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        對一道競賽題的深入探究

        2010-01-26 01:24:18田陽陽
        物理通報 2010年1期
        關鍵詞:參照系競賽題笛聲

        田陽陽

        (儀征市第二中學 江蘇 揚州 211400)

        1 原題及參考解答

        1.1 題目(第22屆全國中學生物理競賽復賽題)

        兩輛汽車A與B,在t=0時從十字路口O處分別以速度vA和vB沿水平的、相互正交的公路勻速前進,如圖1所示.汽車A持續(xù)地以固定的頻率ν0鳴笛,求在任意時刻t汽車B的司機所檢測到的笛聲頻率.已知聲速為u,且當然有u大于vA和vB.

        圖1

        1.2 參考解答

        如圖2所示,t時刻汽車B位于B(t)處,距O點的距離為vBt.此時傳播到汽車B的笛聲不是t時刻而是較早時刻t1由A車發(fā)出的.汽車A發(fā)出此笛聲時位于A(t1)處,距O點的距離為vAt1.此笛聲由發(fā)出點到接收點(t時刻B車所在點)所傳播的路程為u(t-t1),由幾何關系可知

        圖2

        (1)

        (u2-vA2)t12-2u2tt1+(u2-vB2)t2=0

        這是以t1為變量的一元二次方程,其解為

        由于u2>u2-vA2,且t1

        (2)

        所以

        (3)

        (4)

        (5)

        在t1時刻,位于A(t1)處的汽車A發(fā)出的笛聲沿直線(即波線)A(t1)B(t)在t時刻傳到B(t)處,以θA(t1)、θB(t)分別表示車速與笛聲傳播方向的夾角,有

        (6)

        (7)

        令ν′表示B車司機接收到的笛聲的頻率,由多普勒效應可知

        (8)

        由式(6)、(7)、(8),得

        其中

        (9)

        2 創(chuàng)造性解答及討論

        2.1 創(chuàng)造性解答

        如圖3所示,取另一輛從坐標原點O出發(fā)以速度v0勻速運動的汽車C為參照系.當汽車A在A0點時,汽車C在C0點,當汽車A行駛到A(t)點時,汽車C行駛到C(t)點,并收到汽車A在A0點發(fā)出的笛聲.設θ為v0與x軸正方向之間的夾角,α為A(t)C(t)與x軸正方向之間的夾角,β為選汽車C為參照系時,笛聲速度u′與汽車C運動方向之間的夾角,γ為u與u′之間的夾角.易知u′與A0C0及A(t)C(t)平行.由

        圖3

        u=u′+v0(取v0>vA)

        則汽車C的司機所接收到的笛聲頻率為

        下面分別計算u′與λ′.為計算所需,先做一些準備工作.

        由圖3可知

        β=α-θ

        所以

        sinβ=sin(α-θ)=

        由sin2β+cos2β=1

        cosβ=cos(α-θ)=

        cosγ=

        cosα=-cos(180°-α)=

        參照圖3有

        u′=ucosγ-v0cosβ

        關于λ′參照圖4有

        圖4

        所以

        (10)

        當θ=-90°,v0=vB時,上式化為

        其中

        應當指出以上結果與參考解答的結果(9)式是相等的,因為

        2.2 討論

        取vA=18 m/s,v0=20 m/s,u=340 m/s,

        θ∈[-π,π]用Mathematica軟件作圖,如圖5所示.

        圖5

        3 拓展

        圖6

        討論:取vA=18 m/s,u=340 m/s,a=1 m/s,θ=45°

        t∈[0,1000]用Mathematica軟件作圖如圖7所示.

        圖7

        參考文獻

        1 田陽陽,葉清,李明躍.一道競賽題的四種解法探討.物理教師,2009(1):58

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