數(shù)學思想是數(shù)學的靈魂，是數(shù)學思維的有力支撐，是把知識轉化為能力的重要橋梁，《普通高中數(shù)學課程標準(實驗)》指出:高中數(shù)學課程應注重提高學生的數(shù)學思維能力，這是數(shù)學教育的基本目標之一。數(shù)學教學要運用多種教學方法和手段，引導學生積極主動地學習，掌握數(shù)學的基礎知識和基本技能以及它們所體現(xiàn)的數(shù)學思想方法。

高中數(shù)學學習的常見形態(tài)是解題，其目的不僅在于鞏固與掌握知識，更重要的是通過鍛煉思維，提高學生的數(shù)學能力，在解題中滲透數(shù)學思想，把數(shù)學思想有機地運用到解題中，是數(shù)學教師立足學科特點、踐行新課程理念的有效途徑。為此，筆者選擇了高中階段常見的三大數(shù)學思想，結合實例探討其在解題中的運用和體現(xiàn)。

一、轉化思想和運用原則

轉化思想是一種研究對象在一定條件下轉化為另一種研究對象的數(shù)學思想方法，轉化通?？梢栽凇暗取迸c“不等”、“正”與“反”、“特殊”與“一般”、“整體”與“局部”、“高維”與“低維”等之間進行，運用轉化思想的原則是:(1)從“未知”向“已知”轉化，把陌生的問題轉化為熟悉的問題;(2)“復雜”向“簡單”轉化，借助邏輯推演形成明晰的條理關系;(3)“一般”與“特殊”或“由此及彼”的轉化，這鮮明地體現(xiàn)在新課程教科書的《推理與證明》一章中;(4)盡量是等價轉化。

例1 如圖，在正三棱柱ABC—A1B1C1中，AB=3，AA1=4，M為AA1的中點，P是BC上一點，且由P沿棱柱側面經過棱CC1到M的最短路線長為，設這條最短路線與CC1的交點為N，求PC和NC的長。

【解析】 要求P沿棱柱側面經過棱CC1到M的最短路線，應該把側面A1C和側面B1C放到同一個平面中解決。如圖，將側面BB1C1C繞棱CC1旋轉120°使其與側面AA1C1C在同一平面上，點P運動到點P1的位置，連接MP1，則MP1就是由點P沿棱柱側面經過棱CC1到點M的最短路線。設PC=x，則P1C=x，在Rt△MAP1中，由勾股定理得(3+x)2+22=29，求得x=2，故PC=2，NC=。這樣通過把空間問題轉化為平面問題，使問題的難度大大降低。

二、數(shù)形結合思想和體現(xiàn)方式

通過數(shù)形結合，一方面可使圖形性質通過數(shù)量計算準確地表示出來，這就是“以數(shù)助形”;另一方面可使抽象的數(shù)量關系，通過圖形形象直觀地表現(xiàn)出來，這就是“以形助數(shù)”。解題的通常表現(xiàn)為:(1)“形”中覓“數(shù)”:根據(jù)形的直觀性來尋找數(shù)量關系，將幾何問題代數(shù)化;(2)“數(shù)”中構“形”:根據(jù)代數(shù)問題具有的幾何特征，進而發(fā)現(xiàn)數(shù)與形之間的關系，從而使代數(shù)問題幾何化。

例2 若方程=x-m有兩個不等的根，則實數(shù)m的取值范圍是。

【解析】 由題意知直線y=x-m與曲線y=有兩個不同的交點(如左圖)，y=x-m表示傾斜角為45°、縱截距為-m的直線，而y則表示以(0，0)為圓心，以1為半徑的圓在x軸上方的部分(包括圓與x軸的交點)，顯然，欲使直線與半圓有兩個不同交點，只需直線的縱截距-m∈[1，)，即m∈(-，-1]。

三、分類討論思想和實施策略

分類思想經常出現(xiàn)在歷年高考的壓軸題中，新課程高考卷也不例外。它是根據(jù)數(shù)學本質屬性的相同點和不同點，將數(shù)學對象區(qū)分為不同種類的一種數(shù)學思想，實施分類討論的主要策略是:(1)對所討論的全域分類要“既不重復，也不遺漏”;(2)在同一次討論中只能按所確定的一個標準進行;(3)對多級討論，應逐級進行，不能越級，解題時若能注意分類討論的思想，則可以使問題的分析和處理顯得思想清晰、靈活簡便，通過化整為零，將之逐個擊破，從而順利解決問題。

例3 解關于x的不等式:ax2-(a+1)x+1<0。

【解析】首先要對二次項系數(shù)a是否為0分類;對于a≠0的情形，又需再次分a>0或a<0討論，因為這兩種情形下，不等式解集形式是不同的，之后將會遇到1與誰大誰小的問題，因而又需做一次分類討論。故此題需作三級分類。

1. 當a=0時，原不等式化為-x+1<0，所以x>1。

2. 當a≠0時，原不等式化為a(x-1)(x-)<0。

(1)若a<0時，原不等式化為(x-1)(x-)>0，因為<0，所以<1，所以不等式的解為x<或x>1。

(2)若a>0時，原不等式化為(x-1)(x-)<0。

①當a>1時，1，不等式解為x<1;

②當a=1時，=1，不等式解為x∈?椎;

③01，不等式解為1

綜上所述，得原不等式的解集為:

當a<1時，解集為{x|x<或x>1｝;

當a=0時，解集為{x|x>1｝;

當0

當a=1時，解集為?椎;

當a>1時，解集為{x|

事實上，中學數(shù)學教材中所蘊涵的數(shù)學思想還很多。教師必須注意到:學生數(shù)學思想的形成是一個潛移默化的過程，需要多次的理解和應用，這就要求我們“在教材分析上體現(xiàn)數(shù)學的思想的特殊性”，“在教學設計上注意展現(xiàn)手法的多樣性”，“在教學組織上提倡學習方式的多元化”，“在教學理念上遵循思想教學的層次性”。此外，教學思想之間并不是彼此孤立，而是互相滲透、互相促進的，一個問題的解決，常常不只是靠一種數(shù)學思想的作用，有時必須借助于幾種數(shù)學思想地共同指導。因此，我們在教學中還必須有意識地拋出一些相關知識結合較為復雜的問題，讓學生靈活地應用其所學的教學思想來解決，以培養(yǎng)其分析問題和解決問題的能力。