董愛國

數(shù)學(xué)思維是人腦和數(shù)學(xué)對象相互作用并按一定的思維規(guī)律認(rèn)識數(shù)學(xué)規(guī)律的過程。數(shù)學(xué)思維實質(zhì)上就是數(shù)學(xué)活動中的思維,初中階段的函數(shù)概念是學(xué)生第一次接觸的內(nèi)容,而且貫穿于初中及高中數(shù)學(xué)的始終,所以教師應(yīng)該抓住這部分知識的特點,使學(xué)生認(rèn)識到函數(shù)在探索具體問題的數(shù)量關(guān)系和變化規(guī)律中起著很重要的作用。

一、函數(shù)數(shù)學(xué)中抽象概括能力的培養(yǎng)

培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)概括能力首先要明確概括的主導(dǎo)思路,引導(dǎo)學(xué)生以現(xiàn)有的知識為基礎(chǔ),去猜測、去發(fā)現(xiàn),要在關(guān)鍵問題上放手,讓學(xué)生開動腦筋,體現(xiàn)一個概括的過程。

學(xué)生數(shù)學(xué)概括能力水平,可按四項指標(biāo)來確定:一是對直觀的依賴程度;二是對函數(shù)的實際意義的認(rèn)識;三是對各類函數(shù)的理解;四是對函數(shù)的歸類能力;老師要注重在關(guān)鍵問題上進(jìn)行設(shè)問,引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)解決難點的方法,點撥、指導(dǎo)他們調(diào)整認(rèn)知結(jié)構(gòu)從而使其向高層次發(fā)展。如17.3《一次函數(shù)》這節(jié)課,首先向?qū)W生介紹正比例函數(shù)y=kx的概念、特征及性質(zhì)等,然后推廣到一次函數(shù)y=kx+b的概念、特征及性質(zhì)。始終貫穿著一條主線是:從特殊到一般,注重正比例函數(shù)與一次函數(shù)的區(qū)別與聯(lián)系。因此,概括過程的主導(dǎo)思路應(yīng)遵循著從特殊到一般的程序,圍繞前后兩種方法的本質(zhì)聯(lián)系和區(qū)別來展開。

其次,培養(yǎng)學(xué)生的概括能力要大力培養(yǎng)形式抽象和根據(jù)假定進(jìn)行概括的能力。培養(yǎng)學(xué)生形式抽象應(yīng)幫助學(xué)生揭示數(shù)學(xué)問題同實際問題的聯(lián)系,在發(fā)展思維抽象成分的同時,使具體形象思維不斷得到充實、改善。揭示數(shù)學(xué)問題同實際問題的聯(lián)系主要通過三個方面進(jìn)行:

一是從現(xiàn)實情景和實際問題出發(fā),引入數(shù)學(xué)概念、定理和方法。

二是注意闡釋數(shù)學(xué)概念的幾何和物理意義。

三是運(yùn)用數(shù)學(xué)的概念、定理方法解決有關(guān)的實際問題。

現(xiàn)在許多商業(yè)行為與數(shù)學(xué)計算有關(guān),如果把這些實際問題讓同學(xué)們與數(shù)學(xué)知識聯(lián)系起來,不但可以提高學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣,還可以培養(yǎng)他們的抽象、概括能力。

例如:某超市打出優(yōu)惠牌子上面說:購買茶壺、茶杯可以有兩種優(yōu)惠方法:⑴是買一送一(即買一只茶壺送一只茶杯)。⑵是打九折(即按購買總價的90%付款),前提條件是購買3只茶壺以上,這兩種方法有區(qū)別嗎?到底那一種便宜呢?這仿佛是一道二選一的選擇題,由此,我讓同學(xué)們與函數(shù)關(guān)系聯(lián)系起來進(jìn)行聯(lián)想。

假定每只茶壺20元,每只茶杯5元。經(jīng)過討論同學(xué)們對這個問題進(jìn)行分析:假定某顧客要買4只茶壺,那么買幾只杯子最合算呢?

解:當(dāng)然杯子不少于4只。設(shè)買茶杯x只付款y元,x＞3,且x為自然數(shù)。

用第一種方法付款:

y₁=4×20+(x-4)×5=5x+60;

用第二種方法付款:

y₂=(20×4+5x)×90%=-4.5x+72,接著要比較y₁、y₂的相對大小。

設(shè)d=y₁-y₂=5x+60-(4.5x+72)=0.5x-12

然后進(jìn)行討論:

(1)當(dāng)d＞0時,0.5x-12＞0,即x＞24;

(2)當(dāng)d=0時,x=24;

(3)當(dāng)d＜0時,x＜24。

綜上所述,當(dāng)所需買的杯子多于24只時,方法2省錢;正好買24只茶杯時,兩種方法優(yōu)惠后價格相同;購買茶杯的只數(shù)在4至23只之間時,方法1便宜。

本題就是利用一次函數(shù)解決的實際問題。學(xué)生根據(jù)題設(shè)數(shù)量關(guān)系,通過概括總結(jié)出y與x之間的函數(shù)關(guān)系,使問題得以解決。解題過程體現(xiàn)了思維的探索性。

最后,培養(yǎng)學(xué)生根據(jù)假定進(jìn)行概括的能力,有三個培養(yǎng)措施:(1)分階段培養(yǎng)。(2)在例題教學(xué)中,重視課題分類和預(yù)想解題方案,以便讓學(xué)生熟練掌握基本題型、思路和方法,并幫助他們揭示解題思維的過程。(3)為學(xué)生進(jìn)行概括提供豐富恰當(dāng)?shù)牟牧?。材料豐富是數(shù)量的要求,如果數(shù)量太少,學(xué)生感知不充分,難以鑒別各對象的要素也不足以通過分析、比較、區(qū)分一類對象的本質(zhì)屬性和非本質(zhì)屬性,從而使概括不準(zhǔn)確。材料恰當(dāng)是指材料是否有代表性,材料的本質(zhì)屬性是否突出,直接影響學(xué)生概括能否成功。

二、函數(shù)教學(xué)選擇判斷能力的培養(yǎng)

選擇、判斷能力是數(shù)學(xué)創(chuàng)造能力的重要組成部分。選擇判斷不僅表現(xiàn)為對數(shù)學(xué)推理的基礎(chǔ)過程及結(jié)論正誤的判定,還是表現(xiàn)為數(shù)學(xué)命題、事實、數(shù)學(xué)解題思路、方法合理性的估計以及在這個估計的基礎(chǔ)上作出的選擇,判斷能力實際上是思維者對思維過程的自我反饋能力。

思維的批判性,它表現(xiàn)為善于獨立思考,善于提出疑問,能夠及時發(fā)現(xiàn)錯誤,糾正錯誤。能夠在解剖數(shù)學(xué)問題的過程中不斷總結(jié)經(jīng)驗教訓(xùn),進(jìn)行回顧和反思。自覺調(diào)控思維進(jìn)程,自我評價解題思路和方法。辨別正誤,排除障礙,尋求最佳答案。具有選擇判斷能力的學(xué)生,在判斷選擇中較少受表面非本質(zhì)因素的干擾,判斷的準(zhǔn)確率較高,判斷迅速,對作出的判斷具有清晰的認(rèn)識,能區(qū)分邏輯判斷和直覺猜想,他們具有明顯的追求最合理的解法,探究最清晰,最簡單同時也是最“優(yōu)美”的解法的心理傾向。

學(xué)生對函數(shù)知識的掌握離不開數(shù)學(xué)的選擇判斷能力。在這里,教師可以通過對函數(shù)正反兩方面的變式題組與問答,讓學(xué)生解答與判定,是有效培養(yǎng)選擇判斷能力的方法。

三、函數(shù)教學(xué)探索能力的培養(yǎng)

數(shù)學(xué)探索能力是在抽象概括能力、推理能力、選擇判斷能力基礎(chǔ)上發(fā)展起來的創(chuàng)造性思維能力,探索的過程實質(zhì)上是一個不斷提出設(shè)想,驗證設(shè)想,修正和發(fā)展設(shè)想的過程,在數(shù)學(xué)中,它表現(xiàn)在提出數(shù)學(xué)問題,探求數(shù)學(xué)結(jié)論,探索解題途徑,尋找解題規(guī)律等一系列有意義的發(fā)現(xiàn)活動之中,而數(shù)學(xué)探索能力就集中地表現(xiàn)為提出設(shè)想和進(jìn)行轉(zhuǎn)換的本領(lǐng)。

在函數(shù)教學(xué)階段,數(shù)學(xué)探索能力的培養(yǎng)主要是體現(xiàn)在課題學(xué)習(xí)中。學(xué)生在趣味的課題學(xué)習(xí)中將討論一些具有挑戰(zhàn)性的研究課題,發(fā)展應(yīng)用函數(shù)知識解決實際問題的意識和能力,同時,也會進(jìn)一步加深對函數(shù)知識的理解,認(rèn)識變量之間的關(guān)系和變化規(guī)律。例如:

要用總長為20米的鐵欄桿,一面靠墻,圍成一個矩形花圃。怎樣圍法,才能使圍成的花圃面積最大?

A同學(xué)取一些特殊值進(jìn)行嘗試,她設(shè)矩形花圃的垂直于墻的一邊AB的長為x米,先取x的一些值,算出矩形的另一邊BC的長,進(jìn)而得出矩形的面積y平方米。得到下表:

她又取了小數(shù);當(dāng)AB=4.5米時,BC=11米,面積為49.5平方米<50平方米;當(dāng)AB=5.5時,BC=9米,面積仍為49.5平方米<50平方米。結(jié)合上表,她猜測出當(dāng)AB=5米,BC=10米時,花圃的最大面積是50平方米。

B同學(xué)的設(shè)法與A的相同,他發(fā)現(xiàn)當(dāng)x的取值發(fā)生變化時,y值也隨之變化。所以他列出了一元二次函數(shù)y=x(20-2x),然后求其最大值是50平方米。那么B對這個主題的探索,進(jìn)一步豐富了自己的函數(shù)思想,用函數(shù)知識解決實際問題,增強(qiáng)了數(shù)學(xué)探索能力。

從他的解題過程可以看出:一是經(jīng)歷“問題情境——建立模型——求解——解釋與應(yīng)用”的基本過程;二是體驗數(shù)學(xué)知識(本課題主要是函數(shù)知識)之間的內(nèi)在聯(lián)系,逐漸形成對整體的認(rèn)識;三是獲得一些研究問題的方法的經(jīng)驗,發(fā)展了思維能力,加深理解函數(shù)知識;四是通過獲得成功的體驗和克服困難的經(jīng)歷,增進(jìn)應(yīng)用數(shù)學(xué)的自信心。

四、結(jié)束語

數(shù)學(xué)的知識體系實質(zhì)上就是用邏輯推理的方法構(gòu)成的命題系統(tǒng),是尋找變量之間的變化規(guī)律的過程,是運(yùn)用邏輯思維抽象概括的過程。因此,通過以上這些能力的培養(yǎng),學(xué)生進(jìn)一步豐富自己的空間觀念,體會函數(shù)思想以及符號表示在實際問題中的應(yīng)用,進(jìn)而體驗從實際問題抽象出數(shù)學(xué)問題、建立數(shù)學(xué)模型、綜合應(yīng)用已有的知識解決問題的過程。

作者單位:江蘇省姜堰市葉甸中學(xué)