摘 要:含參數(shù)的恒成立問題是最近幾年高考的熱點，它涉及到一次函數(shù)、二次函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)等的性質(zhì)圖象，滲透著換元化歸、數(shù)形結(jié)合、函數(shù)與方程等思想方法，特別是求參數(shù)范圍這一類型是一個難點。本文將從一個教師的角度結(jié)合教學實例對解決此類問題的方法進行一些探討。

關鍵詞:判別式 分離變量 數(shù)形結(jié)合

本文主要介紹恒成立問題的三種重要解法，其中判別式法雖應用方便，但只能用于一元二次不等式;數(shù)形結(jié)合比較直觀，往往出現(xiàn)在選擇題里面;分離變量比較常用，也是同學們比較容易出錯的地方，所以我們將結(jié)合教學實踐重點對它進行探討。

一、判別式法

例1.設f(x)=x2-2ax+2，(a∈R)，

(1)當x∈R時，f(x)≥a恒成立，求a的取值范圍;

(2)當x∈[-1，+∞)時，f(x)≥a恒成立，求a 的取值范圍。

分析:

(1)當x∈R時，f(x)≥a恒成立，即當 x∈R時，x2-2ax+2≥a恒成立，即當x∈R時，x2-2ax+2-a≥0恒成立;

實數(shù)a需且只需Δ=4a2-4(2-a)≤0，所以-2≤a≤1

(2)當x∈[-1，+∞)時，f(x)≥a恒成立，即當x∈[-1，+∞)時，x2-2ax+2≥a恒成立。

即當x∈[-1，+∞)時，x2-2ax+2-a≥0恒成立的充要條件是

①Δ≤0?圯a∈[-2，1]

②Δ>0a<-1f(-1)≥0?圯a∈[-3，-2]

綜合起來，得a∈[-3，1]

評注:(1)此方法有局限性只能用于一元二次不等式。

(2)如果不是在全體實數(shù)上恒成立，還要結(jié)合圖像用對稱軸來解決。

二、最值法——分離變量

用分離變量的方法來解決恒成立問題，其關鍵是把它看成誰的函數(shù)，有些學生不會分離變量其關鍵問題就在于此，特別是多元變量的分離，其解決的辦法是:題目中給出那個變量的范圍，我們就應看成誰的函數(shù)。我們將根據(jù)例題來研究一下:

1.二元變量分離

例2.已知函數(shù)f(t)對任意實數(shù)x，y都有

f(x+y)=f(x)+f(y)+3xy(x+y+2)+3，f(1)=1

(1)若t為自然數(shù)，試求f(t)的表達式;

(2)若t為自然數(shù)，且t≥4時，f(t)≥mt2+(4m+1)t+3m恒成立，求m的最大值。

解:(1)f(t)=t3+3t2-3，(t∈N)

(2)由題意，t3+3t2-t-3≥mt2+(4m+1)t+3m當t≥4，t∈N時恒成立

m(t2+4t+3)≤t3+3t2-3當t≥4，t∈N時恒成立

∵t≥4 ∴t2+4t+3>0

∴m≤■=t-1當t≥4，t∈N時恒成立 記h(t)=t-1，t∈[4，+∞)，

(這里是把m看成了t的函數(shù)，所以我們是用t把m表示出來，下一步再求h(t)的最小值就是了)

函數(shù)h(t)=t-1，t∈[4，+∞)的圖象表示在t∈[4，+∞)上的一條射線，所以要使問題恒成立，只要m≤hmin(t)=h(4)=3 ∴m≤3，∴mmax=3

評注:本例不適宜用三次函數(shù)的最值來處理，宜用參變量分離。

例3.函數(shù)f(x)=■，x∈[1，+∞)

若對任意x∈[1，+∞)，f(x)>0恒成立，求實數(shù)a的取值范圍。

分析:若對任意x∈[1，+∞)，f(x)>0恒成立，

即對x∈[1，+∞)，f(x)=■>0恒成立，

考慮到不等式的分母x∈[1，+∞)，只需 x2+2x+a>0在x∈[1，+∞)時恒成立而得考慮參數(shù)分離只需a>-x2-2x在x∈[1，+∞)時恒成立，考慮定拋物線g(x)=-x2-2x在x∈[1，+∞)的最大值gmax(x)=g(1)=-3，得a>-3

評注:本例只要適當挖掘隱含條件，無論是用二次函數(shù)的最值來處理，還是用參變量分離來處理均可。

2.多元變量分離

例4.已知f(x)=4x+ax2-■x3(x∈R)在區(qū)間[-1，1]上是增函數(shù)

(1)求實數(shù)a的值組成的集合A;

(2)設關于x的方程f(x)=2x+■x3的兩個非零實根為x1，x2。試問:是否存在實數(shù)m，使得不等式m2+tm+1≥x1-x2對任意a∈A及t∈[-1，1]恒成立?若存在，求m的取值范圍;若不存在，請說明理由。

分析:(1)由f(x)=4x+ax2-■x3(x∈R)在區(qū)間[-1，1]上是增函數(shù)，得f′(x)≥0在[-1，1]恒成立，即-2x2+2ax+4≥0在x∈[-1，1]恒成立，

所以x2-ax-2≤0 ①在x∈[-1，1]恒成立

令?漬(x)=x2-ax-2，x∈[-1，1] 式①成立的充要條件是

?漬(-1)=-a-1≤0?漬(1)=a-1≤0 解得-1≤a≤1

(2)由f(x)=2x+■x3得4x+ax2-■x3=2x+■x3

x1=0，x2-ax-2=0由Δ=a2+8>0，又a∈A ∴a∈[-1，1]

記g(x)=x1-x2=■，a∈[-1，1]

∴g(x)=x1-x2=■≤3，

問題轉(zhuǎn)化為m2+tm+1≥3，(該步是看成函數(shù)g(x)函數(shù)得到的)

對任意t∈[-1，1]恒成立，記h(t)=mt+m2-2，t∈[-1，1]，

函數(shù)h(t)=mt+m2-2，t∈[-1，1]圖象表示在[-1，1]上的一條線段，

要使問題恒成立，只要h(-1)≥0h(1)≥0，∴-m+m2-2≥0m+m2-2≥0

(該步是看成t的函數(shù)得到的) 得解m≤-2或m≥2

例5.把函數(shù)y=lnx-2的圖象按向量a=(-1，2)平移得到函數(shù)f(x)的圖象。

(1)若x>0，證明:f(x)>■;

(2)若不等式■x2≤f(x2)+m2-2bm-3對任意x∈[-1，1]和b∈[-1，1]成立，求實數(shù)m的取值范圍。

分析:此題第二問和例4一樣，因為給出的是變量x和b的范圍，所以先看成關于x的函數(shù)再看成關于b的函數(shù)便可以解決了。

評注1:本例第一小題是隱含的恒成立，只要適當挖掘條件，本例適宜用二次函數(shù)的最值來處理，不宜用參變量分離。

評注2:本例第二小題如何從一個含有多個變元的數(shù)學問題里，選定合適的主變元、次變元，逐步減元，從而揭示其中主要的函數(shù)關系，有時便成了數(shù)學問題能否“明朗化”的關鍵所在。

此問題由于常見的思維定勢，易把它看成關于m的不等式進行分類討論。然而，若變換一個角度先以a為主元，記g(x)=x1-x2=■，a∈[-1，1]，則問題先轉(zhuǎn)化為求定二次函數(shù)在定區(qū)間[-1，1]內(nèi)的最值。后以t為主元，記h(t)=mt+m2-2，t∈[-1，1]，巧用函數(shù)圖象的特征(一條線段)，要使問題恒成立，只要使線段的兩個端點h(-1)≥0及h(1)≥0同時成立即可，從而得解。

三、數(shù)形結(jié)合直觀求解

例6.對任意實數(shù)x，不等x+1-x-2>a式恒成立，求實數(shù)a的取值范圍。

解令

y=x+1-x-2=-3x≤-12x-1， -1

在直角坐標系下如圖:

有圖可以看出:對任意實數(shù)x，要使x+1-x-2>a恒成立，只須a<-3，故實數(shù)a的取值范圍是(-∞，-3)。

四、總結(jié)

以上介紹的三種方法在高考中比較常見，判別式法重點是要看清楚變量取值范圍是不是全體實數(shù);分離變量一定要找準是關于誰的函數(shù)，轉(zhuǎn)化成最值問題才能解決;只有函數(shù)的圖像比較容易畫時，才能用數(shù)行結(jié)合?？傊?，要處理好恒成立問題一定要深入掌握各種方法才行。

參考文獻:

1.《創(chuàng)新教程(數(shù)學)》.山東省地圖出版社，2007.10

2.《中學教研(數(shù)學)》.金華出版社，2005.04

3.《河北理科教學研究》.廊坊師專出版社，2005

作者單位:山東省萊蕪市萊蕪一中