[摘要]線性規(guī)劃建模問題在運(yùn)籌學(xué)課程中占有越來越重要的地位。本論文首先提出了利用圖示的方法輔助教學(xué)的思路，然后結(jié)合實(shí)際的運(yùn)籌學(xué)題例解釋了網(wǎng)狀圖示和時(shí)間軸圖示在運(yùn)籌學(xué)教學(xué)過程設(shè)計(jì)以及解析題目的過程。最后說明了利用多媒體教學(xué)進(jìn)行圖示需注意的兩個(gè)關(guān)鍵問題。

[關(guān)鍵詞]線性規(guī)劃;建模;網(wǎng)狀圖示;時(shí)間軸圖示;多媒體

[中圖分類號(hào)]G642.41[文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼]A[文章編號(hào)]1005-4634(2010)05-0045-04

線性規(guī)劃是運(yùn)籌學(xué)規(guī)劃論中的基礎(chǔ)理論，是解決稀缺資源最優(yōu)分配的有效方法，在教學(xué)過程中，主要以建模和求解兩部分內(nèi)容為核心。傳統(tǒng)的運(yùn)籌學(xué)教學(xué)內(nèi)容始終以求解原理和求解過程為重。由于線性規(guī)劃問題的求解方法(主要方法指單純形法)已經(jīng)程式化，完全可以使用軟件求解，因此教學(xué)模式的重心必須偏移。特別是在經(jīng)濟(jì)管理專業(yè)的運(yùn)籌學(xué)教學(xué)中，只有使學(xué)生掌握建模方法和思路，然后直接應(yīng)用現(xiàn)有的軟件去求解，才能使學(xué)生學(xué)有所用，實(shí)現(xiàn)線性規(guī)劃理論的工具功能[1]。

線性規(guī)劃問題數(shù)學(xué)模型的建立需要學(xué)生具有分析實(shí)際問題的能力和一定的創(chuàng)造性。將相對復(fù)雜的經(jīng)濟(jì)問題轉(zhuǎn)化成線性規(guī)劃數(shù)學(xué)模型常常使學(xué)生在課堂上不能及時(shí)理解，課下還要花很多工夫去反復(fù)思考。筆者在經(jīng)濟(jì)管理專業(yè)運(yùn)籌學(xué)的教學(xué)過程中發(fā)現(xiàn)，使用圖示法有助于學(xué)生迅速掌握建模思路和方法，同時(shí)增強(qiáng)其利用線性規(guī)劃理論解決實(shí)際問題的能力。

1圖示法教學(xué)思路

圖示法，是指在講解問題的過程中使用圖形的形式，表達(dá)問題的實(shí)質(zhì)和講解者思考問題的思路，使聽眾通過圖形形象借助視覺迅速感知并理解，從而提高講解者講解效率的一種方法。其中圖形的選擇和設(shè)計(jì)是圖示法表達(dá)問題的關(guān)鍵。有很多圖形已經(jīng)成為某些學(xué)科在講解中必不可少的、成型的圖示工具，例如技術(shù)經(jīng)濟(jì)學(xué)中利用現(xiàn)金流量圖來分析資金的流入流出就具有相當(dāng)成熟和有效的解釋力。

圖示法的教學(xué)思路主要可以分成三個(gè)步驟。第一，用語言直接進(jìn)行題目闡述。這個(gè)步驟的目的是讓聽者能夠大概了解題目所涉及的現(xiàn)象和問題的主要內(nèi)容，有哪些已知的信息，有哪些未知的信息。有時(shí)候可以根據(jù)題目要求直接說明需要解決的問題有哪些。第二，讓聽者思考的同時(shí)，重新使用圖形再次描述題目所涉及的現(xiàn)象和內(nèi)容的實(shí)質(zhì)，這時(shí)，對題目描述應(yīng)更注重其邏輯性，并將主要現(xiàn)象和次要現(xiàn)象分開。第三，根據(jù)圖形，尋找解決問題或現(xiàn)象內(nèi)容的關(guān)鍵，從而做出結(jié)論。有時(shí)，還可以利用圖示引出新的問題。

2線性規(guī)劃建模時(shí)兩種典型的圖示方法

在教學(xué)過程中，建立線性規(guī)劃數(shù)學(xué)模型時(shí)有三個(gè)關(guān)鍵問題需要重點(diǎn)解決。其一，決策變量應(yīng)當(dāng)如何選擇，選擇幾個(gè);其二，約束方程共有幾個(gè)，如何找到;其三，目標(biāo)函數(shù)如何表達(dá)。利用圖示法有助于輔助學(xué)生解決以上問題。

目前，在運(yùn)籌學(xué)教材和教學(xué)中，線性規(guī)劃的建模程序和方法并沒有使用圖示法的先例。于是，不同教師講解時(shí)的技巧和對學(xué)生思維的引導(dǎo)就成為決定理解和運(yùn)用這部分理論的關(guān)鍵問題。根據(jù)以往的教學(xué)經(jīng)驗(yàn)，線性規(guī)劃的典型應(yīng)用范圍體現(xiàn)在生產(chǎn)計(jì)劃問題、儲(chǔ)運(yùn)問題、投資問題、排班問題、運(yùn)輸問題等幾個(gè)方面，筆者認(rèn)為這些不同種類的建模問題都可以用圖示法來輔助講解，其中網(wǎng)狀圖示和時(shí)間軸圖示是其中兩種較典型的圖示方式。

2.1網(wǎng)狀圖示

網(wǎng)狀圖示適用于產(chǎn)品生產(chǎn)計(jì)劃、運(yùn)輸問題等，如果問題涉及加工路線、送貨路徑時(shí)，用網(wǎng)狀圖示表示較為方便，并易于理解。網(wǎng)狀圖與網(wǎng)絡(luò)圖相似，由箭線、線段及結(jié)點(diǎn)所構(gòu)成。通常所有箭線組成的路徑的數(shù)量即為線性規(guī)劃問題中需要設(shè)定的決策變量的數(shù)量。

例1某廠生產(chǎn)Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ三種產(chǎn)品，都分別經(jīng)A、B兩道工序進(jìn)行加工。設(shè)A工序有兩臺(tái)設(shè)備A1和A2，B工序有三臺(tái)設(shè)備B1 、B2和B3。已知產(chǎn)品Ⅰ可以在A、B兩道工序中的任何一臺(tái)設(shè)備上進(jìn)行加工;產(chǎn)品Ⅱ可在A工序的任何規(guī)格的設(shè)備上加工，但完成B工序時(shí)，只能在B1上加工。產(chǎn)品Ⅲ只能在A2與B2設(shè)備上進(jìn)行加工。加工單位產(chǎn)品所需工序時(shí)間及其他各項(xiàng)數(shù)據(jù)見表1，試安排最優(yōu)生產(chǎn)計(jì)劃，使該廠獲利最大[2]。

這是典型的產(chǎn)品生產(chǎn)計(jì)劃問題，適合用網(wǎng)狀圖示方法來輔助建模。

本例中，學(xué)生會(huì)自然想到?jīng)Q策變量為三種產(chǎn)品分別生產(chǎn)的數(shù)量。但由于生產(chǎn)三種產(chǎn)品可能的路線不同，需要對三個(gè)變量進(jìn)行分解。如何分解呢?用圖形表示如下(見圖1)。

1)決策變量的選擇。在圖1中，可以清晰地回顧和解釋題目中所描述的兩種產(chǎn)品必須經(jīng)過的生產(chǎn)工序和可能利用的設(shè)備情況。A、B兩道工序的箭線數(shù)量就是分解之后的決策變量數(shù)量。由于產(chǎn)品Ⅰ的加工路線可以有六種，因此，決策變量可以分解成六個(gè)變量;產(chǎn)品Ⅱ的加工路線有兩條，決策變量可以分解成兩個(gè)變量;產(chǎn)品Ⅲ只有一條加工路線，所以無需分解。

2)約束方程的尋找。在表1中，可以分析出約束方程有五個(gè)，均屬于設(shè)備的臺(tái)時(shí)約束。當(dāng)考慮設(shè)備A1的臺(tái)時(shí)利用方程時(shí)，通過圖1可以看出，設(shè)備A1的臺(tái)時(shí)約束方程涉及的決策變量包括、、，于是可以很容易地列出設(shè)備A1的臺(tái)時(shí)約束為:。當(dāng)考慮設(shè)備A2臺(tái)時(shí)約束方程時(shí)，所涉及到的變量包括、、、，，同理，其它三臺(tái)設(shè)備的臺(tái)時(shí)約束可知(略)。

3)目標(biāo)函數(shù)表達(dá)。本例中決策目標(biāo)是尋求獲利最大的方案。此中，通過上述決策變量的分解及設(shè)備臺(tái)時(shí)利用的數(shù)學(xué)表達(dá)式的確定，很容易根據(jù)銷售收入扣除原材料費(fèi)和設(shè)備加工費(fèi)從而獲得利潤的函數(shù)表達(dá)式。

2.2時(shí)間軸(或時(shí)間輪盤)圖示

時(shí)間軸圖示適用于排班、連續(xù)投資等與時(shí)間相關(guān)的線性規(guī)劃問題。其中，時(shí)間的變化是決策者決策的關(guān)鍵因素。對于循環(huán)型時(shí)間可以采用時(shí)間輪盤表示，例如晝夜輪班的排班問題就可以使用時(shí)間輪盤描述。涉及非循環(huán)時(shí)間問題，可以使用時(shí)間軸來圖示。

例2連續(xù)投資10萬元，有四個(gè)投資項(xiàng)目A、B、C、D可供選擇。A項(xiàng)目從第1年到第4年每年初可以投資，次年末回收本利1.15;B項(xiàng)目第3年初投資，到第5年末回收本利1.25，但最大投資額為4萬元;C項(xiàng)目第2年初投資，到第5年末回收本利1.40，最大投資額為3萬元;D項(xiàng)目每年初投資，每年末回收本利1.11。如何投資可以使第五年末總資本最大[3]。

本例題中決策變量取決于四個(gè)項(xiàng)目的投資機(jī)會(huì)，與示例1相比資源約束不太明顯，需要使用時(shí)間軸圖示法來輔助建模。

本例中，可以借鑒技術(shù)經(jīng)濟(jì)分析中現(xiàn)金流量圖的做法來設(shè)計(jì)時(shí)間軸圖示，見圖2。其中每個(gè)項(xiàng)目的投資與回收情況用一個(gè)時(shí)間數(shù)軸來表示。軸上數(shù)字代表每一年的年初同時(shí)代表下一年的年末。例如2代表第二年年初，第三年年末。投入資金用向下的箭頭表示，投出資金用向上的箭頭表示。因?yàn)橥度氲馁Y金量待定，所以箭頭的長短并不代表投入資金的多少。圖中虛線代表回收的資金的來源。例如，在A項(xiàng)目中，第三年年初獲得的資金回收來源于第一年的年初投入的資金。

1)決策變量的確定。由圖2可知，所有的每年年初的投資機(jī)會(huì)都表現(xiàn)在向下的箭頭上。決策者要確定在有這些投資機(jī)會(huì)的情況下，分別應(yīng)當(dāng)投入多少資金。于是，所有的決策變量的設(shè)定如圖3所示。

2)約束方程的尋找。本例中，明確的約束包括B、C兩個(gè)項(xiàng)目的投入最高限制和第一年年初的投入資金限制，可列出方程:，， 。

而第2年到第5年年初投資時(shí)的資金限制往往容易被學(xué)生忽略，屬于不明顯的約束。利用圖2，可以很容易的找出約束方程的表達(dá)式。第二年年初的資金(見圖2中向下的箭頭)有三個(gè)投資機(jī)會(huì)，即A、C、D項(xiàng)目投資總額為，第二年年初(第一年年末)時(shí)獲得的資金總量(見圖2中向上的箭頭)就是本年初可能投入的最多資金。本年初獲得的資金可以表示成(圖中的虛線表示資金回收的源頭，即只有D項(xiàng)目在第二年年初回收了第一年初投入的資金及利息)。

因此，其約束方程為，同理，第3、4、5年年初的約束方程為 ?？梢姡瑘D2使題目思路清晰而易于準(zhǔn)確列出數(shù)學(xué)表達(dá)式。

3)目標(biāo)函數(shù)的表達(dá)。第5年末(即第6年初)的資本總額可以來源于四個(gè)項(xiàng)目。由圖2中虛線的連接端點(diǎn)可知，第五年末項(xiàng)目A可能獲得的資本回收來源于第四年年初的投入，資金回收額表達(dá)式為。同理，其它項(xiàng)目資本回收額的表達(dá)式分別為。目標(biāo)函數(shù)為可以寫成。

3圖示法教學(xué)過程的實(shí)現(xiàn)

圖示法教學(xué)可以結(jié)合傳統(tǒng)的教學(xué)方法由教師講解的同時(shí)手動(dòng)畫出。在計(jì)算機(jī)技術(shù)飛速發(fā)展的今天，通過使用電腦設(shè)計(jì)圖形的多媒體教學(xué)既可以完美的呈現(xiàn)手動(dòng)畫圖并講解的優(yōu)勢[4]，又可以消除手動(dòng)畫圖慢、亂、色彩有限等不足之處，還可以利用多媒體制作工具創(chuàng)造性地表現(xiàn)圖形。同其他多媒體課件內(nèi)容的制作方法一樣，使用圖示法教學(xué)要特別注意以下兩點(diǎn)關(guān)鍵問題。

3.1圖形放映順序

圖形放映順序應(yīng)當(dāng)遵循教師導(dǎo)引學(xué)生的順序依次放映。以本文中圖1為例，根據(jù)題意，教師可以先放映兩道工序設(shè)備的圖片，然后放映產(chǎn)品所有可能的加工路線，繼而說明設(shè)定決策變量的方法同時(shí)將決策變量的設(shè)定顯示在屏幕上。最后就可以借鑒屏幕顯示的內(nèi)容引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行建模。

3.2互動(dòng)性效果的設(shè)計(jì)

由于運(yùn)籌學(xué)建模的思維可以培養(yǎng)學(xué)生的邏輯思維能力，在教學(xué)過程中需要與學(xué)生互動(dòng)才能達(dá)到上述目的。因此，在多媒體設(shè)計(jì)中教師一方面要注意隨時(shí)向?qū)W生提問，另一方面對課件的設(shè)計(jì)提出了較高的要求。例如課件圖片色彩要和諧，切忌顏色雜亂;對于動(dòng)畫出現(xiàn)的方式以及插入的圖片、符號(hào)、圖形等要以對學(xué)生的觀感不產(chǎn)生喧賓奪主的原則為依據(jù)進(jìn)行設(shè)計(jì)。

參考文獻(xiàn)

[1]董振寧，劉洪偉.管理類專業(yè)運(yùn)籌學(xué)教學(xué)存在的問題及對策[J].中山大學(xué)學(xué)報(bào)論叢，2006，26(1):32-35.

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[3]錢頌迪.運(yùn)籌學(xué)[M].北京:清華大學(xué)出版社，1990:42-43.

[4]陳敏林.多媒體輔助教學(xué)課件與課堂教學(xué)[J].中國電力教育，2006，(s4):407-408.