李劍評

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淺析高中數(shù)學思想在高考考查中的滲透

李劍評

漳州市南靖一中

數(shù)學思想是數(shù)學內容與數(shù)學方法等反映在人的頭腦中經(jīng)過思維活動產(chǎn)生的結果，它是數(shù)學內容與數(shù)學方法的升華與結晶?！稊?shù)學課程標準》明確指出，“理解和掌握基本的數(shù)學知識與技能、數(shù)學思想和方法、獲得廣泛的數(shù)學活動經(jīng)驗。”對數(shù)學思想、方法的考查始終是高考的重頭戲，在高中數(shù)學中，尤其以數(shù)形結合思想、分類討論思想、方程函數(shù)思想、化歸思想為重點。該文就這幾類數(shù)學思想在高考考查中的滲透做簡要介紹。

數(shù)學思想 高考 高中數(shù)學

1 數(shù)形結合思想

所謂數(shù)形結合，就是利用數(shù)的抽象、嚴謹特點和形的直觀、表意特點，在具體的研究過程中，把抽象思維和形象思維結合起來分析問題，從而解決問題的思想方法。數(shù)形結合思想通過“以形助數(shù)，以數(shù)解形”，使復雜問題簡單化，抽象問題具體化，能夠變抽象思維為形象思維，有助于把握數(shù)學問題的本質，它是數(shù)學的規(guī)律性與靈活性的有機結合。數(shù)與形之間的這一對應關系，往往能使我們盡快找到解題途徑或簡化解題過程。

2 分類討論思想

分類討論思想是對數(shù)學對象進行分類以尋求解答的一種思維方法，實質上它是通過分類將原來條件中隱含的因素顯露出來，從而縮短已知條件與結論之間的距離，分清每一個對象找出問題的內在聯(lián)系，最終解決問題。在實際教學中，我們常常把一個數(shù)學問題按一定的標準分成幾個部分或幾種情況，一一解決，也就是“分而治之，各個擊破”。

例2：（2009四川卷文）2位男生和3位女生共5位同學站成一排，若男生甲不站兩端，3位女生中有且只有兩位女生相鄰，則不同排法的種數(shù)是

A. 60 B. 48 C. 42 D. 36

[答案] B

三類之和為24＋12＋12＝48種。

方程過程是從算術方法到代數(shù)方法的一種質的飛躍，函數(shù)關系是變量與變量之間一種特殊的對應、映射與變換。方程與函數(shù)的思想包括兩個基本方面；一是將具體問題中各變量的數(shù)量關系所形成的表達式看作方程，同時運用方程的手段解決問題的思想，即方程思想；二是用運動和變化的觀點，把具體問題中的數(shù)量關系用函數(shù)的形式表示出來，并用函數(shù)的手段加以解決的思想，即函數(shù)思想。這種思想的關鍵是選用恰當?shù)臄?shù)學形式表示問題，就是把問題數(shù)學化。

[答案] -8

[命題立意] 本題綜合考查了函數(shù)的奇偶性,單調性,對稱性,周期性,以及由函數(shù)圖象解答方程問題,運用數(shù)形結合的思想和函數(shù)與方程的思想解答問題。

4 化歸思想

所謂化歸就是化不熟悉問題為熟悉問題、化復雜問題為簡單問題、化難為易、化未解決為已解決，即把“未知”化歸或轉化為“熟知“從而解決問題；它的關鍵是確定合理、可行的化歸方案。

例4：（2004浙江卷（理）第12題）：若f（x）和g（x）都是定義在實數(shù)集R上的函數(shù)，且方程x－f［g（x）］＝0有實數(shù)解，則g［f（x）］不可能是（）

[解析] 本題直接解不容易，不妨令f（x）＝x，則f［g（x）］＝g（x），g［f（x）］＝g（x），x－f［g（x）］＝0有實數(shù)解即x－g（x）＝0有實數(shù)解。這樣很明顯得出結論，B使x－g（x）＝0沒有實數(shù)解，選B。

這種從抽象到具體再到抽象，使學生從心理上感到非常輕松，此類常見的抽象函數(shù)式還有一次函數(shù)型f（x＋y）＝f（x）＋f（y）＋m，對數(shù)函數(shù)型f（xy）＝f（x）＋f（y），冪函數(shù)型f（xy）＝f（x）f（y）。

點評：把抽象問題具體化是在數(shù)學解題中常有的化歸途徑，它是對抽象問題的理解和再認識，在抽象語言與具體事物間建立聯(lián)系，從而實現(xiàn)抽象向具體的化歸。

例5：（2005全國卷Ⅱ第15題）在由數(shù)字0，1，2，3，4，5所組成的沒有重復數(shù)字的四位數(shù)中，不能被5整除的數(shù)共有個。

[解析] 不能被5整除的數(shù)要分類討論，情況較多，這時我們不妨換一個角度，從反面入手考慮。注意到不能被5整除實質上是末位數(shù)字不是0，也不是5。用間接法。

∴滿足題意的數(shù)共有300－60－48＝192個。

點評：一些數(shù)學問題，如果從條件出發(fā)，正面考慮較難較繁，不妨調整思考方向，從問題的結論入手，或從問題的條件與結論的反面入手進行思考，迂回地得到解題思路，這叫做“正難則反”。“正難則反”是一種重要的解題策略，靈活用之，能使許多難題、趣題和生活中的問題獲得巧解。

5 結語

不同的數(shù)學思想具有各自的優(yōu)勢與缺陷，不存在一種普遍有效能解決任何問題的數(shù)學思想，同時數(shù)學之間具有互補性，有時解決一個問題需要運用幾種不同的數(shù)學思想，我們應該經(jīng)常練習和運用，促進數(shù)學思想的形成與融合；當然，掌握數(shù)學思想光靠練也是不夠的，其中的竅門，更多的是靠學生通過“悟”來把握，因此在做題后一定要做反思和總結，領悟題中的內在聯(lián)系，鍛煉自己的大腦，達到觸類旁通的效果。