韋達(dá)定理，即一元二次方程中根與系數(shù)的關(guān)系，設(shè)x-px+q=0的兩個(gè)根為x、x，則x+x=p，x#8226;x=q，是初等代數(shù)中的重要內(nèi)容。在實(shí)施創(chuàng)新教育的教學(xué)中，教師有目的、有意識(shí)地運(yùn)用此知識(shí)，不僅能簡(jiǎn)化、優(yōu)化解題過程，而且對(duì)拓寬學(xué)生的思路，發(fā)展學(xué)生的思維，提高學(xué)生的解題能力大有裨益。下面我列舉幾例說明其巧用:

1.巧求系數(shù)

例1:已知關(guān)于x的方程x+2(m-3)x+m+7=0有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，且這兩個(gè)根的平方和比兩根積大40，求m的值。

分析:應(yīng)用韋達(dá)定理求一元二次方程中待定系數(shù)是一種常見的方法，但我們應(yīng)特別注意一元二次方程是否有根的檢驗(yàn)，還應(yīng)注意二次項(xiàng)系數(shù)及本身隱含的取值范圍。

解:設(shè)x+2(m-3)x+m+7=0的兩根值為x，x，

則x+x=-2(m-3)，xx=m+7，

又(x+x)=x+x+2xx，

∴x+x=(x+x)-2xx。

由題意得:x+x=xx+40，

∴[-2(m-3)]-2(m+7)=m+7+40

4(m-3)-3(m+7)-40=0，

∴m=25，m=-1。

把m=25代入原方程得x+44x+632=0，△<0，

∴方程無(wú)實(shí)數(shù)根，

∴m=25不合題意，舍去。

把m=-1代入原方程得x-8x+8=0，△>0，

∴m=-1。

2.巧解條件

例2:當(dāng)m為何值時(shí)，方程x+(m+1)x+4m-6=0兩根的平方和最小。

分析:若用求根公式x=算出兩根顯然較為繁瑣，若設(shè)x，x為此方程二根，則由韋達(dá)定理和恒等式:x+x=(x+x)-2xx則能很快求出m的值。

解:設(shè)x，x為方程x+(m+1)x+4m-6=0的兩個(gè)根，

則x+x=-(m+1)，xx=4m-6，

∴x+x=(x+x)-2xx

=[-(m+1)]-2(4m-6)

=(m+3)+4，

∴當(dāng)m=-3時(shí)，此方程兩根的平方和最小，且最小值為4。

3.巧證等式

例3:若實(shí)數(shù)x、y、m滿足x=6-y，2m=xy-9，求證:x=y，并求m的值。

分析:由已知條件知:x+y=6，xy=2m+9可構(gòu)造出一個(gè)一元二次方程，進(jìn)而解題就可挖掘其潛在的內(nèi)涵。

證明:將已知二式變形為x+y=6，xy=2m+9。

由韋達(dá)定理設(shè)x、y是方程t-6t+(2m+9)=0的兩個(gè)根。

∵x、y是實(shí)數(shù)，

∴△=36-8m-36≥0，

則-8m≥0。

又∵m為任何實(shí)數(shù)，8m≤0，

∴m=0，即△=0，

∴方程t-6t+(2m+9)=0有等根，

∴當(dāng)m=0時(shí)，該方程的兩個(gè)根x=y。

4.巧解無(wú)理方程

例4:解方程+=4。

分析:細(xì)心觀察此方程，將會(huì)發(fā)現(xiàn)，若設(shè)=m，=n，則m+n=4，且m+n=10，于是由恒等式m+n=(m+n)-2mn，求出mn=3，再代入所設(shè)即可求出原方程的解。

解:設(shè)=m，=n，

則m+n=4，

又m+n=10，即(m+n)-2mn=10，

∴mn=3。

由韋達(dá)定理可設(shè)m，n為方程t-4t+3=0的兩個(gè)根，

解得:m=1，n=3或m=3，n=1，

代入所設(shè)可得:x=-2，x=6。

經(jīng)檢驗(yàn):x=-2，x=6均為原無(wú)理方程的根。

5.巧解集合與不等式

例5:已知關(guān)于x的不等式ax+bx+c<0的解集為{x|x<-2或x>1}，則不等式ax-bx+c>0的解集為。

解:由題設(shè)條件知:-2與1是方程ax+bx+c=0的兩根，并且由不等式ax+bx+c<0的解在兩根之外，可知a<0。

∴由根與系數(shù)的關(guān)系知:-2+1=--2×1=，

∴1=-2=，

∴b=a，c=-2a。

∵不等式ax-bx+c>0，

∴ax-ax-2a>0，即a(x-x-2)>0。

又∵a<0，

∴x-x-2<0，

∴-1

故不等式ax-bx+c>0解集為{x|-1

例6:已知集合A={x|<0}，B={x|x+px+q≤0}，若A∪B=R，A∩B={x|1

解:∵A={x|<0}={x|x<-2或x>1}，

又∵A∪B=R，A∩B={x|1

如圖:

∴B={x|-2≤x≤4}。

由不等式與方程之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系知:x+px+q=0的兩根為x=-2，x=4，

由韋達(dá)定理知:x+x=-2+4=-px#8226;x=-2×4=q，解得:p=-2q=-8。

6.巧解解析幾何

分析:我們可以利用韋達(dá)定理根據(jù)條件建立恰當(dāng)?shù)姆匠袒虿坏仁絹?lái)確定參數(shù)的值或取值范圍，巧解圓錐曲線與直線相交中的有關(guān)問題。

例7:橢圓的中心在原點(diǎn)O，焦點(diǎn)在軸上，離心率為，它與直線x+y-2=0交于A、B兩點(diǎn)，且AO⊥BO，求該橢圓方程。

解:由已知設(shè)橢圓方程為+=1，且c=a-b。

∵e==，

∴2c=a，則b=a，

又設(shè)直線x+y-2=0與橢圓交于A(x，y)，B(x，y)，

∴+=1x+y-2=0，

∴x+2y=ay=2-x，

∴3x-8x+(8-a)=0，

∴x+x=，x#8226;x=，

∵AO⊥BO，

∴k#8226;k=-1，即#8226;=-1，

∴x#8226;x+y#8226;y=0，

∴y#8226;y=(1)

又∵x+2y=ax=2-y，

∴3y-4y+4-a=0，由韋達(dá)定理得y#8226;y=(2)

由(1)、(2)得=，

∴a=6，b=3，

∴所求橢圓方程為+=1。