鞠福桃 黃振平

(靖江高級(jí)中學(xué) 江蘇 靖江 214500)

2008年江蘇高考物理題中出現(xiàn)了擺線的曲線半徑；在運(yùn)用動(dòng)力學(xué)方法推導(dǎo)開(kāi)普勒第二定律中遠(yuǎn)地點(diǎn)、近地點(diǎn)速度關(guān)系時(shí)也要用到曲率半徑，而曲率半徑在數(shù)學(xué)上有嚴(yán)格的意義和表達(dá)式.在中學(xué)階段，可用物理方法求運(yùn)動(dòng)軌跡的曲率半徑，下面給出幾種典型曲線運(yùn)動(dòng)的曲率半徑.

(1)質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的橢圓軌道方程為

試求A(a,0)和B(0,b)兩點(diǎn)處的曲率半徑.

分析與解析：如圖1所示，把質(zhì)點(diǎn)的橢圓運(yùn)動(dòng)看

圖1

成兩個(gè)互相垂直的同頻率簡(jiǎn)諧振動(dòng)的疊加.設(shè)質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)方程為

x=acosωt

(1)

y=bsinωt

(2)

對(duì)應(yīng)的軌道方程就是題中給出的橢圓方程.

A(a,0)的速度vA是切向速度，又是質(zhì)點(diǎn)在y方向振動(dòng)時(shí)的速度振幅，有

vA=bω

(3)

此處質(zhì)點(diǎn)受力沿x方向，即曲線的法向，大小為

f=ka=mω2a

(4)

法向加速為

an=ω2a

(5)

由式(3)和(5)得，得到A(a,0)處曲率半徑

(6)

同理求得B(0，b)處切向速度、法向加速度、曲率半徑

vB=aω

(7)

an=ω2b

(8)

(9)

(2)如圖2所示，一物體做初速為v0的平拋運(yùn)動(dòng)，得到一拋物軌跡，求在拋物線上任一點(diǎn)處的曲率半徑.

圖2

分析與解：圖2中的拋物線方程可寫(xiě)為

y=Ax2

可由運(yùn)動(dòng)方程

消去t得軌道方程

所以

設(shè)t時(shí)刻拋射體抵達(dá)P點(diǎn)，其坐標(biāo)為(x,y).為得到此處曲率半徑ρ，可利用圖中速率v和法向加速度an求得.

因?yàn)関x=v0vy=gt

又

得到

圖3

(3)一個(gè)剛性圓輪在直線軌道上做純滾動(dòng)(圖3)，圓輪邊緣上一點(diǎn)所經(jīng)歷的軌跡稱為滾線(又稱旋輪線或擺線).對(duì)純動(dòng)即圓輪與直線軌道的接觸點(diǎn)無(wú)相對(duì)運(yùn)動(dòng).設(shè)圓輪半徑為R.試求滾線上各點(diǎn)的曲率半徑.

分析與解：滾線形狀與圓輪滾動(dòng)快慢無(wú)關(guān).選定一種圓輪滾動(dòng)的方式，圓心O′以不變的速度v0沿直線軌道向右運(yùn)動(dòng)，同時(shí)圓輪繞圓心O′以不變的角速度ω轉(zhuǎn)動(dòng)，為保證圓輪在直線軌道上做純滾動(dòng)，應(yīng)有關(guān)系式

v0=Rω

設(shè)圓輪滾動(dòng)φ角，P點(diǎn)達(dá)圖2所示位置，P點(diǎn)瞬時(shí)速度為

(1)

其方向必沿滾線在P點(diǎn)的切線方向.P點(diǎn)的加速度為

此處已利用v0是常量，輪心做勻速運(yùn)動(dòng).vP′是P點(diǎn)相對(duì)O′的相對(duì)速度.此式說(shuō)明，由于牽連加速度為零，絕對(duì)加速度等于相對(duì)加速度.且

方向由P指向O′.因此，P點(diǎn)的法向加速度為

(2)

這里P點(diǎn)處曲線的法向?yàn)锳P方向.由式(1)和式(2)，得P點(diǎn)曲率半徑為

這就是各φ處曲線的曲率半徑.

幾個(gè)特殊點(diǎn)的曲率半徑：

ρ(0)=0

ρ(π)=4R(曲線的最高點(diǎn))

(4)一雜技演員在圓筒建筑物內(nèi)壁表演飛檐走壁.演員騎摩托車從底部開(kāi)始運(yùn)動(dòng)，隨著速度增加，圈子越來(lái)越大，最后進(jìn)入圓筒形直壁上行駛.開(kāi)始在直壁上同一高度內(nèi)做圓周運(yùn)動(dòng)，繼而又在直壁上做等距螺旋運(yùn)動(dòng).已知圓筒直壁的半徑為R，螺距為h[圖4(a)].摩托車行駛速率為v(勻速率運(yùn)動(dòng))，演員和摩托車的總質(zhì)量為M.試求摩托車在圓筒形內(nèi)壁上做等距螺旋線運(yùn)動(dòng)時(shí)螺旋軌道的曲率半徑.

圖4

分析與解：摩托車做等距螺旋運(yùn)動(dòng)時(shí)，由于速率v不變，無(wú)切向加速度.設(shè)摩托車的速度分解成水平方向速度v水和豎起方向速度v豎，由于摩托車做等距螺旋運(yùn)動(dòng)，且運(yùn)動(dòng)中速率不變，所以可以知道，v豎在運(yùn)動(dòng)中方向和大小均保持不變；v水在運(yùn)動(dòng)中大小不變，方向不斷變化，其運(yùn)動(dòng)相當(dāng)于同一水平面內(nèi)半徑為R的勻速圓周運(yùn)動(dòng).則

v=v水+v豎

摩托車的加速度為

做半徑為R的圓周運(yùn)動(dòng)加速度相同，它只有法向加速度，沒(méi)有切向加速度，即

從摩托車運(yùn)動(dòng)的角度寫(xiě)出法向加速度.盡管螺旋線是一條三維空間的曲線，但可以用與二維平面曲線確定曲率半徑相類似的原則來(lái)確定螺旋線的曲率半徑.因?yàn)樵谌S曲線上取一小線元，當(dāng)線元趨于零時(shí)，必將趨于同一平面上的小圓弧，對(duì)應(yīng)的圓弧半徑就是在該處的曲率半徑.由此可以寫(xiě)出法向加速度.因等距螺旋線的對(duì)稱性，各處的曲率半徑相同，設(shè)為ρ，摩托車做螺旋運(yùn)動(dòng)時(shí)的法向加速度可以寫(xiě)為

兩式比較得

利用摩托車在筒壁繞一圈的幾何關(guān)系，如圖4(b)，得到

代入ρ的表達(dá)式，得螺旋線曲率半徑