摘 要: 高中數(shù)學(xué)與高等數(shù)學(xué)在“極限”這一知識上出現(xiàn)了交叉點(diǎn)。在這個(gè)交叉點(diǎn)上，高等數(shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)該區(qū)別于高中所學(xué)的內(nèi)容，避免不必要的重復(fù)。本文就高中數(shù)學(xué)與高等數(shù)學(xué)在極限教學(xué)的銜接問題進(jìn)行了分析與闡述。

關(guān)鍵詞: 高中數(shù)學(xué) 高等數(shù)學(xué) 極限

現(xiàn)在的高中數(shù)學(xué)教材中有關(guān)于數(shù)列極限、函數(shù)的極限、極限的四則運(yùn)算、函數(shù)連續(xù)性的知識，高考中也有相關(guān)的試題。高等數(shù)學(xué)的第一章也是極限。就教材的內(nèi)容來說，在這一部分，高等數(shù)學(xué)教材的內(nèi)容跟高中教材大體一樣。如果我們僅僅按照教材來進(jìn)行教學(xué)，就會使得教學(xué)內(nèi)容出現(xiàn)不必要的重復(fù)，學(xué)生會對這門學(xué)科的價(jià)值產(chǎn)生懷疑。那么作為高等數(shù)學(xué)中第一塊知識，其思想貫穿于高等數(shù)學(xué)教學(xué)始終的極限部分，我們在教學(xué)中應(yīng)注重哪些方面呢?高中階段在這一部分的教學(xué)更多的是注重概念、計(jì)算方面的教學(xué)。到大學(xué)階段，前面兩者可以弱化，我們應(yīng)注重這樣幾方面的教學(xué):

1.極限思想的發(fā)展史

我國古代哲學(xué)名著《莊子》記載著莊子的朋友惠施的一句話:“一尺之棰，日取其半，萬世不竭。”其含義是:長為一尺的木棒，第一天截取它的一半，第二天截取剩下的一半，這樣的過程無窮無盡地進(jìn)行下去。隨著天數(shù)的增多，所剩下的木棒越來越短，截取量也越來越小，無限地接近于0，但永遠(yuǎn)不會等于0。

1700年前，我國偉大的數(shù)學(xué)家劉徽提出了割圓術(shù):“割之彌細(xì)，失之彌少，割之又割，以至于不能割?！币簿褪怯脠A的內(nèi)接n邊形周長逼近圓周，當(dāng)n無限增大時(shí)，n邊形越來越接近圓周，相應(yīng)的n邊形周長越來越接近圓的周長，也就是n邊形周長的極限為圓的周長的精確值。

17世紀(jì)，牛頓、萊布尼茨在總結(jié)了大量數(shù)學(xué)家的成果之后，分別獨(dú)立地創(chuàng)立了微積分，并很快地應(yīng)用到實(shí)際問題中，大大地推動(dòng)了當(dāng)時(shí)的科技和經(jīng)濟(jì)的發(fā)展。但當(dāng)時(shí)的微積分理論基礎(chǔ)是建立在有邏輯矛盾的無窮小概念上，所以十分不穩(wěn)固。當(dāng)時(shí)，牛頓把變量稱為流量，流量的微小改變量稱作為瞬，也就是無窮小量。牛頓認(rèn)為瞬是非零的改變量，但在他的一些文章中又有“被它乘的那些項(xiàng)可以算作沒有”，前后顯然矛盾。這也就是數(shù)學(xué)史上的第二次危機(jī)。之后，法國數(shù)學(xué)家柯西創(chuàng)立了極限理論，理論中給出了“以零為極限的變量為無窮小量”的精確定義。隨之，德國數(shù)學(xué)家魏爾斯特拉斯建立了純粹數(shù)學(xué)運(yùn)算的極限理論。到這時(shí)，第二次數(shù)學(xué)危機(jī)終于被消除了。

2.極限思想方法的應(yīng)用

應(yīng)用極限思想方法解決問題一的般思路是:對需計(jì)算的未知量，先構(gòu)造一個(gè)與之有關(guān)的變量，而這個(gè)變量的極限剛好是未知量的精確值，然后取這一變量的極限，從而得到這一精確值。總的框架是將動(dòng)態(tài)問題通過在局部范圍內(nèi)不變代變轉(zhuǎn)化為靜態(tài)問題，然后將靜態(tài)問題通過初等數(shù)學(xué)方法解出未知量的近似值，最后通過無限變化即取極限得出動(dòng)態(tài)問題的精確值。下面從微積分中的導(dǎo)數(shù)、定積分概念的引入進(jìn)行闡述。

1.求變速直線運(yùn)動(dòng)的瞬時(shí)速度

設(shè)物體沿直線運(yùn)動(dòng)，s為物體從某一選定時(shí)刻到時(shí)刻t的路程，則s是t的一個(gè)函數(shù)s=s(t)。需要確定物體在某一時(shí)刻t的瞬時(shí)速度v(t)。我們可以將這樣一個(gè)變速運(yùn)動(dòng)動(dòng)態(tài)問題在局部內(nèi)近似的看成勻速運(yùn)動(dòng)，即是v(t)≈。通過初等方法得出=，當(dāng)△t充分小時(shí)，速度來不及發(fā)生多大的改變，也就是△t越小，越接近v(t)，所以根據(jù)極限的定義v(t)==。

2.曲邊梯形面積的求法

設(shè)函數(shù)y=f(x)在區(qū)間[a，b]上連續(xù)，當(dāng)x∈[a，b]時(shí)f(x)≥0。由曲線y=f(x)，直線x=a，x=b與x軸圍成的平面圖形稱為曲邊梯形面積。要求此曲邊梯形面積。首先在區(qū)間[a，b]中任意插入n-1個(gè)分點(diǎn)a=x

3.極限中所蘊(yùn)含的哲學(xué)思想

極限蘊(yùn)涵了矛盾對立統(tǒng)一法則。取極限的最終結(jié)果，變量轉(zhuǎn)化成常量，體現(xiàn)了變與不變、運(yùn)動(dòng)與靜止、近似與精確的對立與統(tǒng)一規(guī)律。同時(shí)，取極限，使變量轉(zhuǎn)化為常量、近似值轉(zhuǎn)化為精確值，體現(xiàn)了量變到質(zhì)變的規(guī)律。

參考文獻(xiàn):

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