馮德強(qiáng) 黃 雄

(南菁高級中學(xué)·新校區(qū) 江蘇 江陰 214400)

時空圖以直觀清晰的幾何圖象,用來理解、解釋和討論狹義相對論所依據(jù)的原理以及運(yùn)動學(xué)效應(yīng),有利于學(xué)生建立嶄新的時空觀,使自然界的基本物理圖景得到更新和不斷完善.

1 慣性參考系、事件及運(yùn)動的圖示法

圖1

在慣性系中發(fā)生的一切物理事件,都可以用固定在此慣性系的坐標(biāo)系及時鐘描寫,這本來是一個四維的時間-空間問題.為簡單起見,本文用二維時空圖來討論問題,即空間坐標(biāo)x和時間坐標(biāo)t組成的時空圖,如圖1所示.一個事件就用此圖上一個點(diǎn)表示,如圖上P點(diǎn),它的坐標(biāo)就表示此事件的位置及時間.在時空圖上隨時間變化的質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動軌跡一般是一條曲線,這個軌跡實(shí)際上是質(zhì)點(diǎn)隨時間在空間位置上變化的“歷史”,也稱為這個質(zhì)點(diǎn)的世界線.勻速運(yùn)動質(zhì)點(diǎn)的世界線是一條直線,加速運(yùn)動質(zhì)點(diǎn)的世界線是一條曲線,靜止在某一時空參考系的質(zhì)點(diǎn)x2的世界線是平行于時間軸的直線.

2 兩個相互做勻速直線運(yùn)動的慣性系的時空圖

如圖2所示,靜止參考系S和運(yùn)動參考系S′,S′和S 在 t=0,t′=0時,原點(diǎn) O 、O′重合,運(yùn)動系S′的x′軸與靜止系S的x軸方向相同,且沿x軸的正方向以速度v運(yùn)動(人教2007版《選修3-4》第99頁圖15.1-1).狹義相對論下的時空圖,時間和空間采用相同的單位,所以用ct代替t作時間軸.零時刻從坐標(biāo)原點(diǎn)發(fā)出的光信號的世界線為x軸和ct軸之間夾角的角分線.過時空原點(diǎn)且與 ct軸的夾角為θ的直線,表示質(zhì)點(diǎn)O′向x正方向以速度v勻速運(yùn)動,這條世界線就是相對S以速度v勻速運(yùn)動的S′系的時間軸ct′.與ct′相對應(yīng)的空間軸x′和x軸的夾角也應(yīng)為θ,這樣光信號的世界線在兩個參考系中角分線的地位不變,這正是光速不變原理所要求的.順便指出,在給出的時空圖上,兩個參考系一個在形式上時空坐標(biāo)之間為90°;另一個在形式上時空坐標(biāo)之間為非90°的,但兩個坐標(biāo)系仍然都是正交坐標(biāo)系,盡管在給出的一個圖上其中一個坐標(biāo)系視覺上是“傾斜”的.

圖2

3 “同時”的相對性

見人教2007版《選修3-4》第101頁圖15.2-1及文字情境,應(yīng)用時空圖輔助教學(xué).

3.1 建立時空圖

設(shè)地面為S系,勻速行駛的列車為S′系;兩個參考系的空間原點(diǎn)O、O′(車廂中央)在t=t′=0重合時 ,車廂前壁 、后壁的位置分別在 A 、B;O′、A 、B 在S′系中是靜止的,它們的靜止線如圖3所示.

圖3

3.2 事件、世界線

車廂中央的光源發(fā)出的一個閃光傳播,在S′系來看,車廂前壁A、后壁B的世界線即為平行于ct′軸的靜止線,它與光信號世界線交于 A′、B′.由幾何關(guān)系可知 ,A′B′∥AB ∥x′軸 ,即 A′、B′在同一等時線上;在S系來看 ,A′、B′不在同一等時線上,且tA′>tB′,所以光到達(dá)前壁A的時刻也就晚些.(圖上的表示,已約定 c=1,說明見后)

4 時間和空間的相對性

見人教2007版《選修3-4》第103頁圖15.2-4及文字情境,應(yīng)用時空圖輔助教學(xué).

高速列車車廂安裝著一個墨水罐,它每隔一定時間滴出一滴墨水.當(dāng)t=t′=0時,墨水罐P′,滴出第一滴墨水落在地面P點(diǎn),令 xP=x′P;在t′時刻,第二滴墨水落在地面Q點(diǎn),S系中空間坐標(biāo)為xQ,這時在地面Q點(diǎn)時鐘指示的時間為t(地面上各地的鐘都經(jīng)過校準(zhǔn)),如圖4所示.車上的人測得,墨水在地面上形成P、Q兩個墨點(diǎn)的時間間隔為t′,地面上的人測得的時間間隔為 t.

圖4

由于“同時”的相對性,兩個相互運(yùn)動的參考系已經(jīng)沒有相同的等時線了,應(yīng)該如何確定t和t′的關(guān)系呢?

用狹義相對論原理和光速不變原理來解決這個問題.設(shè)想S系位于空間原點(diǎn)O的觀察者,在S系時刻t1向S′系位于空間原點(diǎn)O′的觀察者發(fā)出一束光,在S′系位于O′的觀察者在收到這個光信號的時刻為 t′;O′收到后立即用鏡子將光線反射給S系的O,O在t2時刻收到反射回的光線.

可以證明,t1、t′、t2之間的關(guān)系應(yīng)該滿足

這正體現(xiàn)了慣性系是平權(quán)的,在時空原點(diǎn)重合的條件下,任意時刻,O發(fā)出光線(t1),O′收到光線(t′),和 O′發(fā)出光線(t′),O 收到光線(t2),這兩種情況下,各自時鐘(t和t′)測量到的時間關(guān)系的比例應(yīng)該是相等的.讀者可仔細(xì)研讀圖4,t1P′、P′t2是沿正負(fù)方向傳播的光信號的世界線,所有正方向或負(fù)方向傳播的光信號的世界線都是平行的.在S系來看,經(jīng)時間 t,S′系的空間原點(diǎn)O′(即 P′)運(yùn)動到Q,xQ=vt,據(jù)此確定在t1由O發(fā)出的光線在傳播過程中各事件對應(yīng)的時刻,如圖4所示.

在S系的時刻 t,事件 P′(S′系空間原點(diǎn)O′在t′時所處的時空位置)與S空間原點(diǎn)O的距離為vt,即圖上P′到t之間的連線.由于光速不變原理,則

由此有

這里需說明一點(diǎn),縱坐標(biāo)以 ct為軸,為方便起見,約定c=1,這樣v是以光速為準(zhǔn)的相對速度值,有tanθ=v.至此我們?nèi)菀椎玫?/p>

式中 t′表示車上觀察者(相對靜止)測得兩滴墨水的時間間隔(即Δτ),t表示車下觀察者測得兩滴墨水的時間間隔(即Δt),結(jié)果是不一樣的.顯然此式與課本第103頁的(2)式是等價的.

由于時空圖的對稱性,空間軸上事件的坐標(biāo)變換與時間軸上的坐標(biāo)變換有相同的形式,所以對于地面上PQ之間的距離,在S、S′系來測量分別是xQ、xQ′,結(jié)果也是不一樣的,兩者的關(guān)系是式中xQ′表示車上觀察者測得地面上兩滴墨水之間的空間距離,xQ表示車下觀察者(相對靜止)測得地面上兩滴墨水之間的空間距離.這與課本第102頁的(1)式是等價的,不過這里PQ相當(dāng)?shù)摹俺摺笔欠旁诘孛嫔系?課本第102頁圖15.2-3中,尺是放在車上的.

5 μ子壽命的問題

μ子是一種不穩(wěn)定的粒子,在靜止參考系中觀察,它的固有壽命Δτ=2×10-6s.宇宙線在大氣上層產(chǎn)生的μ子速度v極大,可達(dá)v=0.998(約定c=1),如果沒有鐘慢效應(yīng),μ子不可能達(dá)到地面的實(shí)驗(yàn)室.如圖5所示,S為實(shí)驗(yàn)室參考系,S′是固連在μ子上的參考系,t′=Δτ,由前述(1)式知

所以

這與實(shí)驗(yàn)室觀測結(jié)果基本一致.

圖5

再從μ子參考系測量,觀察者認(rèn)為μ子的壽命仍為Δτ,但是大地正向它撲面而來,μ子觀測到壽終時地面相對它的運(yùn)動距離

不過在實(shí)驗(yàn)室中測量,由前述(1)′式知

這在μ子觀測者來看,實(shí)驗(yàn)室的尺子(運(yùn)動的尺)短了,短尺自然量多了.

本文試圖應(yīng)用時空圖輔助愛因斯坦相對論的教學(xué),問題情境均取于課本.筆者以為相對論原理導(dǎo)致時空的相對性,如何把時空變得直觀有形,如何把原理體現(xiàn)在時空圖上,這是時空圖輔助教學(xué)的目標(biāo).

1 趙凱華,羅蔚茵.力學(xué).北京:高等教育出版社,1995.

2 (美)約翰·C·泰勒著.鮑永寧譯.自然規(guī)律中孕育的統(tǒng)一性.北京:北京理工大學(xué)出版社,2004