姚 斌,鄭漢垣,張 衡,楊玲香

(1石河子大學師范學院數(shù)學系,石河子832003;2龍巖學院,龍巖364000)

近年來,小波變換在圖像處理領域得到了廣泛應用[1～2]。但小波本身的一些缺點卻影響了圖像處理的效果,如缺乏平移不變性,方向選擇性差等,這使得圖像降噪后產生混淆,方向性缺乏等。1999年,Kingsbury[3]提出了雙樹復數(shù)小波變換(dualtree complex wavelet transform,DTCWT),提供了6個方向的信息,具有較好的方向性和精確的相空間信息。2001年,Selesinck[4]提出雙密度小波(double-density wavelet transform,DDDWT)理論,具有近似的平移不變性。2004年,Selesinck[5]又提出了雙密度雙樹小波變換(double-density dual-tree wavelet transform,DDDTDWT),它同時具有雙樹小波變換和雙密度小波變換的優(yōu)點,在圖像去噪領域具有一定的優(yōu)勢。

圖像分解是圖像處理中新近涌出的一項重要的,具有挑戰(zhàn)性的任務,可以把它歸結為數(shù)學上的反問題范疇。通常認為一幅已知的圖像 f:Ω→R可以分解為兩個組成部分 u和v(即 f=u+v)。其中,u是f的結構分量,包含了圖像主要的幾何特征信息;v是振蕩分量,包括紋理信息或噪聲。對該問題的研究已經引起了國內外學者的廣泛關注。目前大量工作集中在建立相應的圖像分解模型上,比較成功的有獨立分量分析法、變分法和稀疏性方法等[6,7]。

以往的大部分去噪方法都沒有考慮到圖像的幾何結構和振蕩分量的差異,而是統(tǒng)一的去處理。特別是基于閾值的去噪方法,例如,常用的軟閾值去噪方法[8],雖然選取的閾值對于整個圖像是最優(yōu)的,但由于圖像的結構和振蕩分量的差異,該閾值卻不可能同時是圖像結構和振蕩分量兩部分圖像的最優(yōu)閾值。因此,對于含噪圖像,特別是噪聲比較大時,有必要先對圖像進行分解,即分成結構和振蕩分量,然后對兩部分圖像采用不同的閾值進行去噪,以達到更好的去噪效果。

本文在雙密度雙樹小波變換的基礎上,根據(jù)現(xiàn)有的圖像分解理論,提出了一種先對圖像進行相應的分解,再根據(jù)分解后圖像的特性,分別進行閾值去噪的方法,從而在去除噪聲的同時盡可能多的保留原圖像的各種信息。

1 雙密度雙樹小波變換原理[5]

雙密度雙樹小波變換采用了3個 Hilbert濾波器對,即低通濾波器 h0,一階高通濾波器 h1,二階高通濾波器h2。它有2個尺度函數(shù)φh,φg,4個小波函數(shù),即ψh,i(t),ψg,i(t),i=1,2。其中的2個小波函數(shù)是將另一個函數(shù)偏置一半得到的,即:

這保證了雙密度雙樹小波變換具有連續(xù)小波變換的優(yōu)點。同時,另外2個小波函數(shù)是近似 Hilbert變換對,即:

這使得雙樹小波利用濾波器系數(shù)優(yōu)化設計時能夠盡量減小多級濾波器組的混疊現(xiàn)象?？梢岳米V分解和濾波器完備化來實現(xiàn)雙密度雙樹小波變換。由2個平形的過采樣迭代濾波器組構成一維雙密度雙樹小波變換。

如圖1所示,其中h表示第1個濾波器組,g表示第2個濾波器組,并且每一濾波器組中合成濾波器將是分解濾波器的時間翻轉。圖像經過雙密度雙樹小波變換后,可以產生16個方向的帶通子帶,而復數(shù)小波只能產生6個方向的帶通子帶。這使得雙密度雙樹小波變換有效地克服了小波變換的方向選擇性差這一問題。

圖1 由濾波器組組成的雙密度雙樹小波變換Fig.1 Filterbank for the double-density dual-tree DWT

2 Vese和Osher的圖像分解模型[9～11]

為了能夠從圖像 f中有效地提取結構分量和振蕩分量,Meyer引入了振蕩函數(shù)空間,來刻畫紋理和噪聲分量,這樣就可以同時將兩者提取出來,振蕩函數(shù)空間是有界變差空間的對偶空間。Meyer給出的振蕩函數(shù)空間的定義如下:

定義:設 G是由所有可以寫成v(x,y)=?xg1的廣義函數(shù) v(x,y)組成的Banach空間,這里 v的范數(shù)‖v‖＊即為滿足上式的所有函數(shù)|→g|的L∝范數(shù)的下確界,其中

Meyer證明了 v即表示紋理和噪聲分量,v∈G。在Meyer振蕩函數(shù)空間的理論基礎上,Vese和Osher提出了如下的圖像分解模型:

式(6)是式(5)所對應的 Euler-Lagrange方程,求出能量極小值,就可以達到從 f中提取結構分量u和紋理或噪聲分量v的目的。

該方程數(shù)值計算的初始條件為:

其中,(nx,ny)為邊界的外法線。

同時他們的工作還證明了圖像f除了u和v兩部分外,還有殘余部分w,w是被扔掉的噪聲或小部分紋理,即 f=u+v+w,但殘余部分非常微小。

3 新方法的描述

由于小波變換具有很強的去相關性,信號經過小波變換后能量主要集中在一些大的小波系數(shù)上,而噪聲的能量卻分布在整個小波域內。因此,Donoho[8]提出了小波域閾值去噪方法,認為幅值較大的小波系數(shù)主要是信號,幅值較小的系數(shù)很可能是噪聲。于是,其提出了如下的軟閾值等去噪方法:

式(9)中,wi,j表示各分辨率下的小波系數(shù),^wi,j為處理后的系數(shù),λ為閾值。它把小于閾值λ的小波系數(shù)設定為0,大于閾值λ的小波系數(shù)都減去一個閾值的大小。圖像經過軟閾值處理后,整體連續(xù)性較好,去噪效果也相對較平滑,在圖像去噪中得到了廣泛的應用。

現(xiàn)有的基于小波域的閾值去噪方法(包括軟閾值去噪方法)都是先對整個圖像進行相應的小波變換,然后在變換域進行閾值處理,最后進行逆小波變換得到去噪結果。但根據(jù)圖像分解理論,含噪圖像是由結構和振蕩分量組成的,這兩部分具有不同的統(tǒng)計特性,結構分量包含圖像主要的幾何特征信息,而振蕩分量包括紋理信息和噪聲,不加區(qū)別地使用同一閾值對兩部分圖像進行去噪,要么去除了噪聲,但損失了過多的幾何特征信息,要么不損失過多的幾何特征信息,但同時也保留了較多的噪聲。因此,本文提出一種先對圖像進行分解,再進行去噪的方法,具體算法描述如下:

1)Step1。

利用Vese和Osher的圖像分解模型,將含噪圖像f分解為結構分量u和振蕩分量v及殘余部分w,由于殘余部分和振蕩分量的特性一致,為了使其滿足完全重構,本文中令 v=f-u。

2)Step2。

PartA:

(1)對振蕩分量進行雙密度雙樹小波變換,即V=DDDTDWT(v);

(2)利用軟閾值算子對V進行估計,VD=De noise(V),閾值為 tv,由于噪聲主要存在于 v部分,因此tv采用相對較大的值,以達到有效去除噪聲的目的;

(3)對VD進行逆雙密度雙樹小波變換IVD=IDDDTDWT(VD)。

PartB:

(1)對結構分量進行雙密度雙樹小波變換,即U=DDDTDWT(u);

(2)利用軟閾值算子對U進行估計,UD=De noise(U),閾值為 tu,由于 u主要包含圖像幾何特征信息,所含噪聲較少,因此 tu采用相對較小的值,以盡量保留圖像的幾何特征信息;

(3)對UD進行逆雙密度雙樹小波變換IUD=IDDDTDWT(UD)。

Step3把兩部分圖像融合為一幅圖像,得到去噪結果 fD,fD=IVD+IUD。

4 結果與分析

為了驗證方法的有效性,本文對標準的灰度圖像Lena(512×512,8bits/pixel)和Barbara(512×512,8bits/pixel)進行了相應的去噪實驗。假定對圖像加入均值為0,方差為σε的高斯白噪聲。實驗中,對圖像進行分解時,參數(shù)λ=0.1,μ=0.1。為了避免圖像平滑區(qū)域梯度為零的情況,采用參數(shù)提升梯度,即|實驗中ε取為10-2。

表1給出了不同方法去噪后的 PSNR(峰值信噪比)值,其中,DDDTDWT-ST表示對含噪圖像直接進行雙密度雙樹小波變換,并使用軟閾值方法去噪后的結果。

表1 不同方法的去噪性能比較Tab.1 Comparison of PSNRs for denoising algorithms

對比Lena和Barbara的實驗結果(表1)可以看出,對于Lena圖像,峰值信噪至少提高了1db,對于Barbara圖像,峰值信噪比提高0.5db左右。究其原因,主要是由于圖像振蕩分量不僅包括大量噪聲,還包含紋理信息,而Barbara圖像的紋理信息比較豐富,以較大的閾值去除噪聲的同時必定會丟失一部分紋理信息。

圖2給出了噪聲標準差為25時各種方法去噪結果的局部放大圖。由圖 2可以看出,圖像經DDDTDWT-ST方法去噪后,依然存在很多孤立的噪聲點,這主要是由于該方法選取的閾值相對整個圖像來說是最優(yōu)的,但對于圖像的不同分量并不是同時最優(yōu)。而本文方法對圖像的不同分量采用了大小不同的閾值進行去噪,既盡量保留了圖像的幾何特征信息,同時又有效地去除了噪聲。從實驗結果可以看出,本文所提出的去噪方法是有效的,不僅PSNR值相對于DDDTDWT-ST有明顯提高,而且去噪后圖像的視覺效果更好。

圖2 Lena圖像去噪效果比較Fig.2 Comparison of the denoising methods for Lena image

5 小結

本文提出了一種新的基于雙密度雙樹小波變換的圖像去噪方法。該方法根據(jù)圖像分解理論,首先使用Vese和Osher的圖像分解模型把圖像分成結構和振蕩分量,然后根據(jù)各個分量的不同特性進行小波域閾值去噪。實驗結果表明本文方法明顯優(yōu)于直接在小波域進行閾值去噪的方法。

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