馮王亮 何海明

( 紹興市第一中學(xué) 浙江 紹興 312000 )

帶電粒在磁場中的軌跡問題,其本質(zhì)是平面幾何知識與物理知識的綜合應(yīng)用.由于這類問題靈活多變，最能體現(xiàn)學(xué)生數(shù)理結(jié)合的綜合應(yīng)用能力，歷年來為高考命題者所青睞.帶電粒子在勻強(qiáng)磁場中的運(yùn)動軌跡是圓弧，離不開圓的幾何知識.當(dāng)磁場區(qū)域受圓形邊界約束時，軌跡問題實(shí)際上是二圓相交問題.利用等圓相交的對稱性特點(diǎn)，可以快速、簡潔地求解帶電粒子在磁場中運(yùn)動的軌跡問題.

1 用優(yōu)弧和劣弧的互補(bǔ)對稱性

圖1

【例1】(1999年全國高考第24題)如圖2所示，虛線AB是一垂直紙面的平面與紙面的交線，在平面右側(cè)的半空間，存在磁感應(yīng)強(qiáng)度為B、方向垂直紙面向外的勻強(qiáng)磁場.O是AB上的一點(diǎn)，從O點(diǎn)可以向磁場區(qū)域發(fā)射電荷量為+q、質(zhì)量為m、速率為v的粒子，粒子射入磁場時的速度可在紙面內(nèi)各個方向.已知先后射入的兩個粒子恰好在磁場中給定的P點(diǎn)相遇，P到O的距離為L，不計(jì)重力和粒子間的相互作用.求：

(1)所考查的粒子在磁場中的軌道半徑；

(2)這兩個粒子從O點(diǎn)射入磁場的時間間隔.

圖2

分析與解：(1)設(shè)粒子的軌道半徑為r，粒子受到的洛倫茲力提供向心力

(2)作兩個相交的等圓，交點(diǎn)分別為O、P(圖1).先后從O點(diǎn)射出的兩個粒子在P點(diǎn)相遇，根據(jù)互補(bǔ)對稱性的時差規(guī)律，先后從O點(diǎn)射出的兩個粒的時間差為

由幾何關(guān)系知

解得

2 用等圓交點(diǎn)切線方向的對稱性

過兩個等圓的交點(diǎn)O、P，分別作兩圓的切線，由等圓相交的對稱性不難證明，切線方向也是平行對稱的(圖3).其物理意義是粒子軌道半徑等于磁場區(qū)域圓半徑的條件下，粒子從磁場射出的速度方向，和磁場邊界上入射點(diǎn)的切線平行.

圖3

【例2】 如圖4所示，真空中有一以(r，0)為圓心，半徑為r的圓柱形勻強(qiáng)磁場區(qū)域，磁場的磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B，方向垂直于紙面向里，在y≥r的范圍內(nèi)，有方向水平向左的勻強(qiáng)電場，電場強(qiáng)度的大小為E；從O點(diǎn)向不同方向發(fā)射速率相同的質(zhì)子，質(zhì)子的運(yùn)動軌跡均在紙面內(nèi). 已知質(zhì)子的電荷為e，質(zhì)量為m，質(zhì)子在磁場中的偏轉(zhuǎn)半徑也為r，不計(jì)重力及阻力的作用，求：

(1)質(zhì)子射入磁場時的速度大小；

(2)速度方向沿x軸正方向射入磁場的質(zhì)子，到達(dá)y軸所需的時間；

(3)速度方向與x軸正方向成30°角(圖4)射入磁場的質(zhì)子，到達(dá)y軸的位置坐標(biāo).

圖4

分析與解：(1)磁場中洛倫茲力提供向心力

質(zhì)子射入磁場時的速度

磁場中經(jīng)歷時間

在電場中

解出

質(zhì)子到達(dá)y軸所需要的時間

(3)由兩等圓交點(diǎn)切線方向的對稱性知，從磁場邊界O點(diǎn)射入的質(zhì)子，出射方向平行于過入射點(diǎn)O磁場圓的切線方向，所以質(zhì)子仍沿y軸正方向射入電場做類平拋運(yùn)動，如圖5所示.結(jié)合幾何關(guān)系列出

圖5

解得

3 用等圓交點(diǎn)位置的對稱性

由等圓相交的對稱性可知，過交點(diǎn)的直徑相互平行.如果磁場圓交于軌跡圓的最高點(diǎn)，則軌跡圓必過磁場圓的最低點(diǎn).以交點(diǎn)O為原點(diǎn)，過O點(diǎn)的直徑為y軸，其物理意義便一目了然(圖6)，當(dāng)帶電粒子平行x軸正向射入磁場區(qū)域，粒子必經(jīng)過原點(diǎn)O離開磁場.反之，從O點(diǎn)向各方向射出進(jìn)入磁場的粒子必定平行于x軸方向射出磁場.

圖6

【例3】(2009年浙江高考第25題)如圖7所示，x軸正方向水平向右，y軸正方向豎直向上.在xOy平面內(nèi)有與y軸平行的勻強(qiáng)電場，在半徑為R的圓內(nèi)還有與xOy平面垂直的勻強(qiáng)磁場.在圓的左邊放置一個帶電微粒發(fā)射裝置，它沿x軸正方向發(fā)射出一束具有相同質(zhì)量m、電荷量q(q>0)和初速度v的帶電微粒.發(fā)射時，這束帶電微粒分布在0

圖7

(1)從A點(diǎn)射出的帶電微粒平行于x軸從C點(diǎn)進(jìn)入有磁場區(qū)域，并從坐標(biāo)原點(diǎn)O沿y軸負(fù)方向離開，求電場強(qiáng)度和磁感應(yīng)強(qiáng)度的大小與方向.

(2)請指出這束帶電微粒與x軸相交的區(qū)域，并說明理由.

(3)若這束帶電磁微粒初速度變?yōu)?v，那么它們與x軸相交的區(qū)域又在哪里？并說明理由.

分析與解：(1)帶電粒子平行于x軸從C點(diǎn)進(jìn)入磁場，并從O點(diǎn)沿y軸負(fù)方向離開，說明粒子的重力和電場力平衡，并且粒子軌跡半徑等于磁場區(qū)域半徑r=R.

重力和電場力平衡

mg=qE

得電場強(qiáng)度

方向沿y正向.

帶電粒子進(jìn)入磁場后做圓周運(yùn)動

得磁感應(yīng)強(qiáng)度

方向垂直紙面向外.

圖8

(2)帶電粒子沿x軸正方向射入圓形磁場區(qū)域，根據(jù)等圓交點(diǎn)位置對稱性推論知，平行于x軸正方向射入磁場區(qū)域的粒子，如果軌道半徑等于磁場半徑，所有粒子的軌跡必經(jīng)過磁場邊界的同一點(diǎn)，也就是磁場區(qū)域邊界圓的最低點(diǎn)坐標(biāo)原點(diǎn)(圖8).

(3)帶電微粒初速度變?yōu)?v后，軌道半徑變?yōu)?r.靠近A點(diǎn)發(fā)射出的粒子穿過磁場后會射向x軸正向無窮遠(yuǎn)處；靠近N點(diǎn)射向磁場的粒子會在靠近原點(diǎn)處穿出磁場.所以，這束帶電粒子與x軸相交區(qū)域的范圍是x>0.