摘要:針對(duì)自回歸移動(dòng)平均過程中控制變量的觀測(cè)值并不具有相互獨(dú)立性，引入貝葉斯分析方法研究過程質(zhì)量控制問題。通過模型結(jié)構(gòu)的貝葉斯分析，利用殘差序列建立了基于自回歸移動(dòng)平均過程的貝葉斯質(zhì)量控制模型，解決了觀察數(shù)據(jù)相關(guān)條件下的過程質(zhì)量監(jiān)控問題。仿真分析結(jié)果表明:貝葉斯ARMA質(zhì)量控制方法能夠有效地避免了在受控狀態(tài)下使用常規(guī)控制圖造成的漏發(fā)或虛發(fā)報(bào)警現(xiàn)象，解決了自回歸移動(dòng)平均過程情況下的質(zhì)量控制問題。

關(guān)鍵詞:質(zhì)量控制;時(shí)間序列分析;ARMA模型;貝葉斯方法;仿真

中圖分類號(hào):O212.8，C931.1 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼:A

Bayesian Quality Control for autoregressive moving-average Processes

ZHU Huiming1 +， HUANG Chao1， YU Keming2， LIU Zaihua3， ZHAO Rui3

(1 College of Business Administration， Hunan University， Changsha 410082， China; Department of Mathematical Science， Brunel University， London UB8 3PH， UK; College of Statistics， Hunan University， Changsha 410079， China)

Abstract:To explore the quality control under the condition that the sample data in the autoregressive moving-average processes are not independent， time series models are introduced to fit these data. The Bayesian ARMA control charts are constructed with independent residual series data， and used to monitor the quality in autocorrelative processes. The results from simulation show that Bayesian ARMA quality control charts can effectively carry out quality control autoregressive moving-average processes， and avoid alarming incorrectly when the processes are under statistical control and not alarming when processes are out of control.

Key words: Quality control; Time series analysis; ARMA models; Bayesian methods; Simulation

質(zhì)量控制為世界工業(yè)經(jīng)濟(jì)的發(fā)展起到了巨大的推動(dòng)作用，尤其是隨著生產(chǎn)線的廣泛應(yīng)用，線內(nèi)質(zhì)量管理特別是質(zhì)量控制圖得到了充分應(yīng)用、研究與發(fā)展。目前，隨著世界經(jīng)濟(jì)的全球化，產(chǎn)品競(jìng)爭(zhēng)越來越激烈，如果一個(gè)產(chǎn)品沒有過硬的質(zhì)量，就很難在激烈競(jìng)爭(zhēng)的市場(chǎng)中長(zhǎng)久地生存、發(fā)展，這一點(diǎn)可以從日本的工業(yè)產(chǎn)品迅速占領(lǐng)國際市場(chǎng)得到驗(yàn)證。作為質(zhì)量控制的主要技術(shù)，控制圖被廣泛地應(yīng)用在生產(chǎn)過程監(jiān)控，及時(shí)發(fā)現(xiàn)并排除在生產(chǎn)過程中產(chǎn)生的問題，實(shí)現(xiàn)質(zhì)量提升，保證產(chǎn)品的質(zhì)量和經(jīng)濟(jì)效益。但是，常規(guī)統(tǒng)計(jì)控制圖的基本假設(shè)前提是觀測(cè)值獨(dú)立同分布，然而在實(shí)際生產(chǎn)過程中，許多質(zhì)量特性指標(biāo)的數(shù)據(jù)生成過程并不滿足這一條件，例如，數(shù)據(jù)生成過程可能具有自相關(guān)性(AR)，自相關(guān)移動(dòng)平均(ARMA)現(xiàn)象，以及自回歸條件異方差(ARCH)等行為特征，這些現(xiàn)象的出現(xiàn)違背了控制圖中控制變量的獨(dú)立性假定。如果利用常規(guī)控制圖分析過程狀態(tài)，則容易出現(xiàn)漏發(fā)或虛發(fā)警報(bào)現(xiàn)象。針對(duì)這一問題，Woodall[1]，Reynolds和Lu[2-3]，Zhang[4]，Schippe和Schmid[5]，以及Salazar和Moen[6]研究了這些過程的控制分析問題。

從現(xiàn)有質(zhì)量控制方法的構(gòu)建過程來看，它們都是利用經(jīng)典的統(tǒng)計(jì)建模技術(shù)，通過其分布不含參數(shù)的統(tǒng)計(jì)量建立起來的，其基本假設(shè)之一是參數(shù)不具有隨機(jī)性，因此也就沒有考慮模型參數(shù)的不確定性風(fēng)險(xiǎn)問題。但是，在產(chǎn)品制造過程中，隨著時(shí)間的變化，生產(chǎn)環(huán)境也在不斷變化，質(zhì)量指標(biāo)的數(shù)據(jù)生成行為并不符合獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)條件，模型參數(shù)具有隨機(jī)性的特征，因此，Nenes和Tagaras[7]認(rèn)為:運(yùn)用貝葉斯方法研究統(tǒng)計(jì)質(zhì)量控制問題更符合產(chǎn)品制造過程中質(zhì)量指標(biāo)的數(shù)據(jù)生成行為。目前，貝葉斯方法在質(zhì)量控制與診斷領(lǐng)域獲得了廣泛應(yīng)用[8-11]。本文將引入貝葉斯分析方法，建立基于自回歸移動(dòng)平均過程過程的貝葉斯質(zhì)量控制模型，解決常規(guī)控制圖中容易出現(xiàn)漏發(fā)或虛發(fā)警報(bào)現(xiàn)象的問題。

1模型結(jié)構(gòu)的貝葉斯分析

ARMA(p，q)模型最初是由美國統(tǒng)計(jì)學(xué)家Box和Jenkins提出的，它由自回歸和移動(dòng)平均兩部分構(gòu)成，其數(shù)學(xué)模型形式為

或

此處 ， ( )為模型自回歸系數(shù)， 為自回歸階數(shù); 為差分算子，即 ; ， ( )為移動(dòng)平均系數(shù)， 為移動(dòng)平均階數(shù);隨機(jī)誤差項(xiàng) 相互獨(dú)立，并且均服從正態(tài)分布 ， 為模型誤差項(xiàng) 的精度，它是方差 的逆，即 。

若模型(1)中自回歸階數(shù) 和移動(dòng)平均階數(shù) 均是已知的，則該模型參數(shù)由三部分構(gòu)成:自回歸系數(shù)、移動(dòng)平均系數(shù)和精度，相應(yīng)的參數(shù)空間為 。稱p維子集 的 個(gè)單位根均在單位圓 外}為ARMA(p，q)模型的平穩(wěn)域;而q維子集 的 個(gè)單位根均在單位圓 外}為模型的可逆域。進(jìn)一步，若 ，則模型可以簡(jiǎn)化為

，(3)

這就是ARMA(1，1)模型，它是質(zhì)量控制領(lǐng)域中常用的時(shí)間序列模型之一，本文將構(gòu)建基于該模型的貝葉斯質(zhì)量控制圖。顯然，當(dāng) 和 時(shí)，則模型為平穩(wěn)可逆的。

為了研究ARMA(1，1)模型似然函數(shù)的具體形式，令

，(4)

此處 。首先，研究 的聯(lián)合分布密度函數(shù)，為此記 ， ，并設(shè) 是一個(gè)如下的 矩陣

(5)

則 ， ， ，并且

(6)

于是， 的概率密度函數(shù)為

(7)

由于 為 對(duì)稱陣，因此存在正交向量 ，使得 為一個(gè)對(duì)角陣;同時(shí)， 是一個(gè)三對(duì)角的Toeplitz矩陣，根據(jù)三對(duì)角Toeplitz矩陣的性質(zhì)，可以得到 的對(duì)角線元素

，(8)

由于 是一個(gè)正交陣，由 可得 ，因此矩陣 的逆矩陣為 ，即 ，據(jù)此可將 的概率密度函數(shù)簡(jiǎn)化為

(9)

記

， (10)

則由(3)式，有 ，可以得到 的密度函數(shù)

因此，模型似然函數(shù)為

根據(jù)Broemeling的觀點(diǎn)，參數(shù) ， 及 的先驗(yàn)分布密度函數(shù)設(shè)置如下

(13)

其中

此處 。根據(jù)貝葉斯定理，參數(shù)的聯(lián)合后驗(yàn)分布與參數(shù)先驗(yàn)分布、模型似然函數(shù)的乘積成正比，即

(14)

由 對(duì) 在 上進(jìn)行積分運(yùn)算，可求得 的邊緣后驗(yàn)分布密度函數(shù)為

，

(15)

其中

于是，在給定 參數(shù)的條件下，參數(shù) 的后驗(yàn)條件分布密度函數(shù)為

(16)

顯然，上式的右邊項(xiàng)是自由度 、位置參數(shù) 和尺度參數(shù) 的 分布密度函數(shù)的核;因此，在給定參數(shù) 的條件下， 的條件后驗(yàn)分布為 分布，即

(17)

同樣地，在給定 參數(shù)的條件下，參數(shù) 的后驗(yàn)條件分布密度函數(shù)為

，(18)

它是形狀參數(shù) ，尺度參數(shù) 的伽瑪分布密度函數(shù)的核;因此，在給定 參數(shù)下 的條件后驗(yàn)分布為伽瑪分布，即

(19)

雖然在給定參數(shù) 的條件下，參數(shù) 和 的后驗(yàn)條件分布屬于現(xiàn)有統(tǒng)計(jì)分布范疇，但是參數(shù) ， 和 的后驗(yàn)邊緣分布的具體形式并不具有此性質(zhì)，因此，我們利用MCMC方法估計(jì)參數(shù)的取值。設(shè) ， 是參數(shù) ， 的估計(jì)，則擬合模型可以寫成如下形式:

， (20)

于是，模型殘差序列為 ， ，以及殘差均值 ，因而可以據(jù)此計(jì)算控制圖的控制限UCL 、CL和LCL的具體值:

(21)

其中平均移動(dòng)極差 ，移動(dòng)極差 ， 。

2 仿真分析

參數(shù)為了說明基于ARMA模型的貝葉斯質(zhì)量控制圖的構(gòu)建過程，利用WinBUGS軟件進(jìn)行模擬仿真分析。在WinBUGS中要實(shí)現(xiàn)ARMA模型的貝葉斯分析，需從觀測(cè)值分解出其方差，引入一個(gè)測(cè)度誤差項(xiàng) ，原估計(jì)方程改寫為:

(22)

此處 ，并記 。仿真的ARMA(1，1)模型為:

(23)

此處 。利用R軟件生成一個(gè)上述模型的隨機(jī)序列，它包括200個(gè)數(shù)據(jù)，應(yīng)用Mintab建立質(zhì)量shewart控制圖(圖1)。從圖中可以看出:7點(diǎn)已經(jīng)超出控制限;根據(jù)判異準(zhǔn)則，該過程處于非平穩(wěn)狀態(tài);但是，實(shí)際上這是一個(gè)平穩(wěn)過程;因此，該控制圖發(fā)出了錯(cuò)誤警報(bào)。為了避免此類現(xiàn)象的發(fā)生，構(gòu)造基于ARMA模型的貝葉斯質(zhì)量控制圖。

運(yùn)用WinBUGS進(jìn)行ARMA(1，1)模型貝葉斯分析，對(duì)最初的預(yù)迭代進(jìn)行退火，再進(jìn)行10000次Gibbs迭代。表1列出了迭代從第1001次開始至10000的WinBUGS運(yùn)行結(jié)果，圖2和圖3給出了模型參數(shù)的馬爾可夫鏈軌跡及其后驗(yàn)分布仿真結(jié)果。

從以上的結(jié)果可以看出:貝葉斯方法很好地模擬了模型參數(shù)。根據(jù)該參數(shù)，得到該序列的貝葉斯殘差序列，構(gòu)建ARMA模型貝葉斯質(zhì)量控制圖(圖4)。可以看出ARMA模型貝葉斯質(zhì)量控制圖有效的避免了常規(guī)控制圖虛發(fā)警報(bào)的情況。

同樣地，我們可以構(gòu)造基于ARMA模型的質(zhì)量控制圖，同樣存在虛發(fā)警報(bào)的情況(圖5);但是，基于貝葉斯殘差序列構(gòu)造的的貝葉斯EWMA控制圖，有效地避免了虛發(fā)警報(bào)的情況(圖6)。

3結(jié)束語

控制圖在質(zhì)量控制工作中應(yīng)用廣泛，具有十分重要的作用。但是傳統(tǒng)的控制圖不能對(duì)自回歸移動(dòng)平均過程的受控狀態(tài)進(jìn)行準(zhǔn)確的判斷，經(jīng)常誤發(fā)或漏發(fā)警報(bào)。本文利用基于Gibbs抽樣的MCMC方法，運(yùn)用WinBUGS軟件，使模型參數(shù)的貝葉斯推斷擺脫了繁瑣的高維積分計(jì)算，動(dòng)態(tài)模擬出了參數(shù)后驗(yàn)分布的馬爾可夫鏈，構(gòu)建了自回歸移動(dòng)平均過程的貝葉斯質(zhì)量控制模型，解決了自相關(guān)情況下質(zhì)量控制問題，進(jìn)一步堅(jiān)定了廣大質(zhì)量管理工作者運(yùn)用控制圖的信心。同時(shí)，本文也為構(gòu)造GARCH等時(shí)間序列數(shù)據(jù)生成過程的貝葉斯控制方法提供了參考。

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