姚衛(wèi)坤 （合肥工業(yè)大學 管理學院，安徽 合肥 230009）

0 引 言

從20世紀60年代起，許多學者開始關(guān)注變質(zhì)物品的研究，Hadley&Whitin[1]是最早考慮到庫存會發(fā)生腐蝕現(xiàn)象的學者。Dave和Patel[2-3]考慮需求隨時間線性遞增以及商品腐蝕的特性，進而求得固定訂購周期與不允許缺貸時的最佳訂購批量。Wee[4]提出 “允許部分補貨”的觀念，他將缺貨期間的補貨率假設(shè)為0-1之間的固定常數(shù)，考慮變質(zhì)物品在生命周期處于衰退期的庫存模型。Chakrabarti和Chaudhuri[5]則提出在SFI定購策略下，考慮需求隨時間呈指數(shù)遞減的變質(zhì)物品的庫存模型。

但是有關(guān)變質(zhì)物品的研究中考慮數(shù)量折扣的模型還不是很多見，Wee[6]在購買價格不變的前提下，討論了需求隨價格和時間變化的條件下零售商在一定計劃期內(nèi)各周期的最優(yōu)庫存策略。Wee和yu[7]注意到數(shù)量折扣對零售商庫存策略的影響，討論了供應(yīng)商給予暫時折扣時零售商的庫存策略，但是假定需求在整個計劃期內(nèi)是不變的。Monahan[8]首次從供應(yīng)商的角度研究了數(shù)量折扣的問題。L[9]等考慮了一個供應(yīng)商和多個零售商的數(shù)量折扣問題，并給出了供應(yīng)商給予數(shù)量折扣的一個算法。

而對于臨時價格折扣的研究，大多是研究零售商在面對供應(yīng)商的優(yōu)惠政策時如何訂貨和定價，Tersine[10]首先研究了臨時價格折扣，并提出了OTOS（one time only sale），隨后他和Price[11]、Ardalan[12]討淪了沒有供應(yīng)商特別訂貨量限制的臨時價格折扣的存貯模型，然后Tersine[13]提出了一個基于臨時價格折扣的一般化EOQ模型。

然而上面關(guān)于臨時價格折扣的研究都是假設(shè)供應(yīng)商提供價格折扣，然后零售商決定最優(yōu)訂貨量或者最優(yōu)訂購周期。而本文是從零售商的角度出發(fā)，考慮臨時價格折扣的制定問題，研究的是零售商做出的面向顧客的臨時價格折扣，這在現(xiàn)實中也是零售商經(jīng)常采用的一種促銷手段，尤其是在銷售變質(zhì)物品時。文章通過建立相應(yīng)的數(shù)學模型及對其求解，決策出零售商應(yīng)該在什么時候給多大的折扣價格，使得他的利潤會最大，即決策變量是折扣開始時間和臨時價格折扣系數(shù)，決策條件是利潤最大。同時文章也考慮了零售商做出價格折扣決策后對需求的影響，所以本文所開展的研究有一定的現(xiàn)實意義。

1 符號說明及假定

為了便于建立模型，本文給出以下假定： （1）只考慮一個銷售周期； （2）不允許缺貨，周期結(jié)束時，庫存為零； （3）物品變質(zhì)不是從入庫開始，而是有一個拖后時間td，且0

模型中的符號含義：T——銷售周期長度I（t）——物品在t時刻的庫存水平h——單位時間單位物品的庫存費用p0—— 零售商每單位物品的購買價格p——零售商每單位物品的售價，p＞p0D（t）——物品在t時刻的需求率，且D（t）=（a-bt） p-k，a＞0，b＞0，k為常數(shù) β——臨時價格折扣系數(shù)，為決策變量，且0＜β＜1 t1——零售商采取臨時折扣開始時間，為決策變量，且0＜t1＜Tθ——物品的變質(zhì)率，為常數(shù)E——零售商單位時間內(nèi)的平均總利潤HR——一個周期內(nèi)零售商的銷售收入HY——一個周期內(nèi)零售商的庫存成本HC——一個周期內(nèi)零售商的購買成本A——零售商每訂購一次物品的固定訂購成本

2 模型的建立

由模型假設(shè)可以知道，物品在0≤t1≤t時間段，需求函數(shù)為：

從t1時刻開始由于實施價格折扣策略，且折扣系數(shù)為β，所以在t1≤t≤T時間段，需求函數(shù)為：

因為變質(zhì)不是從入庫開始的，而是有一個拖后時間td，所以零售商庫存的減少在變質(zhì)之前是由于銷售影響，在變質(zhì)之后是由于銷售和變質(zhì)同時影響，同時在t1時刻零售商實施了價格折扣策略，由此零售商的庫存水平是分為三階段的，下面分A，B兩種情況討論：

A.當0＜td＜t1時， 可以知道庫存水平分三種情況， 即在0≤t≤td為I1（t ）， 在 td≤t≤t1為 I2（t ）， 在 t1≤t≤T為I3（t）， 并且可知道庫存水平的變化率為：

所以，由 （9）、 （10）、 （11）可得零售商在單位時間內(nèi)的平均總利潤=（銷售收入－庫存成本－購買成本－固定訂貨成本，即：

3 模型求解

對于A種情況，所建立的模型是關(guān)于β和t1的二元函數(shù)，通過求偏導(dǎo)可以解出β和t1，進而求出零售商的最大平均利潤，即：

把 （21）式代入 （19）式中，可以得到一個關(guān)于t1的一元方程，進而可以解出t1，再把t1代入 （21）式，就可以解出β，最后把β和t1代入 （12）式中就可以求出零售商的最大平均利潤。

對于B種情況，可以用同樣的方法求出解。

然后對不同的物品開始變質(zhì)時間td，可以分別代入 （12）， （18）式求出最優(yōu)策略，在從它們兩個結(jié)果中選擇出零售商利潤最大的一個策略，即為模型的最優(yōu)解。

在具體求解模型的過程中，可以通過常用的數(shù)學軟件matlab優(yōu)化工具箱求出最優(yōu)解。

4 算例分析

為了說明模型的實用性，下面給出應(yīng)用例子。

（1）假設(shè)a=100,b=10，T=5，p=4，p0=2，k=1，h=0.05，A=10，td＝0（即物品的變質(zhì)從入庫開始），當物品變質(zhì)率不同時，通過matlab計算可以得到表1中的數(shù)值計算結(jié)果。

表1 變質(zhì)率不同時對利潤的影響分析

從表1中可以看出，若物品變質(zhì)從入庫開始，當物品變質(zhì)率增大時，實施折扣的時間越要提前，折扣系數(shù)也越來越小。而當物品變質(zhì)率接近時，零售商的平均利潤也很接近，但是當變質(zhì)率忽然變大時，零售商的平均利潤也會減少很多，可見變質(zhì)率對折扣開始時間，臨時折扣系數(shù)和利潤的影響是非常顯著的。在實際問題中，也往往是物品越容易變質(zhì)，零售商越擔心變質(zhì)影響銷售，也越會提早采取折扣，這和計算結(jié)果相符合。從表中也可以看出，當物品變質(zhì)率變化時，零售商的訂貨量基本不變，從而可以說明零售商在適當?shù)臅r間給合適的折扣價格是很又必要的。當θ=0.0005時，E=33.3733，當θ=0.1時，E=23.2398，平均利潤減少了33.36%。

（2）假設(shè)a=100，θ=0.05，T=5，p=4，p0=2，k=1，h=0.05，A=10，當物品的變質(zhì)開始時間不同時 （即td不同時），可以得到表2是數(shù)值計算結(jié)果。

表2 變質(zhì)開始時間不同對利潤的影響分析

從表2中可以看到，當物品變質(zhì)開始時間越來越晚時，即物品越不容易變質(zhì)，臨時折扣開始的時間也就越來越晚，這和實際很相符合。而對于不同的變質(zhì)開始時間，代入模型中通過分析比較可以決策出最優(yōu)的促銷策略，所以零售商在適當?shù)臅r候打折扣對其利潤是有一定影響的，這從表中可以很明顯的看出。

5 結(jié)束語

本文分析了需求隨時間和價格變化條件下，零售商在銷售易變質(zhì)物品時面向顧客做出的臨時價格折扣，決策變量是臨時折扣系數(shù)和折扣開始時間，決策條件是零售商的利潤最大化，通過本模型零售商可以決策出折扣開始時間和臨時折扣價格。其實還可以結(jié)合變質(zhì)物品的質(zhì)量狀況，考慮多個折扣開始時間和折扣系數(shù)，使得零售商的平均利潤最大。其中，發(fā)生價格折扣的時間及多大的折扣價格對需求變化都有一定的影響。本文研究中的一些不足： （1）我們只是從零售商的角度考慮，如果能從整個供應(yīng)鏈的角度出發(fā)，設(shè)計出一個臨時折扣價格和折扣開始時間的模型，使得整個供應(yīng)鏈的利潤最大，同時零售商的利潤也達到最大。 （2）本文考慮的是一個銷售周期，實際上還可以考慮有限計劃期內(nèi)多個銷售周期的情況，在此情況下零售商的最大利潤模型應(yīng)該如何確定？這些問題均有待進一步研究。

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