馬艷紅，胡 軍

（1.北京控制工程研究所，北京100190；2.空間智能控制技術(shù)國(guó)家級(jí)重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，北京100190）

基于C-W制導(dǎo)的瞄準(zhǔn)點(diǎn)修正技術(shù)

馬艷紅1，2，胡 軍1

（1.北京控制工程研究所，北京100190；2.空間智能控制技術(shù)國(guó)家級(jí)重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，北京100190）

在分析C-W沖量制導(dǎo)誤差源的基礎(chǔ)上，指出主要攝動(dòng)為C-W方程的線性化誤差，相對(duì)J2項(xiàng)攝動(dòng)誤差和發(fā)動(dòng)機(jī)的沖量假設(shè)誤差.在求解得到主要攝動(dòng)作用下相對(duì)運(yùn)動(dòng)方程解析解的基礎(chǔ)上，提出了瞄準(zhǔn)點(diǎn)修正技術(shù)，在計(jì)算量增加不大的前提下，不僅提高了C-W制導(dǎo)精度，而且實(shí)際制導(dǎo)曲線趨近于最優(yōu)交會(huì)軌跡，燃料消耗接近最優(yōu)解.

C-W制導(dǎo)；J2項(xiàng)攝動(dòng)；瞄準(zhǔn)點(diǎn)

在交會(huì)對(duì)接中，當(dāng)目標(biāo)器軌道為近圓軌道，且追蹤器距離目標(biāo)器較近時(shí)，相對(duì)運(yùn)動(dòng)可采用Hill方程描述，其時(shí)間解的形式通常稱為C-W方程.Hill方程為線性方程，以此為基礎(chǔ)求解制導(dǎo)律算法簡(jiǎn)單，因此在交會(huì)對(duì)接中得到廣泛應(yīng)用，稱為“Hill制導(dǎo)”或“C-W制導(dǎo)”.

在實(shí)際應(yīng)用中，由于各種誤差的存在，C-W制導(dǎo)無(wú)法將追蹤器沿優(yōu)化軌跡導(dǎo)引到理想位置，需要進(jìn)行修正.對(duì)制導(dǎo)軌跡進(jìn)行修正有兩種方法：1）在優(yōu)化軌跡附近設(shè)計(jì)一容許誤差帶，超出該范圍則進(jìn)行修正機(jī)動(dòng)；2）在制導(dǎo)算法中對(duì)各種誤差進(jìn)行估計(jì)和補(bǔ)償，使得實(shí)際制導(dǎo)曲線趨近于優(yōu)化軌跡.方法一的缺點(diǎn)是需要增加修正沖量，增大了燃料消耗；方法二節(jié)省了燃料消耗，但是需要高效的修正算法.本文以共面近圓軌道交會(huì)任務(wù)為例，采用方法二，提出基于C-W方程攝動(dòng)解析解的瞄準(zhǔn)點(diǎn)修正技術(shù)，在計(jì)算量增加不大的前提下有效提高制導(dǎo)精度，且燃料消耗接近最優(yōu)解.

1 C-W制導(dǎo)誤差源分析

相對(duì)運(yùn)動(dòng)坐標(biāo)系原點(diǎn)取為目標(biāo)器質(zhì)心，y軸指向地心，x軸在軌道平面內(nèi)指向追蹤器方向，z軸垂直于軌道平面.對(duì)于共面近圓軌道交會(huì)，只考慮軌道平面內(nèi)的運(yùn)動(dòng)，C-W方程如下所示：

式中，ωt為目標(biāo)器軌道角速度，a＝［axay］T為攝動(dòng)加速度，ρ＝［x y］T為追蹤器相對(duì)目標(biāo)器的相對(duì)位置.

C-W制導(dǎo)時(shí)，不考慮環(huán)境攝動(dòng)，并假設(shè)發(fā)動(dòng)機(jī)推力為沖量，制導(dǎo)誤差源［1-2］主要包括以下幾個(gè)方面：

（1）C-W方程的線性化誤差

C-W方程是在兩飛行器相對(duì)距離較近的情況下，對(duì)地球中心引力進(jìn)行一階近似得到的線性化方程，線性化過(guò)程引入的誤差隨相對(duì)距離的增大而增大.

（2）攝動(dòng)加速度誤差

式（1）中攝動(dòng)加速度矢量定義如下：

下標(biāo)c表示“追蹤器”，t表示“目標(biāo)器”，交會(huì)過(guò)程中假設(shè)目標(biāo)器無(wú)發(fā)動(dòng)機(jī)推力控制，→a主要包括追蹤器發(fā)動(dòng)機(jī)推力加速度、相對(duì)氣動(dòng)攝動(dòng)加速度和相對(duì)J2項(xiàng)攝動(dòng)加速度.但在制導(dǎo)律求解過(guò)程中，通常只考慮發(fā)動(dòng)機(jī)推力加速度，由于忽略氣動(dòng)及地球扁率影響而引入的誤差稱為“攝動(dòng)加速度誤差”.

（3）沖量假設(shè)誤差

C-W制導(dǎo)律求解中，通常假設(shè)發(fā)動(dòng)機(jī)推力為沖量形式，而發(fā)動(dòng)機(jī)實(shí)際推力形式更接近于常值，由此引入的誤差稱為“沖量假設(shè)誤差”.控制結(jié)束后兩航天器的相對(duì)運(yùn)動(dòng)稱為“自由運(yùn)動(dòng)”，沖量假設(shè)誤差主要影響自由運(yùn)動(dòng)的初始狀態(tài).

此外，導(dǎo)航精度也影響著制導(dǎo)精度，其形式與沖量假設(shè)誤差的影響一致，都反映在自由運(yùn)動(dòng)時(shí)的初始狀態(tài)不同.上述各種誤差中，除了導(dǎo)航誤差需要提高導(dǎo)航精度才能提高外，其他各種誤差均可在算法中對(duì)其影響進(jìn)行估計(jì)并補(bǔ)償，從而提高制導(dǎo)精度.

文獻(xiàn)［3］采用數(shù)值模型進(jìn)行積分解算對(duì)上述誤差進(jìn)行估計(jì)并補(bǔ)償，由此引入較大的計(jì)算量，不利于在線實(shí)現(xiàn)；文獻(xiàn)［2］針對(duì)主要誤差求取解析解，很大程度上提高了求解效率，下面對(duì)其求解思路進(jìn)行簡(jiǎn)單說(shuō)明.

1.1 線性化誤差作用下相對(duì)運(yùn)動(dòng)方程的解析解

線性化誤差中影響最大的是相對(duì)運(yùn)動(dòng)參數(shù)的二階項(xiàng)，因此如果采用二階相對(duì)運(yùn)動(dòng)方程描述相對(duì)運(yùn)動(dòng)，則可很大程度上減小相對(duì)運(yùn)動(dòng)方程線性化誤差的影響.早在1963年，London［4］就基于攝動(dòng)理論給出了二階相對(duì)運(yùn)動(dòng)方程解的解析形式；對(duì)于共面近圓交會(huì)，其軌道平面法線方向上的運(yùn)動(dòng)較小，因此此處只考慮軌道平面內(nèi)的運(yùn)動(dòng)和控制，對(duì)London的結(jié)論進(jìn)行簡(jiǎn)化，得到軌道平面內(nèi)二階攝動(dòng)解的解析式［2］.

記rt為目標(biāo)器的矢徑長(zhǎng)度，二階相對(duì)運(yùn)動(dòng)方程為：

記C-W方程的解為

設(shè)相對(duì)X1而言二階攝動(dòng)解為小量，記

則式（3）的解有如下形式：

X1可直接得到，忽略ε2X2的高階項(xiàng)，則由式（3）可得攝動(dòng)解滿足下式：

由于X1可直接求解得到顯式表示，則X2可依據(jù)下式求解：

設(shè)發(fā)動(dòng)機(jī)作用結(jié)束后系統(tǒng)狀態(tài)為X（0），此時(shí)X2（0）＝0，得到攝動(dòng)解有如下形式：

式中ai，bi是X（0）二階項(xiàng)的線性組合，具體形式參見(jiàn)文獻(xiàn)［2］.X（0）的精度取決于相對(duì)導(dǎo)航精度，式（9）稱為“自由運(yùn)動(dòng)時(shí)線性化誤差的攝動(dòng)解析解”.

1.2 相對(duì)J2項(xiàng)攝動(dòng)作用下相對(duì)運(yùn)動(dòng)方程的解析解

攝動(dòng)加速度誤差中影響最大是“相對(duì)J2項(xiàng)攝動(dòng)”，將追蹤器所受J2項(xiàng)攝動(dòng)加速度在目標(biāo)器參考軌道處取一階近似，得到相對(duì)J2項(xiàng)攝動(dòng)的解析式如下：

則相對(duì)J2項(xiàng)攝動(dòng)作用下，相對(duì)運(yùn)動(dòng)方程的攝動(dòng)解有如下形式：

只考慮軌道平面內(nèi)的運(yùn)動(dòng)，設(shè)ε3X3相對(duì)X1為小量，并記▽J2t（i，j），i＝1，2，3，j＝1，2，3為矩陣▽J2t第i行第j列元素，則依據(jù)式（1）可得

從而X3（0）＝0時(shí)，攝動(dòng)解有如下形式：

其中

各系數(shù)αi，βi是X（0）一階項(xiàng)和目標(biāo)器軌道參數(shù)的函數(shù)，具體形式參見(jiàn)文獻(xiàn)［2］.X（0）的精度取決于相對(duì)導(dǎo)航精度，式（15）稱為“自由運(yùn)動(dòng)時(shí)相對(duì)J2項(xiàng)攝動(dòng)的攝動(dòng)解析解”.

1.3 沖量誤差的估計(jì)

同樣的速度增量，控制量為常值推力時(shí)和控制量為沖量形式時(shí)，得到的自由運(yùn)動(dòng)的初始狀態(tài)不同.C-W制導(dǎo)中假設(shè)控制量為沖量得到制導(dǎo)用速度增量，結(jié)合發(fā)動(dòng)機(jī)推力模型，可求解得到發(fā)動(dòng)機(jī)常值推力作用后系統(tǒng)的狀態(tài)，以此為基礎(chǔ)結(jié)合自由運(yùn)動(dòng)時(shí)線性化誤差和相對(duì)J2項(xiàng)攝動(dòng)作用下的攝動(dòng)解析解，可以對(duì)C-W制導(dǎo)的誤差進(jìn)行有效估計(jì).

2 瞄準(zhǔn)點(diǎn)修正技術(shù)

C-W沖量制導(dǎo)優(yōu)化可得到一條最優(yōu)交會(huì)軌跡使得交會(huì)燃料消耗最小，稱為“理想軌跡”，該軌跡上的各個(gè)沖量作用點(diǎn)稱為“理想位置P0”，作用沖量稱為“理想沖量”；但是由于各種誤差的存在，“理想沖量”作用下無(wú)法將追蹤器沿著“理想軌跡”導(dǎo)引到“理想位置”，考慮主要攝動(dòng)時(shí)對(duì)實(shí)際制導(dǎo)位置進(jìn)行估計(jì)，得到“估計(jì)位置P′”.

定義“瞄準(zhǔn)點(diǎn)”為制導(dǎo)律求解中所采用的“設(shè)計(jì)位置”，或稱為“計(jì)算用位置”，記為P*.瞄準(zhǔn)點(diǎn)修正的目標(biāo)是使得針對(duì)瞄準(zhǔn)點(diǎn)P*設(shè)計(jì)的制導(dǎo)律，作用后使得實(shí)際位置P接近理想位置P0.修正邏輯如圖1所示.

圖1 瞄準(zhǔn)點(diǎn)修正邏輯

在前述推導(dǎo)得到主要攝動(dòng)作用下攝動(dòng)解析解的基礎(chǔ)上，瞄準(zhǔn)點(diǎn)修正變的非常簡(jiǎn)單，估計(jì)位置P′可直接依據(jù)下式計(jì)算：

式中，Xnl，XJ分別稱為自由運(yùn)動(dòng)時(shí)線性化誤差和相對(duì)J2項(xiàng)誤差的攝動(dòng)修正解.記

瞄準(zhǔn)點(diǎn)修正中設(shè)

瞄準(zhǔn)點(diǎn)修正流程圖如圖2所示.由于在攝動(dòng)修正過(guò)程中進(jìn)行了多種簡(jiǎn)化，因此沒(méi)有必要修正瞄準(zhǔn)點(diǎn)使得終端誤差估計(jì)ΔP′＝0，而是設(shè)定誤差限使‖ΔP′‖＜σ時(shí)輸出相應(yīng)的瞄準(zhǔn)點(diǎn)，這種算法收斂迅速，一般經(jīng)過(guò)一兩次修正即可滿足要求，修正后C-W制導(dǎo)方法可以用于相對(duì)距離較遠(yuǎn)時(shí)的制導(dǎo)律求解，而無(wú)需增加修正沖量，從而節(jié)省了燃料消耗.文獻(xiàn)［3］中也采用了瞄準(zhǔn)點(diǎn)修正的思路，但在估計(jì)位置P′的求取過(guò)程中采用數(shù)值模型進(jìn)行積分解算，計(jì)算量大，不適合星上在線實(shí)現(xiàn)；本文由于采用了主要攝動(dòng)作用下的攝動(dòng)解析解，從而計(jì)算量較小，適合星上使用.

圖2 瞄準(zhǔn)點(diǎn)修正邏輯

3 仿真算例

假設(shè)目標(biāo)器軌道為450 km的圓軌道，初始時(shí)刻追蹤器位于距離目標(biāo)器100 km的共面圓軌道上，軌道高度較目標(biāo)器低20 km；尋的段要求通過(guò)三次機(jī)動(dòng)將追蹤器導(dǎo)引到目標(biāo)器軌道上距離目標(biāo)器后5 km處的“停泊點(diǎn)”，交會(huì)時(shí)間為0.7個(gè)目標(biāo)器軌道周期，三次沖量時(shí)刻分別為初始時(shí)刻t0，停泊時(shí)刻tf和0.5tf.采用Lagrange乘子法求解C-W沖量制導(dǎo)，得到理想控制用速度增量（m／s）分別為

則最優(yōu)燃料消耗（m／s）為

設(shè)x軸方向的發(fā)動(dòng)機(jī)推力加速度為0.04 m／s2，y軸方向?yàn)?.02 m／s2，不考慮導(dǎo)航誤差，仿真比較得到不進(jìn)行瞄準(zhǔn)點(diǎn)修正和瞄準(zhǔn)點(diǎn)修正后的各性能參數(shù)如表1所示，相應(yīng)的交會(huì)曲線如圖3所示.可見(jiàn)：采用瞄準(zhǔn)點(diǎn)修正技術(shù)后，不僅提高了制導(dǎo)精度，而且實(shí)際制導(dǎo)曲線趨近于最優(yōu)交會(huì)軌跡，燃料消耗接近最優(yōu)解，相比較無(wú)修正的C-W制導(dǎo)而言，很大程度上節(jié)省了燃料消耗.

圖3 交會(huì)曲線比較

表1 交會(huì)性能參數(shù)比較

4 結(jié) 論

本文在分析CRW制導(dǎo)誤差源的基礎(chǔ)上，得到主要誤差作用下相對(duì)運(yùn)動(dòng)方程的解析解，以此為基礎(chǔ)對(duì)制導(dǎo)位置進(jìn)行估計(jì)，在制導(dǎo)律求解中對(duì)瞄準(zhǔn)點(diǎn)進(jìn)行修正，不僅提高了制導(dǎo)精度，而且實(shí)際制導(dǎo)曲線趨近于最優(yōu)交會(huì)軌跡，燃料消耗接近最優(yōu)解.

瞄準(zhǔn)點(diǎn)修正算法收斂迅速，并且由于采用了攝動(dòng)解析解，因此在計(jì)算量增加不大的前提下，保證了算法在線實(shí)現(xiàn)的可能性.此外，攝動(dòng)解析解相關(guān)系數(shù)的精度取決于導(dǎo)航精度，因此有效的相對(duì)導(dǎo)航信息是瞄準(zhǔn)點(diǎn)修正在線實(shí)現(xiàn)的前提保障.

［1］ Hiroshi I，Robert H B.Analysis of the targeting error induced by Hill′s guidance［C］.AIAA Guidance，Navigation and Control Conference，Monterey，Aug 1993

［2］ 馬艷紅.C-W制導(dǎo)誤差分析［J］.航天控制待發(fā)表

［3］ 李晨光，肖業(yè)倫.多脈沖C-W交會(huì)的優(yōu)化方法［J］.宇航學(xué)報(bào)，2006，27（2）：172-176

［4］ London H S.Second approximation to the solution of the rendezvous equations［J］.AIAA Journal，1963，1（7）：1691-1693

C-WGuidance-Based Aiming Point Correction Technique

MA Yanhong1，2，HU Jun1
（1.Beijing Institute of Control Engineering，Beijing 100190，China；2.National Laboratory of Space Intelligent Control，Beijing 100190，China）

Based on error analysis of the C-Wguidance，the article shows that the main perturbation sources of C-Wimpulse guidance are linearization error，relative J2term perturbation，and impulse assumption error of thrusters.When obtaining the analytic solution of perturbed relativemotion equation，an aiming point modification technique is induced to improve guidance accuracy at limited increase of computational effort，and the actual rendezvous trajectory and the fuel consumption are close to optimal ones.

C-W guidance；J2term perturbation；aiming point

V448.23

A

1674-1579（2009）05-0052-04

2009-03-06

馬艷紅（1980—），女，山西人，工程師，研究方向?yàn)楹教炱鹘粫?huì)對(duì)接和姿態(tài)控制（e-mail：mayanhong1980＠sina.com）.