摘 要： 本文介紹了單調(diào)動力系統(tǒng)的兩個主要性質(zhì)：極限集二分性和擬收斂點的幾乎處處性，并給出了在泛函微分方程中的一個應用。

關(guān)鍵詞： 單調(diào)動力系統(tǒng) 極限集二分性 擬收斂

自從19世紀末Poincaré等人從經(jīng)典力學和微分方程的定性理論的研究中提出“動力系統(tǒng)”這一概念以來，動力系統(tǒng)方法就成為研究微分方程的一個主要工具。動力系統(tǒng)的一個核心問題是軌線的漸近性態(tài)和拓撲結(jié)構(gòu)，它包含兩層含義，即軌線的極限集的構(gòu)成及軌線趨近于它的方式。近幾十年的非線性動力學研究成果表明，任何期望籠統(tǒng)的研究動力系統(tǒng)的漸近性態(tài)的想法似乎是不可取的，也是行不通的。因此，我們只能期望于研究某些系統(tǒng)具有哪些通有性質(zhì)，最簡單的情況是軌線被吸引到平衡點。哪些動力系統(tǒng)具有這種通有性質(zhì)？由M.W.Hirsch和Hal Smith等人［2-6，8，9］發(fā)展起來的單調(diào)動力系統(tǒng)對此作了一個相當完美和成功的回答。本文簡單介紹這方面的研究近況，并給出一個具體的例子加以說明。

一、定義及記號

定義1：令Y為帶有正錐Y={y∈Y∶y≥0}的序Banach空間，?坌x，y∈Y。如果y-x∈Y，則記為x≤y；如果x≤y，且x≠y，則記為x＜y。如果序Banach空間Y的正錐Y有非空內(nèi)部，即IntY≠Φ，稱Y為強序Banach空間。?坌x，y∈Y，如果y-x∈IntY，則記為x?塏y。

定義2：映射Φ：R×X→X稱為X上的半流，如果下面兩條成立：

（a）Φ（x）=x，?坌x∈X；

（b）Φ（Φ（x））=Φ（x），t，s≥0，x∈X。

對于X上的半流Φ，?坌x∈X，記O（x）∶={Φ（x），t≥0}為x的軌道，ω（x）為x的正極限集，E為Φ的平衡點集合，即E={x∈X，Φ（x）=x，?坌t≥0}。如果x∈X，ω（x）?奐E，則稱點x為擬收斂點；如果ω（x）=p∈E，則稱x為收斂點。記X上所有擬收斂點集合為Q，X上所有收斂點集合為C。對于p∈E，記C（p）∶={x∈X，ω（x）={p}}表示以{p}為極限集的所有收斂點集合，則C=C（p）。

下面假設(shè)Φ為（強）序Banach空間上X的半流，我們給出一些概念。

定義3：稱Φ為X上的單調(diào)半流，如果x≤y?圯Φ（x）≤Φ（y），?坌t≥0；稱Φ為X上的強單調(diào)半流，如果x＜y?圯Φ（x）?塏Φ（y），?坌t＞0；稱Φ為X上的SOP（strongly order-preserving）半流，如果Φ是單調(diào)半流，且?坌x＜y，存在x，y的鄰域U，V，t≥0使得Φ（U）≤Φ（V），從而Φ（U）≤Φ（V），?坌t≥t。

二、一些簡單性質(zhì)及命題

命題1：（收斂準則）設(shè)Φ是X上的單調(diào)半流，x∈X有緊的軌道閉包，且存在T＞0使得Φ（x）≥x，則ω（x）為周期T的周期軌。進一步的，如果使得Φ（x）≥x成立的T為R的開集且非空，或者Φ是X上的SOP半流且Φ（x）＞x，則x∈C。

命題2：（極限集的無序性）設(shè)ω（z）為單調(diào)半流Φ的正極限集，則

（a）不存在x，y∈ω（z），使得x?塏y；

（b）如果ω（z）是周期軌或者Φ是SOP的，則不存在x，y∈ω（z），使得x＜y。

下面我們假設(shè)Φ是序空間X上的SOP半流，且每條軌道都有緊的閉包。通過幾個命題，我們給出SOP半流的極限集二分性原理。

命題3：（共極限原理）設(shè)x＜y，存在{t}，t→∞，使得Φ（x）→p，Φ（y）→p，則p∈E。

證明：選取x，y的鄰域U，V，t＞0，使得Φ（U）≤Φ（V），令δ＞0足夠小，使得{Φ（x）∶0≤s≤δ}?奐U，{Φ（y）∶0≤s≤δ}?奐V。則當t≤r，s≤t+δ時，有Φ（x）≤Φ（y）。因此（*）式——Φ（Φ（x））≤Φ（Φ（y））=Φ（y），對?坌s∈［t，t+δ］，足夠大的k成立。

由于Φ（Φ（x））=Φ（Φ（x））=Φ（Φ（x）），其中r=s-t∈［0，δ］，則Φ（Φ（x））≤Φ（y）對足夠大的k和r∈［0，δ］成立。

上式兩邊對k求極限，得到Φ（p）≤p，0≤r≤δ。

同理，在（*）式中將Φ（x）換成Φ（x），Φ（y）換成Φ（y），再對k求極限，得到p≤Φ（p），0≤r≤δ。所以Φ（p）=p，0≤r≤δ，故p∈E。

命題4：（相交原理）設(shè)x＜y，則ω（x）∩ω（y）?奐E。如果p∈ω（x）∩ω（y），t→∞，則Φ（x）→p當且僅當Φ（y）→p。

證明：設(shè)p∈ω（x）∩ω（y），則存在{t}，t→∞，使得Φ（x）→p，Φ（y）→q∈ω（x），由單調(diào)性知p≤q。如果p＜q，由于p，q∈ω（y），則由命題2知矛盾，所以p=q。再由命題3知p∈E。

命題5：（吸收原理）設(shè)u，v∈X，?堝x∈ω（u）使得x＜ω（v）（ω（v）＜x），則ω（u）＜ω（v）（ω（v）＜ω（u））。

證明：不妨設(shè)x＜ω（v），則存在x，ω（v）的鄰域U，V，t＞0，使得r≥t?圯Φ（U）≤Φ（V）。由ω（v）的不變性知Φ（U）≤ω（v）。

由于x∈ω（u），存在t＞0，使得Φ（u）∈U。則由ω（v）的不變性和單調(diào)性知Φ（u）≤ω（v）對?坌s≥0成立，從而ω（u）≤ω（v）。

下證ω（u）∩ω（v）=Φ。否則的話?堝z∈ω（u）∩ω（v），由極限集的無序性知ω（u）=ω（v）={z}，矛盾。所以ω（u）＜ω（v），命題得證。

命題6：（分離原理）設(shè)x＜y，存在t→∞使得Φ（x）→p，Φ（y）→q，如果p＜q，則ω（x）＜ω（y）。

下面我們給出SOP半流極限集的一個特征。

定理1：（極限集二分性）設(shè)x＜y，則（a）ω（x）＜ω（y）；（b）ω（x）=ω（y）?奐E。且若?堝{t}，t→∞，使得Φ（x）→p當且僅當Φ（y）→p。

證明：如果ω（x）=ω（y），則由相交原理知（b）成立。如果ω（x）≠ω（y），不妨設(shè)存在q∈ω（y）\\ω（x）（另一方面亦證）。則存在{t}，t→∞，使得Φ（y）→q，而且Φ（x）→p∈ω（x）（如有必要取{t}的子列）。由單調(diào)性知p≤q，再由q?埸ω（x）知p＜q。所以由分離原理知ω（x）＜ω（y），命題得證。

下面我們再給出兩個相關(guān)定義，并由此給出SOP半流的擬收斂點稠密的性質(zhì)。

定義4：A為序空間X的子集，稱L∶={x∈X∶x≤A}（可能為空集）為A的下界，如果u∈L，L≤u，則稱u為A的下確界，記為u∶=infA。同樣有上確界的定義。

定義5：點x∈X稱為下（上）方兩次可達，如果對x的任意鄰域U，存在f，g使得f＜g＜x（x＜f＜g）成立。

引理1：設(shè)x∈X＼Q，a=infω（x），如果x下方兩次可達，則ω（a）={p}，p＜ω（x）且x∈。

證明：固定x的任意鄰域M，由ω（x）的無序性知a＜ω（x）。由ω（x）的不變性知Φ（a）≤ω（x），所以Φ（a）≤a，則由收斂準則（命題1）知ω（a）={p}，且p≤a。

由于p≤ω（x），存在ω（x）的鄰域N，s≥0，使得p≤ΦN，對?坌t≥s成立。

取r≥0，使得Φ（x）∈N，對?坌t≥r成立。則t≥r+s當時，有p≤Φ（x）。

令V∶=（Φ）（N）∩M，則V為x的鄰域，V?奐M，且有P≤ΦV，t≥r+2s。

所以u∈V?圯p≤ω（u） （1）

假設(shè)x下方兩次可達，取y，y∈V，且y＜y＜x，由二分性原理知ω（y）＜ω（x）。

因為ω（x）?埭E，由SOP半流的性質(zhì)知存在y的鄰域U?奐V，t＞0，有Φu≤Φy，?坌u∈U。

由二分性知ω（u）=ω（y）或者ω（u）＜ω（y），因此由ω（y）＜ω（x），有?坌u∈U，ω（u）＜ω（x）。

所以ω（u）≤ω（a）={p} （2）

由（1），（2）知U?奐C（p）∩M，命題得證。

假設(shè)SOP半流除了滿足每條軌道都有緊的閉包外，還滿足下面條件：

（L）：X的每個極限集ω（x）有下確界，所有下方兩次可達的點集內(nèi)部在X中稠密，或者X的每個極限集ω（x）有上確界，所有上方兩次可達的點集內(nèi)部在X中稠密，兩者成立其一。

定理2：設(shè)Φ為X上的SOP半流，每條軌道有緊的閉包，滿足條件（L），則X＼Q?奐，且IntQ稠密。

證明：假設(shè)Φ滿足（L）的第一個條件，另一同樣證明。記X為所有下方兩次可達的點集內(nèi)部，由引理1知，X?奐Q∪?奐Q∪，所以開集X＼?奐Q。由于集合A是開集當且僅當IntA=A，因此X＼?奐IntQ，所以X＼=Φ。

故X?奐，從而X=X?奐，所以=X，命題得證。

三、簡單應用

單調(diào)動力系統(tǒng)的許多結(jié)果可以用來解釋常微分方程和泛函微分方程中軌線的漸進行為，下面我們舉一例加以說明。

考慮滯后微分方程

x′（t）=f（x（t）），x（t-τ） （3）

其中f∶R×R→R，C連續(xù)，滿足f（x，y）＞0（4）

選取相空間X∶=C（［-τ，0］，R），其中的序關(guān)系為逐點的意義。

給定?準∈X，假設(shè)（3）滿足初值條件x（s）=?準（s），s∈［-τ，0］的解局部上存在且唯一。

定理3：假設(shè)f滿足條件（4），且初值問題的解有界，則方程（3）的所有解都是收斂的。

證明：由條件（4）知解半流是SOP的（Smith［７］），由于初值問題的解有界，所以所有的軌線有緊的閉包。易知在相空間X∶=C（［-τ，0］，R）中條件（L）成立，由定理2知=X。

因為方程（3）的平衡點解E是完全有序的，由極限集的無序性知Q?奐C，從而定理得證。

四、結(jié)語

單調(diào)動力系統(tǒng)理論是單調(diào)方法與動力系統(tǒng)觀點相結(jié)合的產(chǎn)物，其豐富的結(jié)果已經(jīng)應用到常微分方程，泛函微分方程，拋物型微分方程，以及偏泛函微分方程當中。由于泛函微分方程，拋物型微分方程，以及偏泛函微分方程本身的復雜性，這方面的應用有一定的限制。我們可以通過適當選取這些問題的相空間，以及推廣單調(diào)動力系統(tǒng)（比如偽單調(diào)動力系統(tǒng)，Wu［１］），得到某些相應的結(jié)論。

參考文獻：

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