摘要:從債券重組方法的推導(dǎo)過程，我們發(fā)現(xiàn)對(duì)沖投資組合

中的非零項(xiàng)bt的存在性直接關(guān)系到該法的成敗。文章結(jié)果得到了肯定的答案，從而使該法更加完善。

關(guān)鍵詞:套利，自融資，對(duì)沖投資組合。

引言

我們知道，著名的Black-Scholes公式是基于下列假設(shè)條件推導(dǎo)出來的(參文[1]):

1)股票價(jià)格遵循的隨機(jī)過程為

(1)

這里μ和σ是關(guān)于時(shí)間t的有界非隨機(jī)函數(shù)，σ非負(fù)有界，金融中μ和σ分別稱為股票價(jià)格的期望收益率和股票價(jià)格的波動(dòng)率。

2)允許使用全部所得賣空衍生證券。

3)沒有交易費(fèi)用或稅收。

4)在衍生證券的有效期內(nèi)沒有紅利支付。

5)不存在無風(fēng)險(xiǎn)套利機(jī)會(huì)且無風(fēng)險(xiǎn)利率為 (非隨機(jī)函數(shù))。

6)證券交易是連續(xù)的。

7)看漲期權(quán)價(jià)格 ，這里 是

一個(gè)處處連續(xù)，在上關(guān)于S和t分別為二階連續(xù)可微和一階連續(xù)可微的函數(shù)。

一般說來，推導(dǎo)Black-Scholes公式有兩種方法——債券重組方法和期權(quán)重組方法，下面我們分別用這兩種方法來推導(dǎo)關(guān)于單個(gè)股票S的歐式看漲期權(quán)C所滿足的偏微分方程。

1.債券重組方法

在時(shí)刻t，我們構(gòu)造對(duì)沖投資組合 (at和bt均為隨機(jī)過程)，使得它在無風(fēng)險(xiǎn)和自融資的意義下重組一份價(jià)值為IIt的債券Bt.由自融資條件得

2.期權(quán)重組方法

在時(shí)刻t，我們構(gòu)造投資組合(αt和βt均為隨機(jī)過程)，使得它在T時(shí)刻與看漲期權(quán)有相同的收益即

，這里K稱為期權(quán)的執(zhí)行價(jià)格。由下面的命題知，對(duì)任意的t，有 在這種意義下，重組了看漲期權(quán)C.

命題1.若在 內(nèi)市場(chǎng)無套利，投資組合Φ1與Φ2有

這就得到了Black-Scholes方程(7)。

從上面的推導(dǎo)過程我們不難發(fā)現(xiàn)，債券重組方法是通過構(gòu)造一個(gè)對(duì)沖投資組合IIt重組一份債券，該投資組合要求既是自融資的又是無風(fēng)險(xiǎn)的。細(xì)心的讀者可能會(huì)問，使得

是自融資的非零項(xiàng)bt是否存在呢?如果這樣的bt不存在，那么這種推導(dǎo)策略不就失敗了嗎?事實(shí)上，當(dāng)C滿足Black-Scholes方程(7)時(shí)，非零項(xiàng)bt是存在的。下面我們來解決這個(gè)問題。值得注意的是期權(quán)重組方法就不存在這樣的問題。

3.債券重組方法的注記

定理1.我們假定股票價(jià)格是一個(gè)Ito過程，它滿足

這里和是關(guān)于t的有界非隨機(jī)函數(shù)。而且，關(guān)于看漲期權(quán)價(jià)格，我們作出如下假設(shè):

(i) ，這里是一個(gè)處處連續(xù)，在 上光滑的函數(shù);

(ii) 對(duì)所有成立;

(iii) 使得

如果市場(chǎng)上不存在套利機(jī)會(huì)，那么函數(shù) 在

上必須滿足Black-Scholes方程(7)。并且，滿足條件(i)-(iii)的Black-Scholes方程有唯一解。

定理1的證明

由于直接證明上述定理存在較大的困難，下面我們首先給出證明的思路:我們采取的策略是構(gòu)造一個(gè)投資組合

使得 并且II是對(duì)沖的(自融資和無風(fēng)險(xiǎn)的)。無套利條件意味著 解出II，我們得到

因此b不能為零。這樣進(jìn)一步得到C滿足Black-Scholes方程(7)。但是，因?yàn)?，只有當(dāng)時(shí)這才可能。

也就是說，如果對(duì)某個(gè) 前面的論證就會(huì)失敗。

這樣，只要證明下面的兩個(gè)引理，我們的問題就解決了。

引理1.存在唯一的Ito過程S(t)滿足，且初始條件 ，其中S由下式給出

因此對(duì)每個(gè)t， 幾乎必然成立;而且，對(duì)任意非空區(qū)間我們有

按照隨機(jī)微分方程的基本理論，很容易得到本引理的結(jié)論，證明略(參文[3])。

引理2.滿足定理1中條件(i)-(iii)的Black-Scholes方程(7)

存在唯一解。而且，對(duì)這個(gè)唯一解C，在 上，我們處處有.

因此C必定是滿足方程(7)的唯一解。而且在上處處有 。

至此，我們完成了定理1的證明。這樣我們知道對(duì)沖投資組合中的非零項(xiàng)bt是肯定存在的。因此在這個(gè)前提下，用債券重組方法來推導(dǎo)Black-Scholes公式也是可行的。這里我們只討論了μ和σ是非隨機(jī)函數(shù)的情形，事實(shí)上，該方法還可以推廣到μ和σ是時(shí)間t的隨機(jī)函數(shù)的情形。

參考文獻(xiàn):

[1].Black F.，Scholes M: The pricing of options and corporate liabilities. Journal of Political Economy，1973，81:637-654.

[2]. 姜禮尚.期權(quán)定價(jià)的數(shù)學(xué)模型和方法.北京:高等教育出版社，2003.p12.

[3].Klebaner F.: Introduction to stochastic calculus with applications. Imperial College Press， London，1998.

注:本論文受南昌大學(xué)?；鹳Y助，基金號(hào):00000070。

(作者單位:南昌大學(xué))