摘 要： 極限是高等數(shù)學(xué)中最基本、最重要的概念之一。其中求極限又作為學(xué)習(xí)極限問(wèn)題的基礎(chǔ)。本文歸納出幾種求極限的常用方法，以供參考。

關(guān)鍵詞： 函數(shù) 求極限 常用方法

極限這一概念是整個(gè)高等數(shù)學(xué)中的基礎(chǔ)概念之一。在給定函數(shù)（或數(shù)列）的極限存在的前提下求極限的方法又作為學(xué)習(xí)極限問(wèn)題的基礎(chǔ)。筆者在此總結(jié)出高等數(shù)學(xué)中求極限的幾種常用方法。

一、利用極限四則運(yùn)算法則求極限

函數(shù)極限的四則運(yùn)算法則：設(shè)有函數(shù)，若在自變量f（x），g（x）的同一變化過(guò)程中，有l(wèi)imf（x）=A，limg（x）=B，則

lim［f（x）±g（x）］=limf（x）±limg（x）=A±B

lim［f（x）·g（x）］=limf（x）·limg（x）=A·B

lim==（B≠0）

（類(lèi)似的有數(shù)列極限四則運(yùn)算法則）現(xiàn)以討論函數(shù)為例。

對(duì)于和、差、積、商形式的函數(shù)求極限，自然會(huì)想到極限四則運(yùn)算法則，但使用這些法則，往往要根據(jù)具體的函數(shù)特點(diǎn)，先對(duì)函數(shù)做某些恒等變形或化簡(jiǎn)，再使用極限的四則運(yùn)算法則。方法有：

1.直接代入法

對(duì)于初等函數(shù)f（x）的極限f（x），若f（x）在x點(diǎn)處的函數(shù)值f（x）存在，則f（x）=f（x）。

直接代入法的本質(zhì)就是只要將x=x代入函數(shù)表達(dá)式，若有意義，其極限就是該函數(shù)值。

例1：求極限（x+3）。

解：（x+3）=2+3=7。

2.無(wú)窮大與無(wú)窮小的轉(zhuǎn)換法

在相同的變化過(guò)程中，若變量不取零值，則變量為無(wú)窮大量?圳它的倒數(shù)為無(wú)窮小量。對(duì)于某些特殊極限可運(yùn)用無(wú)窮大與無(wú)窮小的互為倒數(shù)關(guān)系解決。

（1）當(dāng)分母的極限是“0”，而分子的極限不是“0”時(shí)，不能直接用極限的商的運(yùn)算法則，而應(yīng)利用無(wú)窮大與無(wú)窮小的互為倒數(shù)的關(guān)系，先求其的極限，從而得出f（x）的極限。

例2：求。

解：∵==0

∴=∞。

（2）當(dāng)分母的極限為∞，分子是常量時(shí)，則f（x）極限為0。

例3：求。

解：=0。

3.除以適當(dāng)無(wú)窮大法

對(duì)于極限是“”型，不能直接用極限的商的運(yùn)算法則，必須先將分母和分子同時(shí)除以一個(gè)適當(dāng)?shù)臒o(wú)窮大量x。

例4：計(jì)算。

解：===3。

一般情形有如下結(jié)論：

設(shè)a≠0，b≠0，m，n是正整數(shù)，則

=0，當(dāng)n＞m時(shí)，當(dāng)n=m時(shí)∞，當(dāng)n＜m時(shí)。

4.有理化法

適用于帶根式的極限。

例5：計(jì)算（-）。

解：（-）=

==0。

二、利用夾逼準(zhǔn)則求極限

函數(shù)極限的夾逼定理：設(shè)函數(shù)f（x），g（x），h（x），在x的某一去心鄰域內(nèi)（或|x|＞N）有定義，若①f（x）≤g（x）≤h（x）；②f（x）=h（x）=A（或f（x）=h（x）=A），則g（x）（或g（x））存在，且g（x）=A（或g（x）=A）。（類(lèi)似的可以得數(shù)列極限的夾逼定理）

利用夾逼準(zhǔn)則關(guān)鍵在于選用合適的不等式。

例6：計(jì)算x［］。

解：當(dāng)x＞0時(shí)，有1-x＜x［］≤1，利用夾逼準(zhǔn)則，有（1-x）=1，所以有x［］=1。

三、利用單調(diào)有界準(zhǔn)則求極限

單調(diào)有界準(zhǔn)則：?jiǎn)握{(diào)有界數(shù)列必有極限。

首先常用數(shù)學(xué)歸納法討論數(shù)列的單調(diào)性和有界性，再求解方程，可求出極限。

例7：證明數(shù)列，，，…有極限，并求其極限。

證明：（1）先證數(shù)列有界，易知{x}遞增，且x≥，

用數(shù)學(xué)歸納法證明x≤2，顯然x=＜2，

若x≤2，則x=≤=2。

（2）再證數(shù)列單調(diào)增加x-x=-x==。

利用（1） 0＜x＜2?圯x-x＞0。

（3）利用單調(diào)有界收斂準(zhǔn)則，x=a。

（4）由x=，x=2+x。

在等式兩端取極限，得a=2+a，求得a=2或a=-1（明顯不合要求，舍去）

所以x=2。

四、利用等價(jià)無(wú)窮小代換求極限

常見(jiàn)等價(jià)無(wú)窮小量的例子有：當(dāng)x→0時(shí)，sinx～x；tanx～x；1-cosx～x；e-1～x；ln（1+x）～x；arcsinx～x；arctanx～x；（1+x）-1～x。

等價(jià)無(wú)窮小的代換定理：設(shè)α（x），α′（x），β（x）和β′（x）都是自變量x在同一變化過(guò)程中的無(wú)窮小，且α（x）～α′（x），β（x）～β′（x），lim存在，則lim=lim。

例8：計(jì)算。

解：利用等價(jià)無(wú)窮小代換，

有===。

注：當(dāng)分母或分子是兩個(gè)等價(jià)無(wú)窮小相減時(shí)，不可簡(jiǎn)單地用各自的等價(jià)無(wú)窮小代換，否則將導(dǎo)致錯(cuò)誤的結(jié)果，從另一個(gè)角度，等價(jià)無(wú)窮小代換適宜在乘積和商中進(jìn)行，不宜在加減運(yùn)算中簡(jiǎn)單代換。

例如：因?yàn)閤→0時(shí)，tanx～x，sinx～x，有==0。

上式出現(xiàn)錯(cuò)誤的原因是當(dāng)x→0時(shí)，盡管tanx～x，sinx～x，但tanx與sinx（x→0）趨于零的速度只能近似相等，但不完全相等。

五、利用無(wú)窮小量性質(zhì)求極限

在無(wú)窮小量性質(zhì)中，特別是利用無(wú)窮小量與有界變量的乘積仍是無(wú)窮小量的性質(zhì)求極限。

例9：計(jì)算xsin。

解：當(dāng)x→0時(shí)，x是無(wú)窮小量，由|sin|≤1，即sin是有界量，故xsin是無(wú)窮小量，于是xsin=0。

六、利用兩個(gè)重要極限求極限

使用兩個(gè)重要極限=1和（1+)=e求極限時(shí)，關(guān)鍵在于對(duì)所給的函數(shù)或數(shù)列作適當(dāng)?shù)淖冃?，使之具有相?yīng)的形式，有時(shí)也可通過(guò)變量替換使問(wèn)題簡(jiǎn)化。

例10：計(jì)算。

解：===2。

例11：計(jì)算（）。

解：（）=［（1+）］=e。

七、利用洛必達(dá)法則求極限

如果當(dāng)x→a（或x→∞）時(shí)，兩個(gè)函數(shù)f（x）與g（x）都趨于零或趨于無(wú)窮小，則可能存在，也可能不存在，通常將這類(lèi)極限分別稱(chēng)為“”型或“”型未定式，對(duì)于該類(lèi)極限一般不能運(yùn)用極限運(yùn)算法則，但可以利用洛必達(dá)法則求極限。

洛必達(dá)法則：

設(shè)（1）極限為型或型未定式；

（2）f（x），g（x）在某去心鄰域（x）或|x|＞X時(shí)可導(dǎo)，且g′（x）≠0；

（3）存在或?yàn)闊o(wú)窮小，則=。

其他未定式，如“0·∞”型、“∞-∞”型、“1”型、“0”型、“∞”型，不能直接用洛必達(dá)法則，需轉(zhuǎn)為“”型或“”型后再用洛必達(dá)法則。

例12：計(jì)算。（型）

解：==2。

例18：計(jì)算（sinx）。（0型）

解：（sinx）=e=e=e=e=e=e=1。

八、利用泰勒公式求極限

如果函數(shù)f（x）在含有x的某個(gè)開(kāi)區(qū)間（a，b）內(nèi)具有直到n階的導(dǎo)數(shù)，則當(dāng)x在（a，b）內(nèi)時(shí)恒有f（x）=f（x）+f′（x）（x-x）+（x-x）+…+（x-x）+o［（x-x）］（x→x），

其中o［（x-x）］稱(chēng)為皮亞諾余項(xiàng)，當(dāng)x=0時(shí)，上述等式稱(chēng)為麥克勞林公式。

對(duì)某些較復(fù)雜的求極限問(wèn)題，可利用麥克勞林公式加以解決。

例19：計(jì)算。

解：=

==。

在用泰勒公式求極限時(shí)，我們應(yīng)當(dāng)靈活應(yīng)用分清哪些項(xiàng)需要展開(kāi)，哪些項(xiàng)可以保留。對(duì)于復(fù)雜函數(shù)的極限，泰勒公式是一個(gè)有力且有效的工具。

九、利用定積分定義求極限

若遇到某些求和式極限問(wèn)題，能夠?qū)⑵浔硎緸槟硞€(gè)可積函數(shù)的積分和，就能用定積分來(lái)求極限，關(guān)鍵在于根據(jù)所給和式確定被積函數(shù)，以及積分區(qū)間。

例15：計(jì)算sin+sin+…+sinπ。

解：原式=sin+sin+…+sinπ+sinπ=?蘩sinπxdx=［cosπx］=。

從上述的介紹中可以看出求極限的方法不拘一格，我們應(yīng)具體問(wèn)題具體分析，不能機(jī)械地用某種方法，對(duì)具體題目要注意觀察，有時(shí)解題可多種方法混合使用，要學(xué)會(huì)靈活運(yùn)用。

參考文獻(xiàn)：

［1］同濟(jì)大學(xué)應(yīng)用數(shù)學(xué)系.高等數(shù)學(xué)（第五版）（上）［M］.北京：高等教育出版社，2002.

［2］華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系.數(shù)學(xué)分析（第三版）（上）［M］.北京：高等教育出版社，2001.