)定域邊界二次近似Fig．5 Quadratic approximation of transient stability region boundary of three-machine system’s 13th-order approximate system

圖6 三機(jī)系統(tǒng)及其13階近似系統(tǒng)勢能界面Fig．6 Closest UEP’s potential energy boundary surface of three-machine system and its 13th-order approximate system

首先采用局部近似方法，利用穩(wěn)定域邊界上所有1型UEP的穩(wěn)定流形局部近似來構(gòu)成整個穩(wěn)定域邊界，結(jié)果如圖5所示，其中實線表示原系統(tǒng)穩(wěn)定域邊界在角度面上的投影，虛線表示13階近似系統(tǒng)穩(wěn)定域邊界的二階近似在角度面上的投影。從圖5可以看出，利用13階近似系統(tǒng)穩(wěn)定域邊界的二階近似可以很好地近似原系統(tǒng)的穩(wěn)定域邊界。

其次采用通過Closet UEP的等能量曲面來近似穩(wěn)定域邊界，其結(jié)果如圖6所示，其中，實線為原系統(tǒng)過Closest UEP的等能量曲面在角度面上的投影，虛線為13階近似系統(tǒng)過Closest UEP的等能量曲面在角度面上的投影。由圖6可見，近似系統(tǒng)等能量曲面與原系統(tǒng)的等能量曲面非常接近。

由上述測試結(jié)果可以看出，利用高階近似系統(tǒng)的穩(wěn)定域邊界近似可較好地近似原系統(tǒng)的穩(wěn)定域邊界，因此可以考慮利用近似系統(tǒng)研究原系統(tǒng)的穩(wěn)定域邊界。由于本文對原非線性系統(tǒng)的近似系統(tǒng)的求取及穩(wěn)定域邊界的近似刻畫均采用了半張量積方法，可方便地利用計算機(jī)自動實現(xiàn)不穩(wěn)定平衡點(diǎn)的計算和能量函數(shù)的構(gòu)造，有望實現(xiàn)電力系統(tǒng)暫態(tài)穩(wěn)定分析全過程的“自動化”。

5 結(jié)論

利用半張量積方法求得一般電力系統(tǒng)非線性模型的多項式近似系統(tǒng)，并通過分析表明利用多項式近似系統(tǒng)分析原系統(tǒng)的平衡點(diǎn)及穩(wěn)定域邊界近似是可行的，從而可在電力系統(tǒng)暫態(tài)穩(wěn)定分析中充分利用多項式系統(tǒng)在分析與計算上的優(yōu)勢。對單機(jī)無窮大系統(tǒng)及三機(jī)系統(tǒng)的仿真試驗驗證了本文所提方法的有效性。從某種意義上講，將一般非線性系統(tǒng)表述為多項式系統(tǒng)，也是一種有效的“約化”。但必須說明的是，雖然多項式系統(tǒng)是一類“最簡潔”的非線性系統(tǒng)，但其分析與計算仍然是困難的。本文的工作只是一個初步嘗試，下一階段的重點(diǎn)是充分利用代數(shù)幾何等先進(jìn)數(shù)學(xué)工具，最大程度地提高半張量積方法的工程實用性。

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（編輯:張靜）