周 敏，向大晶

(湖北民族學(xué)院 理學(xué)院，湖北 恩施 445000)

1 預(yù)備知識(shí)

定義1[1-3]如果M={x,y,z,…}和Γ={α,β,γ,…}是加法交換群,且滿足下列條件:

(i)xαy∈M;

(ii)(x+y)αz=xαz+yαz,x(α+β)y=xαy+xβy,xα(y+z)=xαy+xαz;

(iii)(xαy)βz=xα(yβz),?x,y,z∈M,α,β∈Γ.

則稱M為Γ-環(huán).

定義2[1]設(shè)A是Γ-環(huán)M的一個(gè)子集，如果A是M的一個(gè)加法子群且MΓA={xαy|x∈M,α∈Γ} (或AΓM)包含于A中，則稱A為M的一個(gè)左(右)理想.如果A既是M的左理想又是右理想，則A叫做M的理想.

定義3[4-6]設(shè)μ是論域S到[0,1]的一個(gè)映射，即：

μ∶S→[0,1],x→μ(x)

則稱μ是S上的模糊集.

引理1[1,7,8]如果μ,ν是S上的模糊集，則?x∈S,有:

μ=ν?μ(x)=ν(x)

μ?ν?μ(x)≤ν(x)

(μ∪ν)(x)=max{μ(x),μ(y)}

(μ∩ν)(x)=min{μ(x),μ(y)}

一般地，對(duì)S的一族模糊集{μi|i∈I},若?x∈S,定義：

定義4[3]若μ是集合S的一個(gè)模糊集，t∈[0,1]，記：μt={x∈S|μ(x)≥t}

則μt叫做μ的t-水平集.

2 主要結(jié)果

由于Γ-環(huán)M的反模糊左、右理想的對(duì)稱性，本文僅對(duì)“左”的情形展開(kāi)討論.所得結(jié)論對(duì)“右”的情形仍然成立.為討論的方便，記Γ-環(huán)M的零元為0.

定義5 設(shè)μ是Γ-環(huán)M的一個(gè)模糊集，稱μ為Γ-環(huán)M的一個(gè)反模糊左(右)理想，如果?x,y∈M,α∈Γ，滿足:

(i)(x-y)≤max{μ(x),μ(y)};

(ii)(xαy)≤μ(y)(μ(xαy)≤μ(x)).

一個(gè)Γ-環(huán)M的一個(gè)模糊集μ叫做M的一個(gè)反模糊理想，如果μ既是M的反模糊左理想，又是M的反模糊右理想.

易知，μ是M的反模糊理想當(dāng)且僅當(dāng)：

(iii)(x-y)≤max{μ(x),μ(y)},?x,y∈M,α?Γ

(iv)μ(xαy)≤min{μ(x),μ(y)}.

定理1 設(shè)μ是Γ-環(huán)M的一個(gè)反模糊左(右)理想，則：

(v)μ(0)≤μ(x);

(vi)μ(-x)=μ(x);

(vii)如果μ(x-y)=μ(0)，則μ(x)=μ(y),?x,y∈M.

證明?x∈M,μ(0)=μ(x-x)≤max{μ(x),μ(x)}=μ(x).即得條件(v).

由條件(v)?x∈M,μ(-x)=μ(0-x)≤max{μ(0),μ(x)}=μ(x),由x得任意性，可將x換成-x，于是有μ(x)≤μ(-x),所以μ(-x)=μ(x)，故條件(vi)成立.

設(shè)μ(x-y)=μ(0)，?x,y∈M，則：

μ(x)=μ(x-y+y)≤max{μ(x-y),μ(y)}=max{μ(0),μ(y)}=μ(y).

因?yàn)棣?y-x)=μ(x-y)，同理可證μ(y)≤μ(x)，所以μ(x)=μ(y)，條件(vii)獲得證明.

定理2 設(shè)μ是Γ-環(huán)M的一個(gè)反模糊左(右)理想，則集合A={x∈M|μ(x)=μ(0)}是M的一個(gè)左(右)理想.

證明設(shè)?x,y∈A,則μ(x-y)≤max{μ(x),μ(y)}=max{μ(0),μ(0)}=μ(0).又x-y∈M,由條件(v)知μ(0)≤μ(x-y)，所以μ(x-y)=μ(0)，因此，x-y∈A. 這說(shuō)明A是M的一個(gè)加法子群.

假設(shè)?u∈A,α∈Γ,x∈M,則由條件(ii)μ(xαu)≤μ(u)=μ(0)，由條件(v)μ(0)≤μ(xαu)，所以μ(xαu)=μ(0)，即xαu∈A,由定義知，A是M的左理想.

定理3 若{μi|i∈I}是Γ-環(huán)M的一族反模糊左理想, 且μi(x)關(guān)于x單調(diào)，則(∩μi)(x)仍然是M的一個(gè)反模糊左(右)理想.

證明設(shè){μi|i∈I}是Γ-環(huán)M的一族反模糊左理想，則?x,y∈M,α∈Γ,

定義6 設(shè)μ是S上的模糊集，t∈[0,1],則集合μt={x∈S|μ(x)≤t}叫做μ的反水平子集.

定理4μ是Γ-環(huán)M的一個(gè)模糊集，則μ是M的反模糊左(右)理想，當(dāng)且僅當(dāng)μ的反水平子集μt(這里t∈Im(μ))是M的左(右)理想.

證明設(shè)μ是M的一個(gè)反模糊左理想，則任意x,y∈μt，μ(x)≤t,μ(y)≤t，因?yàn)棣淌荕的一個(gè)反模糊左理想，于是μ(x-y)≤max{μ(x),μ(y)}≤t，所以x-y∈μt，因此μt是M的一個(gè)加法子群.又設(shè)x∈M,α∈Γ,y∈μt，則μ(xαy)≤μ(y)≤t，因而xαy∈μt，由定義知，μt是M的一個(gè)左理想.

反之，若μt是M的一個(gè)左理想，則需證明條件(i)和條件(ii)成立.用反證法：若條件(i)不成立，則μ(x-y)>max{μ(x),μ(y)},?x,y∈M,設(shè)ti,tj∈Im(μ),且timax{μ(x),μ(y)}=tj，從而x-y?μtj，矛盾，所以假設(shè)不成立.

同理，若條件(ii)不成立，則固定α∈Γ,?x,y∈M,使得μ(xαy)>μ(y).設(shè)si,sj∈Im(μ)，siμ(y)=sj，即xαy?μsj，矛盾，所以假設(shè)不成立.

定理5 設(shè)A是Γ-環(huán)M的一個(gè)左(右)理想，則?t∈(0,1)，存在M的一個(gè)反模糊左(右)理想μ，使得μt=A.

證明設(shè)μ是M的一個(gè)模糊集，定義：

這里t是(0,1)上的一個(gè)固定的數(shù)，則易知μt=A.設(shè)?x,y∈M,α∈Γ,則：

1)若x,y∈A,則x-y∈A,μ(x)=t,μ(y)=t,

μ(x-y)=t≤max{μ(x),μ(y)}=t.

2)若x,y?A,則x-y?A，μ(x)=1,μ(y)=1，

μ(x-y)=1≤max{μ(x),μ(y)}=1.

3)若x∈A,y?A,則x-y?A,μ(x)=t,μ(y)=1，

μ(x-y)=t≤max{μ(x),μ(y)}=1.

4)若x?A,y∈A,同上討論.

綜上，μ(x-y)≤max{μ(x),μ(y)}.

另外，?y∈M,若y∈A，因A是M的左理想，則xαy∈A,從而:μ(xαy)=t=μ(y)；若y?A,則μ(y)=1，從而μ(xαy)≤μ(y).因此，μ是M的一個(gè)反模糊左理想.

[1] Jun Y B， Lee C Y.FuzzyΓ-rings[J].Pusan Kyongnam Math J,1992,8(2):163-170.

[2] Barnes W E.On theΓ-rings of Nobusawa[J].Pacific J Math,1966,18:411-422.

[3] Das P S.Fuzzy groups and level subgroups[J].J Math Anal Appl,1981,84:264-269.

[3] Ravisankar T S，Shukla U S. Structure ofΓ-rings[J].Pacific J Math,1979,23:537-559.

[4] Rosenfeld A.Fuzzy groups[J].J Math Anal Appl,1971,35:512-517.

[5] Zadeh L A.Fuzzy sets[J].Inform control,1965,8:338-353.

[6] 胡寶清.模糊理論基礎(chǔ)[M].武漢：武漢大學(xué)出版社，2006.

[7] Chang C L.Fuzzy topological spaces[J].J Math Anal Appl,1968,24:182-190.