史廣青，盧 欣，武延鵬，黃 欣，王 立

（北京控制工程研究所，北京100190）

基于星敏感器的兩種姿態(tài)確定算法比較分析

史廣青，盧 欣，武延鵬，黃 欣，王 立

（北京控制工程研究所，北京100190）

介紹了星敏感器的兩種姿態(tài)確定算法：最小二乘算法和QUEST算法，推導(dǎo)了最小二乘算法和QUEST算法求解三軸姿態(tài)的公式；比較了兩種算法在不同恒星數(shù)目下的計(jì)算精度以及在全天區(qū)范圍內(nèi)的計(jì)算精度；利用實(shí)例說明QUEST算法不僅在全天區(qū)范圍內(nèi)姿態(tài)計(jì)算精度高于最小二乘算法，而且在觀測星數(shù)量較少，且觀測星座呈現(xiàn)較為不利的構(gòu)型時(shí)仍然具有較高的計(jì)算精度.

星敏感器；QUEST算法；最小二乘算法

星敏感器是航天應(yīng)用中最精確的姿態(tài)測量光學(xué)傳感器.它利用恒星星光方向矢量分別在慣性參考坐標(biāo)系下的指向和在星敏感器坐標(biāo)系下的指向兩方面信息，求得從慣性系到星敏感器坐標(biāo)系的方向余弦矩陣，從而可以確定航天器在慣性參考系下的指向.

星敏感器的信息處理可以分為星點(diǎn)提取、星圖識(shí)別、姿態(tài)確定三個(gè)模塊.

利用星圖識(shí)別的結(jié)果，計(jì)算得到航天器姿態(tài)矩陣的過程稱為姿態(tài)確定.當(dāng)前的姿態(tài)確定算法主要有q-法、QUEST算法、ESOQ法、ESOQ2法、SVD法和最小二乘算法.文獻(xiàn)［1-3］對前5種算法的魯棒性、計(jì)算精度、計(jì)算時(shí)間等都做了比較充分的比較.

本文利用恒星觀測矢量，比較和分析了最小二乘算法和QUEST算法的精度，并給出了實(shí)際的應(yīng)用，為星敏感器姿態(tài)確定算法的優(yōu)化提供了參考依據(jù).

1 算法介紹

1.1 最小二乘算法介紹

最小二乘算法是TRIAD算法改進(jìn)而來［4］.

定義參考矢量陣為V3×n＝（V1V2...Vn），觀測矢量陣為W3×n＝（W1W2...Wn），多矢量的觀測方程可寫為

式中，A為姿態(tài)矩陣，觀測方程代數(shù)解可表示為

在一般情況下，上式解A為非正交矩陣，正交化后的姿態(tài)陣A*的計(jì)算公式如下：

式中I為三階單位矩陣.

1.2 QUEST算法介紹

QUEST算法來源于q-法，它將求解Wahba最小損失函數(shù)的問題［5］轉(zhuǎn)化為求解矩陣特征值的問題，矩陣的最大特征值對應(yīng)的特征矢量為最優(yōu)姿態(tài)四元數(shù).

根據(jù)Wahba損失函數(shù)，滿足公式（1）的姿態(tài)矩陣，是使損失函數(shù)

達(dá)到的最小的解.式中ai是一組加權(quán)系數(shù).將加權(quán)系數(shù)歸一化，姿態(tài)確定問題轉(zhuǎn)化為使增益函數(shù)

將姿態(tài)矩陣A寫成四元數(shù)形式

式中，I3×3為單位矩陣，q＝［q1q2q3q4］T＝是四元數(shù)，ε是四元數(shù)的矢量部分，η＝q4是四元數(shù)的標(biāo)量部分，ε×為反對稱矩陣.

將增益函數(shù)J（A）化成關(guān)于姿態(tài)四元數(shù)q的一個(gè)二次型函數(shù)，并進(jìn)一步化簡

用拉格朗日法求增益函數(shù)J（q）的最大值，即

將上式求導(dǎo)，并使表達(dá)式等于0，得到Kqopt＝λmaxqopt，從而獲得增益函數(shù)的表達(dá)式

通過上面公式的推導(dǎo)，最優(yōu)姿態(tài)四元數(shù)就是矩陣K的最大特征值對應(yīng)的特征向量.

2 QUEST算法與最小二乘算法的比較

2.1 恒星數(shù)目與計(jì)算精度之間的關(guān)系

下面計(jì)算中選擇星表包含恒星數(shù)目為7085顆星的標(biāo)準(zhǔn)星表，視星等范圍為－1.6～6.3；對整個(gè)天區(qū)進(jìn)行的N＝20 000次隨機(jī)采樣，得出姿態(tài)計(jì)算誤差，統(tǒng)計(jì)3σ范圍內(nèi)的誤差標(biāo)準(zhǔn)差.

星敏感器的姿態(tài)計(jì)算精度對參與姿態(tài)計(jì)算的恒星數(shù)目和視場內(nèi)星座的分布具有一定的敏感度.本節(jié)給出QUEST算法和最小二乘算法的計(jì)算精度與參與姿態(tài)計(jì)算的參考矢量數(shù)目之間的關(guān)系.

分析圖1、圖2得出以下結(jié)論：

（1）在參與姿態(tài)計(jì)算的恒星數(shù)目大于30時(shí)，QUEST算法與最小二乘算法的姿態(tài)計(jì)算精度都趨于穩(wěn)定；

（2）當(dāng)參與姿態(tài)計(jì)算的恒星數(shù)目較少，QUEST算法的計(jì)算精度要高于最小二乘算法.

2.2 姿態(tài)確定精度比較

比較內(nèi)容：

（1）分別限定和不限定參與姿態(tài)計(jì)算的恒星數(shù)

圖1 QUEST算法恒星數(shù)目與姿態(tài)計(jì)算誤差之間的關(guān)系

圖2 最小二乘算法恒星數(shù)目與姿態(tài)計(jì)算誤差之間的關(guān)系

目比較兩種算法的計(jì)算精度；

（2）兩種算法對應(yīng)同一指向時(shí)計(jì)算精度與矩陣求逆條件數(shù)之間的關(guān)系.

仿真比較結(jié)果如表1所示.

在N＝20 000次運(yùn)行結(jié)果中選擇8處條件數(shù)差別較大的位置對兩種算法進(jìn)行比較，如圖3所示.通過以上兩部分的比較得出以下結(jié)論：

表1 各軸姿態(tài)角誤差統(tǒng)計(jì)

圖3 條件數(shù)與姿態(tài)測量誤差間的關(guān)系

（1）當(dāng)參與姿態(tài)計(jì)算的恒星數(shù)目較少時(shí)，QUEST算法具有較高的精度；

（2）對于任意天區(qū)，QUEST算法姿態(tài)計(jì)算精度要高于最小二乘算法.

由于計(jì)算過程中不存在對矩陣求逆的運(yùn)算，所以QUEST算法對條件數(shù)不敏感，避免了線性方程的病態(tài)性對姿態(tài)計(jì)算結(jié)果的影響.

3 實(shí)例分析

構(gòu)造三顆恒星在一條線上的特殊構(gòu)型，使用QUEST算法和最小二乘算法分別進(jìn)行姿態(tài)計(jì)算，比較兩種算法在三星一線構(gòu)型下的計(jì)算精.當(dāng)星敏感器視場內(nèi)出現(xiàn)三星一線構(gòu)型時(shí)，使用最小二乘算法進(jìn)行姿態(tài)計(jì)算，姿態(tài)計(jì)算誤差出現(xiàn)如圖4所示的跳變.對三星一線星圖在星敏感器坐標(biāo)系下繞其光軸進(jìn)行任意角度（0°～360°之間）旋轉(zhuǎn)，計(jì)算在該旋轉(zhuǎn)角度下的三軸姿態(tài)誤差.運(yùn)行次數(shù)N＝1 000，對比QUEST算法、最小二乘計(jì)算的姿態(tài)計(jì)算精度.運(yùn)行結(jié)果如表2所示.

圖4 三星一線星圖構(gòu)型時(shí)最小二乘算法姿態(tài)計(jì)算誤差出現(xiàn)波動(dòng)

表格中失敗次數(shù)是指各姿態(tài)確定算法在姿態(tài)計(jì)算之前首先判斷是否滿足各自的姿態(tài)計(jì)算條件，若不滿足，則判為失敗，該指向?qū)⒉槐挥糜谧藨B(tài)計(jì)算.

表2數(shù)據(jù)說明QUEST算法對不利構(gòu)型具有強(qiáng)篩選功能，將不利構(gòu)型完全剔除掉再進(jìn)行姿態(tài)計(jì)算，保證了較高的姿態(tài)計(jì)算精度.

由圖4可知，當(dāng)星敏感器視場中恒星位置的相關(guān)性較大時(shí)，采用最小二乘算法計(jì)算所得的姿態(tài)測量誤差非常大.這主要是因?yàn)樽钚《怂惴ㄖ胁捎昧司仃嚽竽娴挠?jì)算（公式2），當(dāng)被識(shí)別的三顆導(dǎo)航星位置相關(guān)性較強(qiáng)的時(shí)候，（VTV）高度近似奇異，條件數(shù)最大高達(dá)cond＝2.38×107，求解姿態(tài)矩陣時(shí)線性方程的病態(tài)程度非常嚴(yán)重，（注：條件數(shù)cond＝‖VTV‖·‖（VTV）－1‖）.而QUEST算法通過對星圖的篩選，將不利的星座構(gòu)型全部剔除，從而保障了姿態(tài)計(jì)算的精度.結(jié)論如下：

（1）QUEST算法對于星圖的選擇條件相比最小二乘算法的正交條件篩選更為嚴(yán)格；

（2）結(jié)合第3部分，對于全天區(qū)星圖，QUEST算法的精度優(yōu)于最小二乘算法；針對三星一線這種特殊情況，QUEST算法仍然具有較高的精度.

表2 各種姿態(tài)確定算法精度比較

4 結(jié) 論

最小二乘算法QUEST算法都是在最小均方差意義下使損失函數(shù)最小而求得姿態(tài)矩陣.本文的比較結(jié)果表明，QUEST算法明顯優(yōu)于最小二乘算法，且QUEST算法對星圖的篩選能力較強(qiáng)，從而防止了姿態(tài)計(jì)算出現(xiàn)錯(cuò)誤的波動(dòng)，保證了姿態(tài)計(jì)算的精度.因此，QUEST算法是一種比較優(yōu)秀的姿態(tài)確定算法，值得學(xué)習(xí)和應(yīng)用.

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Tradeoffs of Two Star-Tracker-Based Attitude Determination A lgorithms

SHIGuangqing，LU Xin，WU Yanpeng，HUANG Xin，WANG Li
（Beijing Institute of Control Engineering，Beijing 100190，China）

Two star-tracker-based attitude determination algorithms，the Least-Square（LS）algorithm and the quaternion estimator（QUEST）algorithm，are presented.This paper contains an accuracy comparison of the two algorithms under different observation vectors and any bore sight direction of the star tracker in the global area.The results show that the QUEST algorithm is more accurate than the LS one，even under the adverse constellation configuration.

star tracker；QUEST algorithm；Least-Square

V448.21

A

1674-1579（2009）05-0061-04

2009-04-07

史廣青（1983—），女，山東人，碩士研究生，研究方向?yàn)楣鈱W(xué)敏感器（e-mail：shiguangqing999＠163.com）.